Целью работы является апробация нелинейно-гармонического метода NLH (Nonlinear harmonic), предназначенного для моделирования нестационарного аэродинамического взаимодействия ротора и статора в турбомашинах, отличающегося высокой скоростью вычислений в сравнении с подходами полномасштабного нестационарного расчёта течения. Расчеты нестационарных течений в турбомашинах относятся к классу вычислительно ресурсоемких задач и для решения реальных задач за приемлемое время требуется использование суперкомпьютеров. На кафедре «Компрессорной, вакуумной и холодильной техники» в целях апробации получены решения двухмерных и трёхмерных течений в турбомашинах с применением NLH метода, реализованного в программном комплексе NUMECAFine/Turbo. К настоящему времени проведено сравнение нестационарного течения со стационарным, получены картины течений и рассмотрен вопрос о консервативности параметров течения.
Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого, Институт прикладной математики и механики1, Институт энергетики и транспортных систем2 В настоящее время существует два подхода снижения времени расчета: во-первых - это увеличение вычислительных ресурсов для решения данного класса задач; и, во-вторых, - это применение новых подходов к их численному решению.
В рамках первого подхода в Политехническом университете Петра Великого создается Суперкомпьютерный центр, с суммарной пиковой вычислительной мощностью около 1 Pflop/s..
Далее мы остановимся на одном из наиболее перспективных вариантов численного решения рассматриваемого класса задач, основанного на представленных в 1996 году в работах [2, 3] по методу нелинейных гармоник (NLH). Этот метод обеспечивает приближенное решение нестационарных задач при существенном уменьшении объема вычислений. Математическая основа NLH метода
t Изначально метод NLH разрабатывался для моделирования течений в межлопаточном пространстве в турбомашинах. Течение в таком случае считается квази-трехмерным, а именно оно разбивается на слои, в каждом из которых считается двумерным. Областью решения является подпространство вращающихся декартовых координат, при этом частота вращения совпадает с частотой ротора рассматриваемой турбомашины. Предполагается, что течение описывается уравнениями Навье-Стокса движения вязкой жидкости, которые будучи записаны в интегральной форме в случае квази-трехмерного приближения на движущейся поверхности ∆A имеют вид: UdA [(F Vx )dy (G Vy )dx] SdA,
S (1) A здесь символом S обозначен контур поверхности ∆A, A u U h rv - вектор переменных состояния, e (e P)u eug
h u ug v vg uu P uug uv P uvg F h , G h - вектора конвективных потоков, r(uv vug ) r(vv vvg )
(e P)v evg S (0,0, P
x сетки, следующей за вращением и вибрацией лопаток. Векторные слагаемые, учитывающие эффекты вязкости (вязкие члены) имеют вид
,0)T - вектор внешних воздействий, ug и vg - скорости движения расчетной 0 xx Vx h r xy 0 xy Vy h r yy , qx u xx v xy
qy u xy v yy где, …, qy соответствующие компоненты тензора скоростей деформаций и вектора xx
(2 3 потока тепла, выражающиеся формулами: 2 u v 2 v u
x y ), yy
(2 3
y x ), xy ( u y v
) qx k
x
T
x
, qy k
T
y
(
cv 2
где Cp и Cv известные постоянные. Динамическая вязкость μ, входящая в уравнения для
напряжений (
Ключевым предположением метода является допущение о том, что течение может быть разделено на две составляющие: стационарный поток и малые возмущения.
U (x, y, t) U (x, y) U ' Аналогично, в таком виде представляются вязкие члены, координаты узлов расчетной сетки и скорости движения расчетной сетки.
После подстановки полученных представлений для всех величин в форме (
A Заметим, что обычно, амплитуда движения узлов сетки для задач расчета течения в турбомашинах относительно невелика и можно пренебречь дополнительными слагаемыми, содержащими нестационарную составляющую координат узлов сетки.
[(F Vx )dy (G Vy )dx] SdA
S
A
Если подставить те же представления величин в форме (
(UdA' U 'dA) [(F Vx )dy ' (G Vy )dx ' (F ' Vx ')dy (G ' Vy ')dx ] (6) t A S A Члены второго порядка, входящие в слагаемые этого уравнения, предполагаются пренебрежительно малыми и исключаются из рассмотрения.
Далее используется метод гармоник, в рамках которого традиционно нестационарные возмущения потока представляются в виде:
U ' U~eit , S ' dA SdA' ~ где U - вектор амплитуд переменных сохранения. Координаты узлов расчетной сетки и её скорости также представляются в гармоническом виде. Подставляя выражения вида (7) в (6) получаем следующее уравнение:
~ ~ ~ ~ [(F Vx )d~y (G Vy )d~x (F Vx )dy (G Vy )dx]
S
~ ~ ~ ~ SdA SdA i UdA i UdA уравнениями выступают выражения, связывающие так называемые «нестационарные напряжения», которыми являются выражения для турбулентных пульсаций вида u' v' , входящие в состав конвективных потоков, со значениями амплитуд и фаз нестационарных колебаний, получаемых из уравнения для гармонических колебаний для первой гармоники следующего вида uv 1 T
uvdt T 0 1 2 1
Au Av sin( tu ) sin( tv ) d t 2Au Av cos(u v ) (9) 2 0 Для n-гармоник имеем:
Np uv (uv)i (10) i1 При этом для совместного решения уравнений (5) и (8) используется, так называемый, метод сопряжения с сильной связью. В этом методе уравнения (5) и (8) решаются одновременно, с использованием схемы Рунге-Кутта 4-ого порядка.
Как отмечалось в отличие от других современных математических моделей, применяемых для расчета нестационарных течений, в которых решается трехмерная задача, метод нелинейных гармоник позволяет перейти к квази-трехмерной, которая, по сути, представляется собой набор двумерных задач. За счет такого подхода в методе NLH решение задач идет гораздо быстрее, при этом мы получаем высокую точность результатов. Однако, как и в случае трехмерных нестационарных моделей, для того, чтобы решать реальные задачи, необходимо использовать высоко - качественные расчетные сетки, состоящие из большого числа элементов. При этом следует учитывать и то естественное обстоятельство, что в методе NLH число выбранных (рассчитываемых) гармоник Np сильно влияет как на точность получаемых результатов, так и на необходимые вычислительные ресурсы. Из-за этого применение суперкомпьютерных технологий является важным аспектом при использовании данного метода. Некоторые результаты
К настоящему времени на кафедре «Компрессорная, вакуумная и холодильная техника» накоплен определенный опыт практического применения метода NLH, реализованного в программном комплексе NUMECAFine/Turbo [4] для двухмерных и трёхмерных течений вязкого газа в турбомашинах. В целях апробации возможностей метода NLH были проведены расчеты двухмерных течений в цилиндрических вырезах высотой в одну расчетную ячейку для турбинной ступени и компрессорной осевой ступени, состоящей из статора, ротора и статора.
В турбинной ступени рассматривалась проницаемость энтропии через межсеточную границу между вращающимся неподвижным лопаточным аппаратом и рабочим колесом и определялось значение КПД в зависимости от количества гармоник Np. Повышение энтропии показывает распределение низкоэнергетических зон в газе, таких как вихревые зоны и места схода газа с лопаток. На рисунке 1 слева показана картина распределения энтропии при расчёте с 3 гармониками, заметна низкая консервативность параметра. На рисунке справа показано распределение энтропии при расчёте с 10 гармониками, с заметно лучшим сохранением значений поля энтропии при прохождении через межсеточную границу. Это подтверждается графиком на рис. 2, на котором заметны побочные явления метода: возникновение паразитных возмущений, которые тем меньше, чем больше гармоник используется в расчёте. Расчёты сравнивались по адиабатному КПД: ад
* Твхода Твыхода * Твхода Твхода где Т *,Т - полная и статическая температура на входе и выходе из расчетной области, а 1 k 1 2 - газодинамическая функция; k 1
a kRTкр - коэффициент скорости a - скорость
Рис. 1. Распределение энтропии на роторе и статоре через межсеточную границу при 3 (слева), 10 (справа) гармониках Рис. 2. Проницаемость энтропии через межсеточную границу. Чёрная линия – Энтропия перед границей (STATOR), чёрный пунктир – энтропия при расчёте с 3 гармониками со стороны ротора (H3 R), серый пунктир – 10 гармоник, со стороны ротора (10R).
В компрессорной ступени с высоконагруженными сверхзвуковыми лопатками было отмечено изменение режима течения на рабочих лопатках: метод NLH в осреднённой картине течения показал менее интенсивное распределение скоростей и иное положение скачка уплотнения в сравнении с расчётом в стационарной постановке. Сравнить картины распределения числа Маха в относительном движении можно на рисунке 3: слева – стационарное решение, справа – решение методом NLH. Различие по политропному КПД составило 0,5% между решениями.
Рис. 3. Распределения числа Маха в относительном движении, стационарное решение Также была рассчитана промежуточная малорасходная ступень центробежного компрессора высокого давления (рис. 4), в которую входит рабочее колесо, безлопаточный диффузор, поворотное колено и обратно-направляющий аппарат. Расчеты показали, что нестационарность, инициируемая рабочим колесом (точка 2), падает на два порядка к концу безлопаточного диффузора (точка 4). Данный эффект был неоднократно замечен экспериментально в ходе работ на кафедре КВиХТ. На рисунке 4 показано сечение ступени с положением контрольно-измерительных точек, в которых измерялась амплитуда полного давления, которая отображена на графике рисунка 5.
Рис. 4. Расчётная область центробежной компрессорной ступени Рис. 5. График удвоенных амплитуд полного давления в контрольных сечениях центробежной компрессорной ступени Расчеты показали необходимость учета числа гармоник, которые используются в вычислениях для соблюдения условия консервативности параметров. Получены данные о различии характера течения при нестационарном и стационарном расчетах. В наши ближайшие планы входит проведение комплекса исследований с целью верификации NLH метода, оценки выигрыша в вычислительных ресурсах и времени расчета при использовании мощных суперкомпьютерных ресурсов. Литература 1. Лопулалан, Хенри Доминггус. Виртуальный стенд для исследования нестационарных процессов в ступени центробежного компрессора [Текст]: дис. канд. техн. наук: 05.04.06 / Лопулалан Хенри Доминггус; Санкт-Петербургский государственный политехнический университет. Simulation of unsteady processes in turbomachines based on nonlinear harmonic NLH-method with the use of supercomputers Yuri Boldyrev, Alexander Rubtsov, Yuri Kozhukhov, Alexander Lebedev, Ivan Cheglakov and Aleksei Danilishin The purpose of this work is to test the nonlinear harmonic method (NLH), intended for simulation of the unsteady aerodynamic interaction between the rotor and stator of the turbomachine, characterized by high speed of calculations in comparison with the fully unsteady flow calculation approach. Calculations of unsteady flows in turbomachines belong to the class of compute-intensive tasks and to solve real problems in a reasonable time requires the use of supercomputers. The Department of compressor, vacuum and refrigeration engineering for testing the obtained solution of two-dimensional and three-dimensional flows in Turbomachinery using this NLH method, implemented in the software package NUMECA Fine/Turbo. To date, a comparison of the behavior of unsteady flow with the steady solution. Obtained flow patterns and considered conservativeness of flow parameters.