Аннотация. Решается задача идентификации хаотической компоненты временного процесса в условиях малого числа доступных наблюдений и когда реализация процесса единственна. Полученная в результате решения поставленной задачи аппроксимация используется для построения прогноза исследуемого процесса. В качестве модели хаотического сигнала предлагается использовать разложение по системе хаотических процессов, описываемых логистическим отображением. При этом параметры логистического отображения (состояние системы на каждом предыдущем шаге, лямбда) известны неточно и оцениваются с помощью UKF-фильтра. Поступление новых наблюдений позволяет найти новые оценки параметров и скорректировать модель, на основании которой строится дальнейший прогноз с сохранением заданной точности. Ключевые слова: детерминированный хаос, нелинейная динамика, прогнозирование, короткий временной ряд, хаотическое моделирование Задача идентификации хаотического сигнала [1, 2, 5, 6] имеет множество приложений в технических, информационных и социально-экономических системах, например, восстановление модели внешний возмущений на управляемый объект, построение модели сигнала на выходе высокочувствительного датчика [5, 6], повышение точности краткосрочных прогнозов [5, 6, 11, 12]. Актуальность исследования заключается в том, что при решении задач обработки сигналов, в которых содержится хаотическая составляющая [1, 14], сложность состоит в том, что выборка для обработки имеет малую длину, реализация процесса единственна и нет информации о вероятностных распределениях ошибок. Применение линейных моделей в случаях, когда шумы имеют фрактальную природу, не обеспечивают приемлемую точность [6]. Много исследований хаотических процессов посвящено методам реконструкции динамических систем по экспериментальным данным, основанным на применении нейронных сетей. Но для обучения нейронных сетей требуется большой объем выборки, что не всегда можно получить в реальных условиях. В связи с этим становится акту-
2
Постановка задачи Для построения модели хаотического процесса yk , k 1, N предлагается использовать разложени по системе процессов, заданных нелинейными отображениями
xk(i)1 fi xki , i , k 0,1,, N 1, i 1, 2,, n, где функции fi , i 1, 2,, n определены на единичном интервале, то есть fi : 0,1 0,1 . В качестве примера таких процессов рассматриваются логистические отображения [3, 8, 9]
xk(i)1 i xki 1 xki , k 0,1,, N, i 1, 2,, n , хаотические решения которых возникают x0i 0,1, i , 4, где 3.57 .
Для проверки работы ансцентного фильтра Калмана рассматривается
модельный пример [
Результаты оценивания
Для оценки процесса xk , заданного системой (4), на каждом шаге
наблюдаемого процесса yk , k 1, N и параметра логистического отображения был
использован ансцентный фильтр Калмана [
SNR 20 log10 x . В результате получены следу
Рис. 1. Исходный процесс (–) и его аппроксимация (- -) При количестве измерений N=60 была получена оценка параметра 3, 65 с абсолютной ошибкой, не превышающей 0,04 (рис.2).
Рис. 2. Оценка параметра (- -) и его истинное значение Полученные на шаге k 60 оценки xk и используем для построения прогноза на L 9 шагов вперед (рис.3). Относительная ошибка прогноза на 4 шага вперед не превысила 2%, на 8 шагов – 10%. Ошибка прогноза на 9 шагов резко возросла до 20%.
Рис. 3. Прогноз исходного процесса 4
Заключение Приведен подход к построению модели хаотического процесса по малому числу (N=60) измерений при единичной реализации. Для оценки параметров был использован ансцентный фильтр Калмана (UKF). С помощью предложенного метода были получены оценки параметров логистического отображения при SNR=10 дБ. Сходимость оценки параметра была получена на коротком отрезке выборки N=60. При этом абсолютная ошибка оценивания параметра не превысила 0,04. Относительная ошибка прогноза до 8 шага не превысила 10%. Список источников
Elena Malyutina, Vladimir I. Shiryaev Abstract. The study is devoted to the identification of the chaotic component of the time process in terms of small number of available observations and one process implementation. The approximation obtained from the solution of the problem is used to predict the investigated process. Decomposition in the system of chaotic processes described by the logistic map is used as a model of chaotic signal. Moreover, the parameter of the logistic map and the state of the system of each previous step are known inaccurately and are estimated using the unscented Kalman filter (UKF). Supply of new observations allows finding new parameter estimations and adjusts the model based on which to build further forecast maintaining the specified accuracy.
Keywords: deterministic chaos, non-linear dynamics, forecasting, short time series, chaotic modeling.