Введение

Полупроводниковые квантовые точки (КТ), которые также иногда называют искусственными атомами, являются активно исследуемыми объектами, как в теоретической, так и в экспериментальной физике. Возможность формирования упорядоченных структур на основе КТ вместе с доступностью контроля спектральных и когерентных свойств отдельных КТ делает их перспективными кандидатами для использования в области квантовой информации, а именно, для формирования на их основе кубитов.

В нашей работе рассматривается система, состоящая из одного электрона и двух КТ, разделенных потенциальным барьером, который препятствует туннелированию электрона между их основными состояниями. Волновые функции электрона в этих состояниях локализованы в каждой из КТ. Напротив, электрон в возбужденном состоянии КТ, лежащем вблизи вершины барьера, может туннелировать между точками. Таким образом, основные состояния в КТ соответствуют логическим состояниям кубита, а возбужденные состояния будут являться в данном случае вспомогательными транспортными уровнями.

Квантовые операции осуществляются с помощью полей лазера и оптического высокодобротного микрорезонатора (МР) на частотах резонансного переходам между логическими состояниями кубита и вспомогательными состояниями делокализованными в ДКТ. Поскольку логические состояния являются основными состояниями КТ, такой кубит, как ожидается, будет достаточно стабилен.

В данной работе учтен ряд диссипативных эффектов, свойственных описанной выше системе на основе ДКТ. Некогерентные процессы представлены уходом фотонов из МР вследствие его неидеальности и спонтанными переходами между уровнями КТ. Как мы увидим, несмотря на присутствие этих диссипативных процессов, элементарная квантовая операция инверсии (вентиль NOT) может быть реализована на данном кубите с достаточно высокой точностью.

Модель и основные уравнения

Рассмотрим пару двухуровневых КТ (А и В), помещенных в одномодовый МР, которая содержит один электрон. Потенциальный профиль структуры в направлении роста и схема ее энергетических уровней показаны на рис. 1. Гамильтониан сформированной таким образом четырехуровневой одноэлектронной ДКТ и МР имеет вид

0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 ( 1 1 1 1 ) c A B A B H a a A A B B A A B B V A B B A              ,(1)

где c  -частота моды МР, а -оператор уничтожения фотона в данной моде,

0 0 1 1 A B A B

    - энергии уровней изолированных КТ, V > 0 -матричный элемент (энергия) туннелирования электрона между возбужденными уровнями КТ (здесь и далее полагаем постоянную Планка равной единице). Поле МР вызывает вертикальные переходы 01

AA  и 01 BB  между основными ( 0 A и 0 B ) и возбужденными ( 1 A и 1 B ) состояниями КТ, которые с учетом а) приближения вращающейся волны и б) дипольного приближения описываются гамильтонианом Джейнса-Каммингса     0 1 1 0 0 1 1 0 JC A B H g A A a A A a g B B a B B a      ,(2)

где A g и B g -не зависящие от времени коэффициенты взаимодействия ДКТ и МР (частоты Раби). Частота электронного перехода в КТ А (В) равна разности энергий ее состояний:

      10 A B A B A B    . Кроме квантового поля МР, ДКТ аналогичным образом взаимодействует еще и с лазерным (классическим) полем, задаваемым гамильтонианом     cos( t) 1 0 0 1 cos( t) 1 0 0 1 L A L B L H A A A A B B B B         ,(3) гдеA  и B  -не зависящие от времени амплитуды (частоты Раби) лазера в КТ А и В, а L  - частота лазера. Таким образом, полный гамильтониан ДКТ в квантовом и классическом полях представляется в виде суммы выражений (1), (2) и (3): 0 JC L H H H H    . (4)

Отметим, что в модели (4) мы пренебрегаем туннелированием между основными состояниями КТ, а также диагональными переходами 01 AB  и 01 BA  . Для дальнейшей работы с выражением (4) удобно перейти в систему отсчета, связанную с лазером, с помощью унитарного преобразования

  exp 1 1 1 1 L T i A A B B a a t         . При этом гамильтониан (4) преобразуется как † † 0 JC L T H T HT i T H H H t        , (5) где          01 1 1 1 0 0 0 0 2 11 1 1 1 1 1 1 1 1 , 22 AB A B A B H a a A A B B A A B B V A B B A                         (6)     1 0 0 1 1 0 0 1 2 2 A B L H A A A A B B B B       , JC JC H H  и введены следующие обозначения:       0 1 0 1 0 1 BA      -разность энергий основных (возбужденных) состояний КТ А и КТ В,     L A B A B      -отстройка частот перехода в КТ А (В) и лазера,     c A B A B      -отстройка частот МР и перехода в КТ А (В) и cL      -

отстройка частот МР и лазера. Обращаем внимание на то, что в новой системе отсчета гамильтониан не зависит от времени. Помимо взаимодействия с монохроматическими полями, МР и ДКТ контактируют с континуумом (резервуаром) фотонных и фононных мод, что приводит к потере когерентности электрон-фотонного состояния. Как правило, резервуар общего вида описывается ансамблем гармонических осцилляторов, линейно взаимодействующих с квантовой системой в приближении Борна-Маркова [1]. Для учета некогерентных процессов мы воспользуемся известным подходом, который базируется на введении так называемых супероператоров Линдблада [2], описывающих распад фотонных состояний МР и электронных состояний ДКТ.

Выпишем уравнение Линдблада для редуцированного оператора  плотности ДКТ и МР:

, i H L t           ,(7)

где

mm m LL       -суммарный оператор Линдблада, а † † † 2 m m m m m m m L A A A A A A        -

парциальный оператор Линдблада, характеризующий распад некоторой величины, которой соответствует оператор A m ( m -скорость распада). Нас будут интересовать заселенности состояний электрон-фотонной системы, которые равны диагональным элементам матрицы плотности .

В данной работе мы ограничимся рассмотрением диссипации фотонов из МР (m = 1) со скоростью щ и распадом возбужденных состояния КТ А (m = 2) и В (m = 3), обусловленным испусканием фотона или оптического фонона со скоростями  А и  В , соответственно: Опишем кратко метод решения уравнения (7). Прежде всего, нам необходимо выбрать пространство базисных векторов, содержащих компоненты фотонной и электронной подсистем. Каждый такой вектор представляет собой прямое произведение вида s k n , где индекс k пробегает по четырем состояниям ДКТ, а индекс n равен числу фотонов в МР. Таким образом, размерность пространства max 42 dn  задается максимальным количеством фотонов n max (входной параметр задачи). Операторы, входящие в (7), выражаются стандартным образом через прямые произведения базисных векторов (например, в узельном бинарном представлении). Удобно «развернуть» матричное уравнение (7) в векторное [7]:

1 1 , Aa    щ ; 2 2 0 1 , A A A A     ; 3 3 0 1 , B A B B     . (8  * 1 2 2 T T m m m m m m m m d i H I I H A A A A I I A A L dt                            ,(9)

где вектор  представлен столбцом длиной 2 d , который формируется из столбцов матрицы  (первый столбец матрицы  составляет первые d элементов вектора  , второй столбец - вторые d элементов и т.д.), I -единичная матрица размером dd  , а верхний индекс Т означает операцию транспонирования. Диагональные элементы матрицы , ss

 (1  s  d),

Спектроскопический отклик системы в резонансном режиме и реализация инверсии кубита

Рассмотрим ситуацию, когда энергии возбужденных состояний КТ А и КТ В совпадают, то есть

1 0  . В этом случае уровни 1 A и 1 B изолированных КТ активно гибридизируются за счет электронного туннелирования. Новые состояния   1 1 2 AB    и   1 1 2 AB    , являющиеся собственными для гамильтониана ДКТ H 0 , имеют энергии 1 A V    и 1 A V    ,

Заключение

В данной работе мы моделируем и анализируем спектроскопический отклик полупроводниковой одноэлектронной ДКТ, взаимодействующей с квантовым полем микрорезонатора и лазерным импульсом с учетом диссипативных эффектов. Затем, основываясь на результатах спектроскопического исследования системы, производится подбор параметров, при которых возможна реализация однокубитного вентиля NOT с наибольшей вероятностью. Как было показано в данной работе, ДКТ под управлением полей лазера и микрорезонатора может быть использована для реализации квантовомеханической операции инверсии.

Работа поддержана Программой фундаментальных научных исследований ОНИТ РАН «Элементная база квантовых компьютеров» (проект 1.5).