В статті розглядаються різні підходи до обчислення ймовірностей нечітких подій. Розглядаються задачі в нечітких постановках, для розв'язання яких використовуються запропоновані підходи до обчислення нечітких ймовірностей. Ключові слова: ймовірність, нечітка подія. В статье рассматриваются разные подходы к вычислению вероятностей нечетких событий. Рассматриваются задачи в нечетких постановках для решения которых используются предложенные подходы к вычислению нечетких вероятностей. Ключевые слова: вероятность, нечеткое событие. The article deals with different approaches to calculating the probability of fuzzy event. We consider The problems in fuzzy formulation, which are solving with help of the proposed approaches to the calculation of fuzzy probability are considered.
P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B);
A = {1, 3, 5}, B = {1, 2, 3} .
P(S) = 1. P(A∪B) = P(A) + P(B), якщо A∩B = ∅;
P(A) + P( A ) = 1. P( Aα ) =
Σ P(x).
x∈Aα Тут Aα є об’єднанням взаємовиключних елементарних подій. Ймовірність Aα − це сума ймовірностей елементарних подій з Aα . Нечітка ймовірність нечіткої події
Коли при підкиданні кубика говорять, що ймовірність випадання числа, наприклад, 5 дорівнює 1/6, то це означає, що при кожних шести підкиданнях кубика число 5 випадає в середньому один раз. Тобто, не при кожних шести підкиданнях один раз випадатиме число 5; іноді число 5 випаде, наприклад, два або три рази; іноді − жодного разу; але в середньому на кожні шість підкидань кубика один раз буде випадати число 5. Таким чином, якщо випадання числа 5 назвати вдалою подією, то число вдалих подій при кожних шести підкиданнях кубика буде близьким до 1, тобто, ймовірність вдалої події буде близькою до числа 1/6. Це означає, що ймовірність такої події можна описати нечіткою величиною
B = {(1/6, 1), (1/3, 0.9), (1/2, 0.8), (2/3, 0.5), (5/6, 0.4)}.
В загальному випадку, нехай ймовірність кожної елементарної події x простору X задається нечіткою величиною а добуток двох нечітких чисел A1 і A2 (позначається A1 ⊗ A2 = В) − це нечітке число В з функцією належності B(x) = {(y, μ B(x) ( y) ), y∈[0,1]}.
B = {(1/6, 1), (1/3, 0.9), (1/2, 0.8), (2/3, 0.5), (5/6, 0.4)}.
Для цього (відповідно до вищенаведеної формули) обчислюємо добутки μ A (
= {(1/6, 0.8), (1/3, 0.8), (1/2, 0.8), (2/3, 0.5), (5/6, 0.4)};
μ A (6) ⊗ B(6) = {(
={(1/6, 1), (1/3, 0.9), (1/2, 0.8), (2/3, 0.5), (5/6, 0.4)}. Наступним кроком є обчислення суми: (5/6, 0.4)} = {(1/3, min(0.8, 1)), (1/2, max(min(0.8, 0.9), min(0.8, 1)), (2/3, max(min(0.8, 0.8), min(0.8, 1), min(0.8, 0.9), min(0.9, 0.8)), (5/6, max(min(0.8, 0.5), min(0.5, 1)), (1, max(min(0.8, 0.4), min(0.4, 1), min(0.8, 0.5), min(0.9, 0.5), min(0.8, 0.8)), (4/3, max(min(0.8, 0.4), min(0.4, 0.8), min(0.5, 0.5)), (5/6, max(min(0.8, 0.5), min(0.5, 0.8)), (3/2, max(min(0.5, 0.4), min(0.4, 0.5)), (5/3, min(0.4, 0.4))} = ={(1/3, 0.8), (1/2, 0.8), (2/3, 0.8), (5/6, 0.5), (1, 0.4), (4/3, 0.4), (3/2, 0.4)}. Таким чином, нечітка ймовірність нечіткої події A = 1/6 + 0.8/5 є
P(A) = {(1/3, 0.8), (1/2, 0.8), (2/3, 0.8), (5/6, 0.5), (1, 0.4), (4/3, 0.4), (3/2, 0.4)}. Приклади задач в нечітких постановках
Розглянемо одну з головних схем теорії ймовірностей − схему Бернуллі. Ця схема полягає у тому, що розглядається послідовність взаємно незалежних випробувань, в кожному з яких може настати (або не настати) деяка подія A з ймовірністю p , яка не залежить від номера випробування. Необхідно знайти ймовірність того, що в серії з n незалежних випробувань k разів настане і n − k разів не настане подія A . Така ймовірність обчислюється за формулою відомою, як формула Бернуллі. Наприклад, для того, щоб знайти ймовірність того, що серії із 4-х підкидань кубика в 2-х випадках випаде число 4, треба обчислити величину
Pn (k) = Cnk pk (1 − p)n−k ймовірностей P( A) , P( A) та використанню формули Бернуллі. А саме, За формулою Бернуллі отримаємо, що у випадку нечіткої події A
Обчислимо нечітку α-ймовірність нечіткої події A = 1/6 + 0.8/5. Розглянемо події Aα , що визначаються α-перетинами: A1 = {6}, A0.8 = {5,6}. Ймовірності цих подій дорівнюють відповідно Тоді нечітка α-ймовірність нечіткої події A дорівнює
P(A) = {(
6 3 Це означає, що міра того, що ймовірність події A1 = {6} є 1 дорівнює 1, а що міра того, що ймовірність події 6 A0.8 = {5,6} є 1 дорівнює 0.8.
3 Обчислення нечіткої α-ймовірності нечіткої події, тобто того, що в серії із 4-х підкидань кубика 2 рази настане і 2 рази не настане подія А = 1/6 + 0.8/5 може бути виконане наступним чином: 1) за формулою Бернуллі знаходимо ймовірності
P4 (0), P4 (
2) для нечіткої множини знаходимо α-перетини 3) знаходимо ймовірності Тоді нечітка α-ймовірність P(A) нечіткої події A – це нечітка величина
P(A) = {(P ( A0.7 ) , 0.7), (P ( A0.8 ) , 0.8), (P ( A1) , 1)}.
Обчислення нечіткої ймовірності нечіткої події може бути виконане за аналогією з обчисленням нечіткої α-ймовірності нечіткої події. Відмінність полягає лише в тому, що відповідні ймовірності слід задавати нечіткими величинами. Отже, обчислення нечіткої ймовірності нечіткої події, тобто того, що в серії із 4-х підкидань кубика 2 рази настане і 2 рази не настане подія A = 1/6 + 0.8/5 може бути виконане наступним чином:
Нехай, наприклад, є три однакових урни. В першій – a білих шарів і b чорних; в другій – c білих і d чорних; в третій – тільки білі шари. Навмання вибираємо урну і один шар з неї. Виявилось, що цей шар білий. Потрібно знайти ймовірність того, що цей шар вийняли з першої урни. Для обчислення цієї ймовірності, як відомо, необхідно сформулювати гіпотези H1 – вибір першої урни, H 2 – вибір другої урни, H3 – вибір третьої урни. Ймовірності цих гіпотез дорівнюють P( H1 ) = P( H 2 ) = P( H3 ) = 1 . Якщо 3 подія A це поява білого шару, то ймовірності події A за умови, що шар з першої, другої та третьої урн дорівнюють відповідно Тоді ймовірність того, що шар вийнятий з першої урни обчислюється за формулою Байєса, а саме: Якщо подія A описується, наприклад, нечіткою множиною A = 0.4/білий +0.5/чорний, то ймовірності події A при умові, що шар з першої, другої та третьої урн дорівнюють відповідно
a a + b
c c + d P(A / H1) = , P( A / H2 ) =
, P(A / H3) = 1.
P(H1 / A) = n i=1
P(H1)P( A / H1) ∑ P(Hi )P( A / Hi ) =
a (a + b)
c a
+ (a + b) (c + d )
. , , . Як і вище, ймовірність того, що шар вийнятий з першої урни обчислюється за формулою Байєса Висновки
У статті розглядаються різні способи визначення ймовірності нечітких подій. А саме, звичайна ймовірність нечіткої події, α-ймовірність нечіткої події та нечітка ймовірність нечіткої події. Ймовірність нечіткої події є дуже важливою характеристикою процесів, які описуються системами нечіткого логічного виведення [5]. Вони дозволяють оцінювати достовірність результатів роботи таких систем і, при потребі, вносити корективи в їх аксіоматику шляхом “навчання”.
Передбачається, що запропоновані підходи до визначення ймовірності нечітких подій дозволять оптимізувати нечіткі моделі подання знань у розумінні забезпечення потрібної достовірності для тих чи інших класів задач.