1 - БГПУ имени Акмуллы (Уфа) 2 - Уфимский политехнический колледж (Уфа) В работе введено понятие почти лиевых групп, обобщающих группы Шевалле, группы лиева типа, и изучены гомоморфизмы этих групп в группы обратимых элементов P I кольца. Начнем мы с разных способов задания групп Ли и их изоморфизмов в бесконечномерном случае. 1. G = GLn(R); E = En(R) изоморфизмы для 12 2 R, n > 3 описаны И.З. Голубчиком и А.В. Михалевым [5, 6] и независимо Е.И. Зельмановым [7]. В их работах были получены также и унитарные аналоги. 2. e1; e2; e3; e4; e5; e6 ортогональная система идемпотентов в R, ei = ei+3, 1 6 i 6 3, инволюция в P ei = 1 и ReiR = R, G = U (R; ) = fA 2 RjA A = A A = Eg: E порождено 1 + eirei (eirei) , i 1 6 i 6= j 6 6: Здесь изоморфизм описан Альбиной Исмагиловой [2]. Она использовала как методы из статей И.З. Голубчика, А.В. Михалева, так и метод из работ Е.И. Зельманова. 3. K конечное подмножество в Qn, 0 2 K, g = 2Kg конечно-градуированная алгебра над полем нулевой характеристики [g ; g ] g + и gj = f0g при j 62 K: Кроме того, g0 P [g ; g ], 2K g P [g j; gj], где ; j линейно независимы и E(g) - подгруппа, порождаемая adx , x 2 g , 6= 0, j2K 2 Q, - рациональное число. Эпиморфизмы E(g) ! E(g1) описаны И.З. Голубчиком [8] в случае, когда g1 - подпрямое произведение специальных алгебр Ли. Отметим, что E(g) обобщает группы Шевалле над коммутативным кольцом. В этом случае g корневое подпространство.
R.
sl2(Q) = f a c b a ja; b; c 2 Qg (1) Задан набор гомоморфизмов 'i : sl2(Q) ! R алгебр Ли. Набор гомоморфизмов 'i, конечный либо бесконечный. При этом для каждого i образ 'i порождает кo01 00 и 'i , где по-прежнему ( ) – полиномы и 'i 00 10 0 01 1 'i@ 00 A
,
[E; C 2] E 2:
(
Основные предложения следующие: Пусть E – почти лиева группа и Q : E ! U (S) – гомоморфизм групп, S P I алгебра (ассоциативная алгебра с полимиальным тождеством) над полем рациональных чисел, причем S порождается как кольцо ImQ: 0 01 1 'i@ 00 A (e
0 01 1 ( )'i@ 00 A
0 k 0 k Тогда T ('i 01 ( 11+ 2k) )T 1 является коммутантом двух треугольных матриц, т.е. верхней треугольной матрицей. Но верхнетреугольная матрица унипотентна. Сопрягая T 1, получаем, что 'i 10 ( 11+ 2k) – унипотентный элемент для 8 ; , если k фиксировано. колец предложение 1 доказано. Отметим, что ( (e
) = e yi, где xi и yi – нильпотентные элементы ) = e ( )xi; (e
) = e ( )yi: 0 00 1 ( )'i@ 10 A (5) По предложению 1, Q(e кольца S.
Положим Докажем, что отображение образующих продолжается до гомоморфизмов групп. Для этого надо доказать, что если произведение элементов равно 1, то произведение их образов тоже равно 1.
Доказательство. Действительно, правая часть – это произведение образов элементов, задаваемых равенством (5), которое является многочленом от с коэффициентами из S. Оно равно 1 для любого фиксированного , так как выполнено равенство (4) и Q – гомоморфизм групп.
Мы получили, что многочлен равен 1 для любых фиксированных рациональных, и значит он тождественно равен 1 (алгебраическое и функциональное равенство многочленов над полем рациональных чисел). Итак, равенства (5) задают гомоморфизм групп.
Q : E(g[ ]) ! u(s[ ]). Получаем индуцированный гомоморфизм Q[E ] ! (Q [E ])=N , где N = fA 2 U (s[ ])jA 1 2 2S[ ]g: Зададим гомоморфизм алгебры Ли : g ! S. Положим (A 'i(
A 1) = ad(Q(A) xi Q(A 1)), где xi из формулы (4), – рациональное число, A 2 E.
Чтобы проверить, что отображение , заданное на образующих векторного пространства g, задает гомоморфизм векторных пространств, надо показать, что если
X Aji k'i( j;i;k тельно, по условию (3), [B; Qj;i;k Aj;ie Действительно, пусть выполнено равенство (6). Тогда Qj;i;k Aj;ie
0 01 1 k 'i(@ 00 A)
Aj;i1]
X(Q(Aji) kxiQ(Aji1) = 0: то Но кольцо S порождается Im , значит Pi;j;k Q(Aj;i) kxiQ(Aj;i1) лежит внутри центра кольца S и значит ad(Pi;j;k Q(Aj;i) kxiQ(Aj;i1)) = 0. Равенство (7) доказано, корректность доказана. Покажем, что отображение не только гомоморфизм векторных пространств, но и гомоморфизм алгебр Ли. Действительно, из определения ,
(AaA) = Q(A) (a)Q(A 1)); где a 2 g, A 2 E.
Далее, полагая A = (e
), из равенства (9) получаем, что ([B'i( Q(e = adxi, (e ) = e 'i, 'i 1000 групп Ли задается гомоморфизмом алгебры Ли. Предложение 2 доказано.
Доказательство предложения 3.
Пусть элемент A 2 Ker Q, тогда, по равенству (9), = [Q(B) xi Q (B 1); (a)] = [ (B'i(( 0001 )B 1); (a))], но B'i( 0001 )B 1 порождает алгебру Ли g как векторное пространство. Мы показали, что отображение сохраняет лиевскую операцию. Кроме того, 0 01 1 0 01 1 0 00 1 'i@ 00 A @ 00 A 'i@ 10 A ) = e xi, Q'i = adyi, т.е. гомоморфизм (AaA 1 a) = Q(A) (a) Q(A 1) (a) = (a) (a) = 0; AaA 1 a 2 Ker и A 2 C(Ker ). Мы показали, что Ker Q C(Ker ). Пусть B 2 C(Ker ), тогда (BaB 1 a) = 0, Q(B) (a)Q(B 1) = (a). Мы показали, что eQ(B)adxiQB 1 = e adxi:eadz(y) = ezy(ez) 1, значит элементы [Q(B); e xi] = [Q(B); e yi] лежат в центре кольца S. Но группа Q(E) порождается элементами e xiи e yi, значит коммутант [Q(B); Q(E)] лежит в центре кольца S и, следовательно, [Q(B); [Q(E); Q(E)]] = 1. (9) Наконец, E = [E; E] и, следовательно, Q[B; E] = Q[B; [E; E]] = [Q(B)], [Q(E); Q(E)] = 1, тогда [Q(B); Q(E)] = 1, т.е. [B; E] 2 Ker Q. Мы показали [E; C(Ker )] Ker Q C(Ker ).
Предложение 3 доказано.
Полученные результаты справедливы, в частности, для широкого класса линейных и унитарных групп над кольцами, а также групп лиева типа над кольцами, в частности, для групп Шевалле над коммутативным алгебрами нулевой характеристики. Список литературы [1] I. Golubchik. Lie type groups over PI-rings. Fundamentalnaya i prikladnaya matematika, 2:399-424, 1997. [3] E. Bunina. Automorphisms of elementary adjoint Chevalley groups of types over local rings. Algebra and
Logic, 4:250–267, 2009. [4] I. Golubchik. Isomorphisms of General Linear Group GLn(R); n > 3 over an Associative Ring. Amer. Math.
Soc., 1:123-136, 1992. [5] I. Golubchik, A. Mikhalev. Isomorphisms of the general linear groups over an associative ring. Vest. MSU, 3:61-72, 1983. [6] I. Golubchik, A. Mikhalev. Isomorphism of unitary groups over associative rings. Zap. Nauchn. Sem. LOMI, 2:97-109, 1983. [7] E. Zelmanov. Isomorphisms of linear groups over an associative ring. Sibirsk. Mat., 4:49-67, 1985. [8] I. Golubchik. Epimorphisms groups of Lie type. Int. conf. Nov., 2000. Representations of Lie groups I.Z. Golubchik1, A.I. Murseeva2 1 – M. Akmullah Bashkir State Pedagogical University (Ufa, Russia) 2 – Ufa Polytechnic College (Ufa, Russia)
Concepts of almost Lie groups generalizing Chevalley groups and Lie groups are offered. Homomorphisms of these groups in groups of invertible u(R) elements are also studied.