В нашей работе рассматривается одноэлектронная двойная квантовая точка (ДКТ), помещенная в высокодобротный оптический резонатор. Данная структура может использоваться для кодировки квантовой информации в локализованные одноэлектронные состояния, перераспределение заселенностей которых (квантовые операции) осуществляется с помощью оптических полей лазера и резонатора. Динамика системы моделируется при помощи уравнения Линдблада для матрицы плотности, а инверсия состояний кубита (или операция NOT) может быть реализована с хорошей точностью. Собственные частоты электрон-фотонной системы, на которых оптическое воздействие на ДКТ особенно эффективно, рассчитываются численно путем моделирования спектроскопического отклика.
Рис. 1. Схема двойной квантовой точки в комбинированном поле лазера и резонатора. Гамильтониан сформированной таким образом четырехуровневой одноэлектронной ДКТ и МР имеет вид
H0 caa A0 A0 A0 B0 B0 B0 A1 A1 A1 B1 B1 B1 V ( A1 B1 B1 A1 ) , (1) где c - частота моды МР, а – оператор уничтожения фотона в данной моде, A0B0A1B1 энергии уровней изолированных КТ, V > 0 – матричный элемент (энергия) туннелирования электрона между возбужденными уровнями КТ (здесь и далее полагаем постоянную Планка равной единице). Поле МР вызывает вертикальные переходы A0 A1 и B0 B1 между основными ( A0 и B0 ) и возбужденными ( A1 и B1 ) состояниями КТ, которые с учетом а) приближения вращающейся волны и б) дипольного приближения описываются гамильтонианом Джейнса-Каммингса
HJC gA A0 A1 a A1 A0 a gB B0 B1 a B1 B0 a , где gA и gB - не зависящие от времени коэффициенты взаимодействия ДКТ и МР (частоты Раби). Частота электронного перехода в КТ А (В) равна разности энергий ее состояний: AB AB1 AB0 . Кроме квантового поля МР, ДКТ аналогичным образом взаимодействует еще и с лазерным (классическим) полем, задаваемым гамильтонианом
HL A cos(L t) A1 A0 A0 A1 B cos(L t) B1 B0 B0 B1 , (3) где A и B - не зависящие от времени амплитуды (частоты Раби) лазера в КТ А и В, а L частота лазера. Таким образом, полный гамильтониан ДКТ в квантовом и классическом полях представляется в виде суммы выражений (1), (2) и (3):
H H0 HJC HL . Отметим, что в модели (4) мы пренебрегаем туннелированием между основными состояниями КТ, а также диагональными переходами A0 B1 и B0 A1 .
Для дальнейшей работы с выражением (4) удобно перейти в систему отсчета, связанную с лазером, с помощью унитарного преобразования T exp iL A1 A1 B1 B1 aat . При этом гамильтониан (4) преобразуется как
H T †HT i
T H0 HJC HL , T † t (2) (4) (5) где и введены следующие обозначения: 01 B01 A01 - разность энергий основных (возбужденных) состояний КТ А и КТ В, AB AB L - отстройка частот перехода в КТ А (В) и лазера, AB c AB - отстройка частот МР и перехода в КТ А (В) и c L отстройка частот МР и лазера. Обращаем внимание на то, что в новой системе отсчета гамильтониан не зависит от времени.
Помимо взаимодействия с монохроматическими полями, МР и ДКТ контактируют с континуумом (резервуаром) фотонных и фононных мод, что приводит к потере когерентности электрон-фотонного состояния. Как правило, резервуар общего вида описывается ансамблем гармонических осцилляторов, линейно взаимодействующих с квантовой системой в приближении Борна-Маркова [1]. Для учета некогерентных процессов мы воспользуемся известным подходом, который базируется на введении так называемых супероператоров Линдблада [2], описывающих распад фотонных состояний МР и электронных состояний ДКТ. Выпишем уравнение Линдблада для редуцированного оператора плотности ДКТ и МР: t
i H , L , где L mLm - суммарный оператор Линдблада, а Lm 2Am Am† Am† Am Am† Am m парциальный оператор Линдблада, характеризующий распад некоторой величины, которой соответствует оператор Am (m – скорость распада). Нас будут интересовать заселенности состояний электрон-фотонной системы, которые равны диагональным элементам матрицы плотности .
В данной работе мы ограничимся рассмотрением диссипации фотонов из МР (m = 1) со скоростью щ и распадом возбужденных состояния КТ А (m = 2) и В (m = 3), обусловленным испусканием фотона или оптического фонона со скоростями А и В, соответственно: A a, 1 щ ; A2 A0 A1 , 2 A ; A3 B0 B1 , 3 B .
1 Как правило, наиболее быстрым из этих процессов является уход фотона из МР в моды континуума. К сожалению, оптическое качество существующих полупроводниковых МР, содержащих КТ, довольно невысокое, а их добротность Q = c/щ обычно не превышает 105 [3 – 5]. Для частоты МР c ~ 1014 Гц, соответствующей частотам перехода А,В ~ 0.1 эВ в нашей ДКТ, получаем оценку щ ~ 10-5c ~ 1 ГГц. Релаксация возбужденной КТ, взаимодействующей с фононным резервуаром, в общем случае представляет собой многостадийный процесс, скорость которого резко зависит от частоты перехода в КТ [6]. В нашей работе мы будем полагать А = В ~ 10-7c, что может быть реализовано в GaAs КТ при гелиевой температуре.
Опишем кратко метод решения уравнения (7). Прежде всего, нам необходимо выбрать пространство базисных векторов, содержащих компоненты фотонной и электронной подсистем. Каждый такой вектор представляет собой прямое произведение вида s k n , где индекс k пробегает по четырем состояниям ДКТ, а индекс n равен числу фотонов в МР. Таким образом, размерность пространства d 4nmax 2 задается максимальным количеством фотонов nmax (входной параметр задачи). Операторы, входящие в (7), выражаются стандартным (6) (7) (8) образом через прямые произведения базисных векторов (например, в узельном бинарном представлении). Удобно «развернуть» матричное уравнение (7) в векторное [7]: d dt (первый столбец матрицы составляет первые d элементов вектора , второй столбец вторые d элементов и т.д.), I – единичная матрица размером d d , а верхний индекс Т означает операцию транспонирования. Диагональные элементы матрицы s,s (1 s d), которые равны заселенностям базисных состояний, располагаются на позициях s s 1d s данного вектора. Поскольку гамильтониан системы не зависит от времени, то нахождение решения (9) может быть проведено без привлечения процедуры численного интегрирования. Предположим, что нам известно преобразование U, диагонализующее матрицу L в правой части уравнения (9). Матрица U образована из собственных векторов матрицы L , используемых здесь в качестве столбцов. Тогда решение (9) для начального вектора 0 дается формулой t USU 1 0 , S diagexpi1t ,...,expi d2t , (10) где 1,..., d 2 - собственные значения матрицы L (всего d 2 ). Следовательно, решение задачи сводится к нахождению собственных значений и векторов матрицы L , которое является гораздо менее затратной процедурой, чем численное интегрирование системы дифференциальных уравнений. Сложность вычислений определяется размером d 2 d 2 диагонализуемой матрицы L . Воспользовавшись результатами данного раздела, мы проведем анализ поведения диссипативной системы «ДКТ + МР + лазер» для нескольких случаев, важных в прикладном отношении. 3. Спектроскопический отклик системы в резонансном режиме и реализация инверсии кубита
Рассмотрим ситуацию, когда энергии возбужденных состояний КТ А и КТ В совпадают, то есть 1 0 . В этом случае уровни A1 и B1 изолированных КТ активно гибридизируются за счет электронного туннелирования.
Новые состояния A1 B1 2 и A1 B1
2 , являющиеся собственными для гамильтониана ДКТ H0, имеют энергии A1 V и A1 V , соответственно. Выберем частоты лазера и МР так, что в ДКТ реализуется трехуровневая лямбда-схема электронных переходов, левое плечо которой отвечает переходу в КТ А под действием лазерного поля, а переход в правом плече вызывается квантовым полем МР. Будем говорить, что ДКТ находится в резонансном режиме, когда выполнено условие строгого двухфотонного резонанса с одним из гибридизированных возбужденных состояний ДКТ. Если в качестве такого состояния выбрано состояние , то данное условие записывается в виде двух равенств: B V , 0 . (11) Чтобы ответить на вопрос, как система будет реагировать на внешнее излучение, вычислим вероятность ее возбуждения из основного состояния КТ А в пустом МР (т.е. из базисного состояния A0 0 ), Pexc 1 PA0,0 , как функцию частоты лазера и одного из параметров ДКТ. Максимумы этой величины должны соответствовать минимумам спектра поглощения ДКТ, наблюдаемого экспериментально. Вероятность (заселенность) отождествляется с PA0,0 соответствующим диагональным элементом матрицы плотности , удовлетворяющей уравнению (9). Выбирая амплитуду лазерного импульса достаточно малой, A(B) щ , а длительность его действия – большой, TL 1 A(B) , мы определяем Pexc в установившемся (steady-state) режиме.
Рис. 2. Контурный график функции Pexc в координатах и 0 в установившемся резонансном однофотонном режиме. Схема уровней ДКТ показана в левом нижнем углу. Параметры ДКТ и полей приведены в правом верхнем углу. Диагональная пунктирная линия 0 = - соответствует условию строгого резонанса (11) в обеих КТ.
Используя данные, полученные в ходе моделирования спектроскопического отклика системы (рис. 2), становится возможным определить набор параметров задачи, при которых реализация вентиля NOT происходит с наибольшей вероятностью. Рис. 3. Заселенность уровней ДКТ в резонансном режиме с учетом диссипации (жирная линия) и без нее (штрихованная линия). описываемые трехуровневой лямбда-схемой. Так же стоит отметить синхронность заселения промежуточных состояний A1,0 и B1,0 (осцилляции меньшей амплитуды на рис. 3), которая объясняется высокой скоростью туннелирования между КТ по сравнению со скоростями обмена энергией между полями и ДКТ: V gAB ,AB [8].
Как мы можем видеть из полученного графика (рис. 3), максимальная заселенность уровня B0,1 при учете диссипативных эффектов составляет 0.79 при TL 2 A(B) gA(B) , что позволяет говорить о возможности реализации в системе с использованием ДКТ операции инверсии кубита. Для приведенных в п. 2 параметров получаем оценку TL ~ 1 нс. В идеализированном случае, без учета некогерентного взаимодействия при той же конфигурации системы вентиль NOT реализуется с вероятностью близкой к 1. 4. Заключение
В данной работе мы моделируем и анализируем спектроскопический отклик полупроводниковой одноэлектронной ДКТ, взаимодействующей с квантовым полем микрорезонатора и лазерным импульсом с учетом диссипативных эффектов. Затем, основываясь на результатах спектроскопического исследования системы, производится подбор параметров, при которых возможна реализация однокубитного вентиля NOT с наибольшей вероятностью. Как было показано в данной работе, ДКТ под управлением полей лазера и микрорезонатора может быть использована для реализации квантовомеханической операции инверсии.
Работа поддержана Программой фундаментальных научных исследований ОНИТ РАН «Элементная база квантовых компьютеров» (проект 1.5). Литература Charge qubit inversion in combined laser and cavity field Alexander Tsukanov and Vadim Chekmachev Keywords: quantum dots, double quantum dot, qubit, inversion We address the design and control of the single-electron double-dot charge qubits coherently driven by both laser and cavity mode. The dynamics is modeled via rigorous matrix density Lindblad approach and the inversion (or NOT) gate is shown to be realized with good accuracy.