Der Korrekturwinkel für Hohe Tibia Osteotomien (HTO) wird üblicherweise geometrisch mit Hilfe von Ganzbeinstandaufnahmen ermittelt. Es wird angenommen, dass die mechanische Achse zwischen Femurkopf und Sprunggelenk durch das Kniezentrum führen muss, um eine optimale Druckverteilung zwischen lateralem und medialem Kompartment herzustellen. Dabei werden individuelle Unterschiede in der Form des Tibiaplateaus und der Femurkondylen außer Acht gelassen. In dieser Arbeit wird ein Ansatz zur biomechanischen Bestimmung des Korrekturwinkels über die explizite Berechnung der Druckverteilung innerhalb des Knies mit Hilfe der Diskrete Elemente Analyse (DEA) vorgestellt. Diese Methode ist darüber hinaus in der Lage, auch bereits degeneriertes Knorpelgewebe zu modellieren.
FG [K ]UG Die Gesamtsteifigkeitsmatrix [K ] berechnet sich dabei aus der Summe der einzelnen lokalen Federsteifigkeiten, die ins globale Koordinatensystem transformiert werden. [Bi ] stellt eine Transformation von den Referenzkoordinatensystemen in das Koordinatensystem der i-ten Feder dar. ui[Bi ] UG fi [Di ] ui Dieses Lösungsverfahren liefert eine Federspannkraft für jede Feder. Bei einer positiven Steifigkeit Di gilt: Ist die lokale Verschiebung positiv, so ist auch die resultierende Kraft positiv. Bei einer negativen Verschiebung ist die resultierende Kraft hingegen negativ. Bildlich gesprochen wird die Feder bei einer positiven Verschiebung komprimiert, wohingegen sie bei einer negativen Verschiebung gedehnt wird.
Bei der Druckanalyse spielt nur die Kompression eine Rolle, so dass die gedehnten Federn aus dem Modell entfernt werden müssen. Die übrigen Federn bilden eine neue Steifigkeitsmatrix [K ] , die zu einer neuen Lösung des Gleichungssystems führt.
FG [K ]UG Nach mehreren Iterationen dieses Verfahrens kann genau die Steifigkeitsmatrix [K ] gefunden werden, die der aktuellen Kontaktsituation entspricht.
Der Vektor FG [FF , FT ] hat zwölf Komponenten, jeweils drei Kraft- und drei Drehmomentkomponenten für jeden
der beiden starren Körper, die an den Referenzpunkten RT und RF wirken. UG [UF ,UT ] ist ebenfalls ein Vektor
mit zwölf Komponenten, der die virtuelle Verschiebung der Referenzpunkte RT und RF beschreibt. Wird die
Steifigkeitsmatrix [K ] nur mit Hilfe der Oberflächenfedern auf dem Tibiaplateau gebildet, so entsteht ein sehr instabiles
System. Die Kondition der Matrix ist sehr hoch, so dass sich numerische Fehler bei der Lösung stark auf das Ergebnis
auswirken. Es ist mit dieser 12 12 Matrix im Allgemeinen nicht möglich, das Gleichungssystem zu lösen. Daher werden
Nebenbedingungen eingeführt, die zu einer Dimensionsreduktion führen. FG wird auf einen dreidimensionalen Vektor
reduziert, so dass die Lösung des Systems in einer rein translatorischen Verschiebung eines starren Körpers resultiert.
Der zweite Körper wird festgehalten und auch die daran angreifenden Reaktionskräfte müssen nicht explizit berechnet
werden. Um die Kondition der Steifigkeitsmatrix ohne Nebenbedingungen zu reduzieren, wäre es nötig, auch die das
Knie stabilisierenden Bänder in Form von dehnbaren Federn mit in die Berechnung einzubeziehen.
Für die geometrische Modellierung der Kontaktfläche wird aus CT-Daten nach Anwendung eines Hounsfield
Schwellwerts ein 3d Oberflächenmodell des Knochens (Abbildung 1c) erstellt. Um die Genauigkeit zu erhöhen und Probleme
der Schwellwert-Segmentierung, wie z.B. die Trennung einzelner Knochen im Gelenkbereich, die präzise Abgrenzung
zum Knorpelbereich und der zuverlässige Umgang mit osteoporotischen Strukturen, zu umgehen, soll in Zukunft eine
modellbasierte Segmentierung durchgeführt werden. Erste Arbeiten basierend auf statistischen Modellen der
Kniegeometrie wurden bereits unter [
Abbildung 2 zeigt das Ergebnis des Algorithmus. Der initiale tibiofemorale Winkel ist mit -5° gewählt. Das Zielverhältnis zwischen der medialen und lateralen durchschnittlichen Federspannkraft ist mit 1.0 angegeben. Die Kontaktfläche ist durch 493 Federn mit einer normierten Federsteifigkeit von 1 N/mm modelliert. Der optimale Winkel wird anhand des Durchschnittsdrucks ermittelt.
Die Grafik oben rechts zeigt die Druckverteilung unter dem initialen Winkel. Das mediale Kompartment ist deutlich stärker belastet. Das Druckverhältnis ist 1.8101. Die Grafik unten rechts zeigt die Druckverteilung nach der Korrektur, es wurde ein Druckverhältnis von 0.99116 erreicht. Die linke Grafik visualisiert die Beinachsen für den initialen Winkel und den korrigierten Winkel (hier 2.8125°).
Abbildung 2: Ergebnisse der Korrektur bei Optimierung anhand des Durchschnittsdrucks. Die Grafik links zeigt die mechanische Achse des Beins vor und nach der Korrektur. Rechts oben ist die Druckverteilung vor der Korrektur und rechts unten nach der Korrektur zu sehen.
Um die Auswirkung von unterschiedlichen Federspannkräften entlang einer Oberfläche zu analysieren, wurde ein einfaches 2d Modell, wie es in Abbildung 3 dargestellt wird, erstellt. Entlang einer gestauchten Sinuskurve sind 150 Federn mit einer Federsteifigkeit von je 1 N/mm verteilt (Abbildung 3, links). Die Kurve bildet die Kontaktfläche zwischen den starren Körpern 1 und 2, die durch die Referenzpunkte R1 und R2 repräsentiert werden. Das Aufbringen einer Kraft F2 von 100 N im Referenzpunkt R2 in Y-Richtung resultiert in einer gleichmäßigen Druckverteilung entlang der Kontaktfläche (Abbildung 3, links unten). Im zweiten Modell (Abbildung 3, rechts) wurde die Federsteifigkeit entlang der Kontaktfläche von links nach rechts linear skaliert. Das heißt die Feder, die am weitesten links liegt, hat eine Steifigkeit von 1 N/mm, die Feder am weitesten rechts eine Steifigkeit von 5 N/mm. Die Federsteifigkeiten der Federn dazwischen sind entsprechend linear interpoliert skaliert. Die gleiche Eingangskraft resultiert nun in einer veränderten virtuellen Verschiebung U 2 von R2 , diese wiederum führt zu einer veränderten Druckverteilung (Abbildung 3, rechts unten).
Es wurde ein Konzept zur Berechnung von Korrekturwinkeln für Umstellungsosteotomien vorgestellt. Das aktuell verwendete Kniemodell beinhaltet noch keine Information über die Spannung der kniestabilisierenden Bänder (mediales uns laterales Kollateralband). Diese Bänder können in einem erweiterten Modell als dehnbare Federn modelliert werden und dazu beitragen, die Kondition der Steifigkeitsmatrix [K ] zu reduzieren. Ein entsprechend vollständiges Modell könnte die in den Methoden besprochene Dimensionsreduktion überflüssig machen. Ein weiterer Punkt, der vor der Erstellung eines patientenspezifischen Modells betrachtet werden sollte, ist der Zusammenhang zwischen den Steifigkeiten der Federn, die die Kontaktfläche modellieren, und dem tatsächlich vorhandenen Knorpelgewebe. So ist es z.B. denkbar, aus MRT Aufnahmen den Gelenkknorpel zu segmentieren und aus der Stärke des Gewebes die Steifigkeit zu berechnen. Hier gilt ein umgekehrt proportionaler Zusammenhang, d.h. je dünner das Knorpelgewebe, desto höher die Federsteifigkeit. Eine hohe Federsteifigkeit bewirkt schon bei geringer Kompression hohe Kräfte. Im Bereich der (bio-)mechanischen Modellierung und Simulation kommen häufig FEM-Systeme zum Einsatz. Unser DEA-basierter Ansatz hat gegenüber FEM den Vorteil, dass die Simulation in Echtzeit erfolgen kann, wodurch die Optimierung des Korrekturwinkels im Sekundenbereich möglich ist. Darüber hinaus kann so auch während der Operation die aktuelle Lage in Echtzeit analysiert und bewertet werden.
Durch den Einsatz modellbasierter Planungssysteme im Anwendungsgebiet der HTO können zukünftig biomechanisch
optimierte Korrekturen geplant werden, wodurch der prothetische Ersatz so lange wie möglich herausgezögert werden
kann. Obwohl grundsätzlich die Eignung der DEA zu Bestimmung der Kraftverteilung bereits gezeigt wurde [
Diese Arbeiten sind im Rahmen einer DFG-Förderung „Roboterassistierte Umstellungsosteotomie“ entstanden. Abbildung 3: Unterschiedliche Druckverteilung bei gleicher Federspannkraft (links) und nach rechts linear ansteigender Federspannkraft (rechts). 5