Разработаны параллельные программы, реализующие стохастические клеточноавтоматные (КА) модели рекомбинации электронов и дырок в неоднородном полупроводнике в двумерном и трехмерном случаях. С помощью разработанной КА модели рекомбинации исследовано пространственно-временное распределение частиц, обнаружено и исследовано формирование макрокластеров электронов и дырок. Параллельная реализация программы позволила вычислить за приемлемое время интегральные характеристики процесса: плотности частиц и интенсивность фотолюминесценции, для большого числа различных начальных условий, а также изучить кинетику процесса рекомбинации при наличии центров рекомбинации и диффузии частиц в двумерном и трехмерном случаях. Ключевые слова: рекомбинация электронов и дырок, полупроводник, фотолюминесценция, стохастический клеточный автомат, параллельная реализация.
agora.guru.ru/pavt рекомбинации в двумерном и трехмерном пространстве. С помощью разработанных программ изучается кинетика процесса аннигиляции электронов и дырок при наличии центров рекомбинации и диффузии частиц в двумерном и трехмерном случаях.
Статья включает в себя четыре раздела. В разделе 2 описана математическая
постановка задачи, приведена система уравнений Смолуховского и формулы, описывающие
асимптотическое поведение характеристик процесса рекомбинации при больших временах.
Раздел 3 посвящен описанию КА-модели рекомбинации, в нем объясняются основные термины
теории КА. В разделе 4 приводятся результаты распараллеливания КА-модели
рекомбинации для трехмерного и двумерного случаев. В разделе 5 представлены результаты
КАмоделирования рекомбинации, приведены эволюции КА и значения характеристик для
различных параметров моделирования.
2. Математическая модель рекомбинации электронов и дырок
в полупроводнике
Для описания процесса рекомбинации электронов и дырок в полупроводнике в [3, 6]
предложена стохастическая модель, основанная на системе уравнений Смолуховского (
B(| x| )\rho p(r+x; t)dx - \beta d (r)\rho n(r; t)\rho p(r; t) - \rho n(r; t)
bn(| x| )\rho Nn(r+x; t)dx; = Dp(r)\Delta r\ho p(r; t) - \rho p(r; t)
B(| x| )\rho n(r+x; t)dx
- \beta d
(r)\rho p(r; t)\rho n(r; t) - \rho p(r; t)
bp(| x| )\rho Np(r+x; t)dx;
(
Nn(r; t) p\artilt
i\nt = - \rho n(r; t) bn(| x| )\rho Nn(r+x; t)dx + \rho p(r; t)
bp(| x| )\rho Np(r+x; t)dx. i\nt Предполагается, что в начальный момент времени электроны, дырки и рекомбинационные центры случайно распределены в d- мерном пространстве X с плотностями \rho n(r; t), r\ho p(r; t) и \rho N (r), соответственно. Символ r обозначает пространственную координату, а t - момент времени. Рекомбинационные центры могут быть свободны, тогда они способны захватить электрон, либо заняты электроном, тогда они способны захватить дырку. Сумрекомбинируют с друг другом с коэффициентом \beta 3(r) = 4\pi \cdot D \cdot r0 в трехмерном проотносительный коэффициент диффузии, r0 - радиус частицы, далее r0 = 1 nm. agora.guru.ru/pavt Интенсивность фотолюминесценции в [6] вычисляется по формуле: p\hi (t) = b\iglane i\nt
1 | X| dr i\nt
B(| x| )\rho n(r; t)\rho p(r+x; t)dx , b\igranle случаев: где угловые скобки обозначают математическое ожидание по начальным распределениям частиц, | X| - размер области.
В [6] с помощью корреляционного анализа выведены формулы для асимптотического поведения плотности электронов и интенсивности фотолюминесценции при t для двух r\ightaow i\nfty для случая чистого туннелирования, то есть радиационной рекомбинации без рекомбинационных центров и диффузии частиц: r\ho \primen_dD(t) \sim 1/(ln(t))d/2;
Id\primeD(t) \sim 1/\{ t \cdot (ln(t))d/2+1}\ , для случая чистой диффузии, то есть радиационной рекомбинации вследствие только диффузии частиц: r\ho \primen_dD(t) \sim 1/td/4;
Id\primeD(t) \sim 1/td/4+1, где d - размерность пространства.
Для решения системы уравнений Смолуховского (
i\n клеткам x \in
Клеточный автомат (КА) - это дискретная динамическая система, состоящая из множества клеток, плотно заполняющих d-мерное пространство [7–9]. Каждая клетка характеризуется парой значений (a, x), где a - это состояние клетки, x - координата клетки в пространстве X. Состояние клетки a \in
A, где A - алфавит состояний, который определяется возможными состояниями моделируемой системы. Состояние клетки изменяется в соответствии с правилами переходов \Theta
в зависимости от состояния самой клетки и от состояний взаимодействующих с ней клеток, которые выбираются с помощью шаблона моделирования T . Шаблон моделирования может быть фиксированным и определяться как множество соседних клеток, расположенных вокруг центральной клетки, либо это может быть множество случайных клеток, выбираемых в соответствии с заданным распределением из множества всех клеток пространства. Применение правил переходов \Theta( x) ко всем
X называется итерацией. Правила переходов могут применяться к клеткам X в различном порядке. Этот порядок называется режимом функционирования (\mu ) КА. Для моделирования стохастических физико-химических процессов используется асинхронный режим работы КА (\mu
= \alph ), при котором правила переходов применяются к случайно выбранным клеткам клеточного массива, сразу же изменяя их состояния, таким образом, новые состояния клеток вычисляются от состояний, полученных на предыдущих и на текущей итерациях.
На основании определения КА [8] КА-модель рекомбинации электронов и дырок в полупроводнике задается в следующем виде: a\leph = \lange A, Xd, \Theta , \alph
r\angle
В соответствии с математической моделью рекомбинации (
Каждой попытке применения одного из правил переходов \thea l, l = 1, . . . , 5, соответствует
локальный временной шаг \Delta t\au = - ln(rand1)/\lambd , где rand1 \in (
Основными характеристиками, измеряемыми экспериментально, являются концентрации частиц и интенсивность фотолюминесценции. В КА-модели рекомбинации \aleph концентрация частиц типа u: Cu(tk), u \in \{ n, p, Nn, Np\} , вычисляется как число клеток с состоянием u в клеточном массиве в момент времени tk. Интенсивность фотолюминесценции вычисляется по формуле (8):
I(tk) = \sigma/ (tk - tk- 1), (8) где \sigma - число фотонов, то есть число взаимодействий электронов и дырок, произошедшее за время (tk - tk- 1).
В начальный момент времени электроны, дырки и рекомбинационные центры случайно и равномерно распределены в клеточном массиве. В связи с тем, что правила переходов и начальные данные КА-модели \aleph являются вероятностными, значения характеристик Cu(tk), u \in \{ n, p, Nn, Np\} , и I(tk) являются случайными величинами, поэтому на основе закона больших чисел вычисляются оценки этих характеристик как математические ожидания значений характеристик, полученных в результате КА-моделирования рекомбинации для различных начальных распределений частиц [10]. Для вычисления оценок характеристик с высокой точностью необходимо, чтобы объем выборки был достаточно большим (105 - 106), для этого требуется провести большое количество численных экспериментов. В зависимости от размеров задачи время вычислений составляет от нескольких часов до нескольких суток. Например, КА-моделирование рекомбинации для двумерной области размером 1000 \times 1000 клеток занимает 27.7 часов. Параллельная реализация задачи дает возможность существенно сократить время вычислений. 4. Параллельная реализация клеточно-автоматной модели рекомбинации электронов и дырок в полупроводнике Традиционный метод распараллеливания клеточных автоматов - разбиение области на подобласти и распределение этих подобластей между процессами, для КА-модели рекомбинации оказывается малоэффективным в связи с тем, что в данной модели парами для взаимодействия являются не соседние клетки, а любые две клетки массива. Следовательно, при каждом вычислении новых состояний клеток x и \varphi (x) необходимо убедиться, что их состояния не были изменены другим процессом и обеспечить передачу новых состояний клеток при использовании их другими процессами. Это требует значительных накладных расходов на обмен данными.
Более эффективным для КА-модели рекомбинации является метод распределения вычислительных экспериментов с различными начальными данными между процессами. В работе для параллельной реализации КА-модели \aleph используется технология OpenMP. Множество вычислительных экспериментов распределяется между доступными потоками. Каждый поток генерирует свою последовательность случайных чисел, которая используется для начального распределения частиц в клеточном массиве, а также для выбора и применения правил переходов \Theta . Все процессы независимо вычисляют значения характеристик agora.guru.ru/pavt на временных шагах [t0; tfin], затем полученные значения суммируются главным (master) потоком. 2 nm, t0 = 0.5 ns, tfin = 108 ns, Cn(0) = Cp(0) = 10000, CNn(0) = 5000, CNp(0) = 0, указанными выше, в двумерном и трехмерном случаях представлены на Рис. 1. лученные в результате параллельной реализации КА-модели \aleph со значениями параметров, а) б) Рис. 1. Оценки качества параллельной реализации КА-модели рекомбинации: а) ускорение и б) эффективность распараллеливания.
Ускорение и эффективность распараллеливания программы, реализующей двумерную КА-модель рекомбинации, выше, чем программы, реализующей трехмерную КА-модель \aleph . На Рис. 1 видно, что ускорение S(th) в обоих случаях (d = 2 и d = 3) близко к линейному, эффективность распараллеливания Q(th) при использовании 12 потоков выше 0.85. 5. Результаты клеточно-автоматного моделирования рекомбинации электронов и дырок в полупроводнике Основными параметрами КА-модели \aleph , влияющими на динамику процесса рекомбинации электронов и дырок, являются: константы скорости взаимодействия частиц ( B0, bn, bp), характерные расстояния взаимодействия ( anp, anNn, apNp), коэффициенты диффузии (Dn, Dp), начальные концентрации частиц (Cn(0), Cp(0), CNn(0), CNp(0)), и размер области b\ulet b\ulet (Sizei, Sizej, Sizek). дующие характеристики процесса:
Cu(tk)/| Xd| , где u \in \{ | X3| = Sizei \cdot Sizej \cdot Sizek. (tk - t мерном и трехмерном пространстве для следующих случаев: 1. радиационная рекомбинация электронов и дырок вследствие чистого туннелирования, 2. радиационная рекомбинация электронов и дырок вследствие чистой диффузии частиц, 3. радиационная и нерадиационная рекомбинация электронов и дырок, 4. радиационная и нерадиационная рекомбинация электронов и дырок при наличии диффузии частиц.
Рассмотрим динамику процесса рекомбинации электронов и дырок на примере КАмодели \aleph со следующими значениями параметров: B0 = 0.04 ns- 1, bn0 = bp0 = 0.02 ns- 1, anp = 4 nm, anNn = apNp = 2 nm, Dn = Dp = 0.5 nm2 \cdot ns- 1, t0 = 0.5 ns, Cn(0) = Cp(0) = 10000, CNn(0) = 5000, CNp(0) = 0, | Xd| = 106 клеток.
В случае чистого туннелирования (случай 1) отсутствуют рекомбинационные центры и
диффузия частиц: CNn(0) = CNp(0) = 0, bn0 = bp0 = 0 ns- 1 и Dn = Dp = 0 nm2 \cdot ns- 1.
Эволюция \aleph , имитирующая динамику процесса рекомбинации, для приведенных выше
значений параметров, представлена на Рис. 2. Для наглядности на рисунке представлены части
г) д) е)
Рис. 2. Пространственное распределение электронов и дырок в случае чистого туннелирования
в двумерной области: а) равномерное распределение при t0 = 0 ns, б) формирование кластеров
электронов и дырок при t = 374 ns, в) формирование макрокластеров при t = 1.06 \cdot 105 ns;
и в трехмерной области: г) равномерное распределение при t0 = 0 ns, д) формирование кластеров
электронов и дырок при t = 374 ns, е) формирование макрокластеров при t = 1.06 \cdot 105 ns.
клеточных массивов размером X2 = 200 \times 200 и X3 = 50 \times 50 \times 50 клеток. В
начальный момент времени электроны и дырки равномерно распределены в объеме с плотностью
r\ho n(0) = \rho p(0) = 0.01 nm- 1 (Рис. 2 а, г). Чем ближе расположены электрон и дырка, тем
с большей вероятностью они взаимодействуют с друг другом. Следовательно, электроны
и дырки, расположенные на близком расстоянии, достаточно быстро аннигилируют, в
результате происходит пространственное разделение электронов и дырок (Рис. 2 б, д). Далее
происходит взаимодействие электронов и дырок, расположенных на границах кластеров, в
результате мелкие кластеры исчезают и формируются макрокластеры электронов и дырок
(Рис. 2 в, е). Причем в трехмерном случае аннигиляция электронов и дырок происходит
быстрее, чем в двумерном. Это можно объяснить тем, что в трехмерной области при
одинаковой концентрации частиц направлений для поиска электронно-дырочных пар больше,
чем в двумерной области, следовательно, пара для взаимодействия будет найдена с большей
вероятностью в трехмерном случае.
Значения плотности электронов и интенсивности фотолюминесценции, полученные при
КА-моделировании чистого туннелирования в двумерном и трехмерном случаях,
представлены на Рис. 3 в логарифмической шкале по обеим осям. Параллельность графиков
асимптотического поведения характеристик \rho \prime2D(t), \rho \prime3D(t), I2\primeD(t), I3\primeD(t), вычисленных по
формуле (
Характер эволюции \aleph в случае радиационной и нерадиационной рекомбинации (случай 4) при наличии рекомбинационных центров CNn(0) = 5000, CNp(0) = 0, bn0 = bp0 = 0.02 ns- 1, и диффузии частиц Dn = Dp = 0.5 nm2 \cdot ns- 1 представлен на Рис. 8. В результате аннигиляции плотность частиц быстро уменьшается, и, несмотря на перемешивание частиц вследствие диффузии, на каждом временном шаге можно выделить кластеры электронов и дырок, но эти кластеры быстро распадаются и носят случайный характер.
На Рис. 9 представлены графики характеристик, полученные в результате
КА-моделирования рекомбинации при наличии рекомбинационных центров и диффузии частиц
(случай 4). Аналогично остальным случаям (
На основе системы уравнений Смолуховского (
С помощью разработанной параллельной программы изучена кинетика процесса рекомбинации для четырех случаев: 1) радиационной рекомбинации электронов и дырок вследствие чистого туннелирования, 2) радиационной рекомбинации электронов и дырок вследствие чистой диффузии, 3) радиационной и нерадиационной рекомбинации при наличии центров рекомбинации, 4) радиационной и нерадиационной рекомбинации при наличии центров рекомбинации и диффузии частиц. В результате исследования эволюции КА-модели a\leph обнаружено формирование кластеров электронов и дырок при отсутствии диффузии частиц. Выявлено, что во всех четырех случаях электроны и дырки аннигилируют быстрее в трехмерной области. Кроме того, наличие центров рекомбинации оказывает большее влияние на процесс рекомбинации в трехмерном случае, тогда как диффузия существеннее влияет на скорость рекомбинации в двумерном случае. Литература 7. Tofoli T., Margolus N. Cellular Automata Machines: A New Environment for Modeling //
USA: MIT Press, 1987. 259 p. 8. Бандман О.Л. Клеточно-автоматные модели пространственной динамики // Системная информатика. Методы и модели современного программирования. 2006. № 10, С. 59–113. 9. Bandman O.L. Mapping physical phenomena onto CA-models // AUTOMATA-2008. In: Adamatzky A., Alonso-Sanz R., Lawniczak A., Martinez G.J., Morita K., Worsch T. (eds.) Theory and Applications of Cellular Automata. Luniver Press, UK. 2008. P. 381–397. 10. Ермаков С.М., Михайлов Г.А. Статистическое моделирование // М.: ФИЗМАТЛИТ, 2-е изд., дополн., 1982. 296 C. Parallel implementation of stochastic cellular automata model of electron-hole recombination in a
semiconductor
A.E. Kireeva1, K.K. Sabelfeld1, Institute of Computational Mathematics and Mathematical Geophysics SB RAS 1 Parallel programs implementing stochastic cellular automata (CA) model of electronhole recombination in an inhomogeneous semiconductor for two- and three-dimensional cases are developed. The spatio-temporal distributions of particles are investigated by the CA simulation. Spatial separation of electrons and holes with clusters formation is found and analyzed. Parallel implementation of the CA model allows us to calculate integral characteristics of the recombination process (particle densities and radiative intensity) in acceptable time. Recombination kinetics in the vicinity of the recombination centers and difusion in two- and three-dimensional space is investigated using the parallel program.
Keywords: electron-hole recombination, semiconductor, parallel implementation, stochastic cellular automata, radiative intensity. 7. Tofoli T., Margolus N. Cellular Automata Machines: A New Environment for Modeling //
USA: MIT Press, 1987. 259 p.