Представления групп лиева типа И.З. Голубчик1 А.И. Мурсеева2 mgolubchik@mail.ru mAlsou@mail.ru 1 – БГПУ имени Акмуллы (Уфа) 2 – Уфимский политехнический колледж (Уфа) Аннотация В работе введено понятие почти лиевых групп, обобщающих груп- пы Шевалле, группы лиева типа, и изучены гомоморфизмы этих групп в группы обратимых элементов P I — кольца. 1 Введение Начнем мы с разных способов задания групп Ли и их изоморфизмов в бесконечномерном случае. 1. G = GLn (R), E = En (R) изоморфизмы для 21 ∈ R, n > 3 описаны И.З. Голубчиком и А.В. Михалевым [5, 6] и независимо Е.И. Зельмановым [7]. В их работах были получены также и унитарные аналоги. 2. e1 , e2 , e3 , e4 , e5 , e6 — ортогональная система идемпотентов в R, e∗i = ei+3 , 1 6 i 6 3, ∗ — инволюция в R. P ei = 1 и Rei R = R, G = U (R, ∗) = {A ∈ R|A × A∗ = A∗ × A = E}. E порождено 1 + ei rei − (ei rei )∗ , i 1 6 i 6= j 6 6. Здесь изоморфизм описан Альбиной Исмагиловой [2]. Она использовала как методы из статей И.З. Голубчика, А.В. Михалева, так и метод из работ Е.И. Зельманова. 3. K — конечное подмножество в Qn , 0 ∈ K, g = ⊕α∈K gα — конечно-градуированная алгебра P над полем нулевой характеристики [gα , gβ ] ⊆ gα+β и gj = {0} при j 6∈ K. Кроме того, g0 ⊆ [gα , g−α ], α∈K [gα−j , gj ], где α, j линейно независимы и E(g) – подгруппа, порождаемая β adxα , xα ∈ gα , α 6= 0, P gα ⊆ j∈K α ∈ Q, β – рациональное число. Эпиморфизмы E(g) → E(g1 ) описаны И.З. Голубчиком [8] в случае, когда g1 – подпрямое произведение специальных алгебр Ли. Отметим, что E(g) обобщает группы Шевалле над коммутативным кольцом. В этом случае gα — кор- невое подпространство. 2 Почти лиевы группы Приведем еще один класс групп, связанных с алгебрами Ли, не обязательно конечно-градуированными, как это было в пунктах 1-3. Определение. Пусть Q – поле рациональных чисел.   a b sl2 (Q) = { |a, b, c ∈ Q} (1) c −a – трехмерная простая алгебра Ли над полем рациональных чисел. R – ассоциативная алгебра с 1 над полем рациональных чисел. Copyright c by the paper’s authors. Copying permitted for private and academic purposes. In: A.A. Makhnev, S.F. Pravdin (eds.): Proceedings of the 47th International Youth School-conference “Modern Problems in Mathematics and its Applications”, Yekaterinburg, Russia, 02-Feb-2016, published at http://ceur-ws.org 15 Задан набор гомоморфизмов ϕi : sl2 (Q) → R− алгебр Ли. Набор гомоморфизмов ϕi , конечный либо бесконечный. При этом для каждого i образ ϕi порождает  кo-  01 нечномерную ассоциативную алгебру над полем рациональных чисел в R. Легко показать, что ϕi   00 00 и ϕi – нильпотентные элементы ассоциативной алгебры R. Почти лиевой группой E, порожден- 10   01  αϕi  00 ной  набором  ϕi , назовем подгруппу в группе обратимых элементов кольца R, порожденную e , 00 αϕi       10 01 00 e , где α – рациональное число (экспонента обрывается, так как элементы ϕi и ϕi  00   10 01 00 нильпотентны). Через g обозначим подалгебру Ли в алгебре R− , порожденную ϕi , ϕi для 00 10 всех i. Нам понадобится ряд определений. Пусть R(λ) — кольцо многочленов над R от переменной λ. Определим группу E(g[λ])   как подгруппу   в 01 00 α(λ)ϕi   α(λ)ϕi   00 10 группе обратимых элементов кольца R(λ), порожденную набором элементов e ,e , где α(λ) – полиномы с рациональными   коэфициентами.   Далее, E λ – нормальный делитель в группе E(g[λ]), 01 00 λαλ ϕi   λαλ ϕi   00 10 порожденный элементами e ,e   , а Eλ2 –нормальный  делитель в E(g[λ]), порожден- 01 00 λ2 α(λ)ϕi   λ2 α(λ)ϕi   00 10 ный коммутантом Eλ и элементами e ,e , где по-прежнему α(λ) – полиномы от λ с рациональными коэфициентами. Наконец, Cλ2 = {A ∈ E(g[λ])|A − 1 ∈ λ2 R[λ]}. (2) Нам понадобится следующее коммутаторное условие: [E, Cλ2 ] ⊆ Eλ2 . (3) Коммутаторные формулы в линейных и унитарных групп над кольцами, а также в группах лиевского типа, обобщающие условие (3), исследовались в работах ряда авторов. Они выполнены для широкого класса групп. Основные предложения следующие: Пусть E – почти лиева группа и Q : E → U (S) – гомоморфизм групп, S − P I алгебра (ассоциативная алгебра с полимиальным тождеством) над полем рациональных чисел, причем S порождается как кольцо ImQ.   αϕi αxi 01 Предложение 1. Q(e (F )) = e и xi – нильпотентный элемент кольца S, где F = . 00 Предложение 2. Пусть справедлива формула (3). Тогда существует гомоморфизм τ алгебры g из R, i ∈ I в Inder S (алгебру Ли внутренних дифференцирований кольца S) (r(s) = rs − sr) такой, что τ (ϕi (F )) = xi , τ (AαA−1 ) = Q(A)τ (α)Q(A−1 ), (4) где a ∈ g, A ∈ E. Предложение 3. Справедливы включения [E, C(Ker τ )] ⊆ Ker Q ⊆ C(Ker τ ), где C(Ker τ ) = {A ∈ E| ∀a ∈ g)[AaA−1 − a ∈ Ker τ ]} – верхняя конгруэнц подгруппа уровня Ker τ . Коммутант [E, C(Ker τ )] – это нижняя конгруэнц подгруппа уровня Ker τ . Докажем сначала предложение 1 в случае, когда S – первичная P I-алгебра над полем рациональнах чисел. Доказательство: Легко показать, что конечно-порожденное подкольцо в S в этом случае вкладывается в кольцо матриц над полем комплексных чисел Cm , m 6 pi.degS (pi – степень кольца S). Гомоморфизм ϕi 16 задает конечномерное  представление   ϕi специальной  линейной группы Sl2 (Q). Подкольцо S порождается α 0 1 β элементами τ ϕi и τ ϕi . 0 α−1 0 1 Через H обозначим подгруппу в U (S), порожденную этими же элементами. Эта группа H разрешима. По теореме Колчина–Мальцева, эту подгруппу можно сопрячь матрицей T так, что полученная погруппа по-  k  k α 1 −1 1β чти триангулируема и существует k 6 f (pi.degS), для которой T τ ϕi T и T τ ϕ i T −1 0 α−1 01 будут треугольными матрицами.  k  k     k α 0 α 1 1 β·k 1β Далее, τ ϕi =τ ϕi и τ ϕi =τ ϕi . 0 α−1 0 α−k 0 1 01  k     −k    α 1 1 β·k α 0 1 β·k Посчитаем коммутанты этих матриц: × × × = 0 α−k 0 1 0 αk 0 1 α−k α−k · (−β · k)  k α αk · β · k 1 (β · k)(−1 + α2k )      = −k × k = . 0 α 0 α 0 1 1 β · (−1 + α2k )   Тогда T (ϕi )T −1 является коммутантом двух треугольных матриц, т.е. верх- 0 1 −1 ней треугольной матрицей.  Но верхнетреугольная матрица унипотентна. Сопрягая T , получаем, что 1 β · (−1 + α2k ) τ ϕi – унипотентный элемент для ∀α, β, если k фиксировано. 0 1     1γ 1γ Подбирая β и α, получаем, что элемент τ (ϕi ) – унипотентный и элементы τ (ϕi )−1 в 01 01 некоторой фиксированной степени, зависящей от pi.deg  кольца  S, равны 0. Тем самым в случае первичных 01  αϕi    00 1 α колец предложение 1 доказано. Отметим, что (τ (e )) = (τ ϕi ). Для произвольных колец   0 1 01  γαϕi  00 S мы получили, что ((τ (e − 1)))m лежит в первичном радикале (первичный радикал – это пересечение  всех  первичных идеалов кольца  S).  Так как первичный радикал является ниль идеалом, то 01 01 αϕi (( )−1) αϕi (( )) 00 00 (τ (e ))m·n = 0, т.е. (τ (e )) унипотентный. Предложение 1 доказано. Докажем предложение 2. Покажем, что гомоморфизм групп Q : E → U (S) продолжается до го-  01 α(λ)ϕi   00 моморфизма   групп Q λ : E(g[λ]) → U (S[λ]). Зададим отображение Q λ на образующих e , 00 α(λ)ϕi   10 e .     01  00  αϕi  αϕi  00 10 По предложению 1, Q(e ) = eαxi , Q(e ) = eαyi , где xi и yi – нильпотентные элементы кольца S. Положим     01  00  α(λ)ϕi  α(λ)ϕi  00 10 τ (e ) = eα(λ)xi , τ (e ) = eα(λ)yi . (5) Докажем, что отображение образующих продолжается до гомоморфизмов групп. Для этого надо дока- зать, что если произведение элементов равно 1, то произведение их образов тоже равно 1. Доказательство. Действительно, правая часть – это произведение образов элементов, задаваемых ра- венством (5), которое является многочленом от λ с коэффициентами из S. Оно равно 1 для любого фик- сированного λ, так как выполнено равенство (4) и Q – гомоморфизм групп. Мы получили, что многочлен равен 1 для любых фиксированных рациональных, и значит он тож- дественно равен 1 (алгебраическое и функциональное равенство многочленов над полем рациональных чисел). Итак, равенства (5) задают гомоморфизм групп. Qλ : E(g[λ]) → u(s[λ]). Получаем индуцированный гомоморфизм Q[Eλ ] → (Qλ [Eλ ])/N , где N = {A ∈ U (s[λ])|A − 1 ∈ λ2 S[λ]}. Зададим гомоморфизм алгебры Ли τ : g → S. 17   01 Положим τ (A·αϕi ( A−1 ) = ad(Q(A)αxi ·Q(A−1 )), где xi из формулы (4), α – рациональное число, 00 A ∈ E. Чтобы проверить, что отображение τ , заданное на образующих векторного пространства g, задает го- моморфизм векторных пространств, надо показать, что если   X 01 Aji αk ϕi ( )A−1 = 0, (6) 00 j,i,k то X ad Q(Aji ) · αi · xi · Q(A−1 ji ) = 0, (7) j,i,k где суммы конечные.   01  αk λϕi ( ) 00 · A−1 Q Действительно, пусть выполнено равенство (6). Тогда j,i,k Aj,i e   j,i ∈ Cλ2 и, следова- 01  αk λϕi ( ) 00 · A−1 Q тельно, по условию (3), [B, j,i,k Aj,i e j,i ] ⊆ Eλ2 . Отсюда следует, что   01  αk λϕi ( ) Y 00 Q[(B, Aj,i e · A−1 j,i )] ⊆ Q(Eλ2 ) = 1. (8) j,i,k λαk xi Q(Aj,i )−1 ] ∈ N и значит Q Из равенства (8) вытекает, что [Q(B), j,i,k Q(Aj,i )e X X Q(B)( Q(Aji )αk xi Q(A−1 ji )Q(B −1 )− (Q(Aji )αk xi Q(A−1 ji ) = 0. Но кольцо S порождается Imτ , значит i,j,k Q(Aj,i )αk xi Q(A−1 P j,i ) лежит внутри центра кольца S и значит P −1 ad( i,j,k Q(Aj,i )αk xi Q(Aj,i )) = 0. Равенство (7) доказано, корректность доказана. Покажем, что отобра- жение τ не только гомоморфизм векторных пространств, но и гомоморфизм алгебр Ли. Действительно, из определения τ , τ (AaA) = Q(A)τ (a)Q(A−1 )), (9) где a ∈ g, A ∈ E.   01  −1 αBϕi ( )B   00 01 Далее, полагая A = (e ), из равенства (9) получаем, что τ ([Bϕi ( )B −1 , a]) = 00     01 01 = [Q(B) · xi · Q · (B −1 ), τ (a)] = [τ (Bϕi (( )B −1 ), τ (a))], но Bϕi ( )B −1 порождает алгебру Ли g 00 00 как векторное пространство.  Мы  показали, что отображение τ сохраняет лиевскую операцию. Кроме того, 01      01 00  αϕi  αϕi   00    00 10 00 Q(e ) = eαxi , Qϕi = adxi , τ (e ) = eαϕi , τ ϕi = adyi , т.е. гомоморфизм 10 групп Ли задается гомоморфизмом алгебры Ли. Предложение 2 доказано. Доказательство предложения 3. Пусть элемент A ∈ Ker Q, тогда, по равенству (9), τ (AaA−1 − a) = Q(A) · τ (a) · Q(A−1 ) − τ (a) = τ (a) − τ (a) = 0, AaA−1 − a ∈ Ker τ и A ∈ C(Ker τ ). Мы показали, что Ker Q ⊆ C(Ker τ ). Пусть B ∈ C(Ker τ ), тогда −1 τ (BaB −1 − a) = 0, Q(B)τ (a)Q(B −1 ) = τ (a). Мы показали, что eQ(B)adxi QB = eαadxi .eadz (y) = ez y(ez )−1 , αxi αyi значит элементы [Q(B), e ] = [Q(B), e ] лежат в центре кольца S. Но группа Q(E) порождает- ся элементами eαxi и eαyi , значит коммутант [Q(B), Q(E)] лежит в центре кольца S и, следовательно, [Q(B), [Q(E), Q(E)]] = 1. 18 Наконец, E = [E, E] и, следовательно, Q[B, E] = Q[B, [E, E]] = [Q(B)], [Q(E), Q(E)] = 1, тогда [Q(B), Q(E)] = 1, т.е. [B, E] ∈ Ker Q. Мы показали [E, C(Ker τ )] ⊆ Ker Q ⊆ C(Ker τ ). Предложение 3 доказано. Полученные результаты справедливы, в частности, для широкого класса линейных и унитарных групп над кольцами, а также групп лиева типа над кольцами, в частности, для групп Шевалле над коммутатив- ным алгебрами нулевой характеристики. Список литературы [1] I. Golubchik. Lie type groups over PI-rings. Fundamentalnaya i prikladnaya matematika, 2:399-424, 1997. [2] I. Golubchik, A. Ismagilova. Isomorphisms of the unitary group over a ring. J. Math. Sci, 2:1074–1086, 2008. [3] E. Bunina. Automorphisms of elementary adjoint Chevalley groups of types over local rings. Algebra and Logic, 4:250–267, 2009. [4] I. Golubchik. Isomorphisms of General Linear Group GLn (R), n > 3 over an Associative Ring. Amer. Math. Soc., 1:123-136, 1992. [5] I. Golubchik, A. Mikhalev. Isomorphisms of the general linear groups over an associative ring. Vest. MSU, 3:61-72, 1983. [6] I. Golubchik, A. Mikhalev. Isomorphism of unitary groups over associative rings. Zap. Nauchn. Sem. LOMI, 2:97-109, 1983. [7] E. Zelmanov. Isomorphisms of linear groups over an associative ring. Sibirsk. Mat., 4:49-67, 1985. [8] I. Golubchik. Epimorphisms groups of Lie type. Int. conf. Nov., 2000. 19 Representations of Lie groups I.Z. Golubchik1 , A.I. Murseeva2 1 – M. Akmullah Bashkir State Pedagogical University (Ufa, Russia) 2 – Ufa Polytechnic College (Ufa, Russia) Keywords: Chevalley groups, representations of groups, groups of Lie type. Concepts of almost Lie groups generalizing Chevalley groups and Lie groups are offered. Homomorphisms of these groups in groups of invertible u(R) elements are also studied. 20