А.А. Махнев и М.С. Самойленко выделили параметры сильно регулярных графов с не более чем 1000 вершинами, которые могут быть окрестностями вершин в антиподальном дистанционно регулярном графе диаметра 3 с = . Ими же предложена программа исследования вершинно симметричных антиподальных дистанционно регулярных графов диаметра 3 с = , в которых окрестности вершин сильно регулярны с вышеуказанными параметрами. В данной работе рассмотрен граф с массивом пересечений f121; 100; 1; 1; 20; 121g. Доказано, что вершинно симметричный граф с массивом пересечений f121; 100; 1; 1; 20; 121g является реберно симметричным с цоколем группы автоморфизмов, изоморфным Z2 L2(121).
Теорема. Пусть дистанционно регулярный граф с массивом пересечений f121; 100; 1; 1; 20; 121g,
G = Aut( ), g элемент простого порядка p из G и = Fix(g) содержит по s вершин в t антиподальных
классах. Тогда (G) f2; 3; 5; 11; 61g и выполняются следующие утверждения:
(1) если пустой граф и p 2 f2; 3; 61g;
(
(4) если p = 3, то t = 3l + 2 и либо s = 6, 14 6 t 6 20, причем в случае t = 14 граф является дистанционно регулярным с массивом пересечений f13; 10; 1; 1; 2; 13g, либо s = 3, 8 6 t 6 38, причем в случае t = 8 граф является дистанционно регулярным с массивом пересечений f7; 4; 1; 1; 2; 7g; (5) если p = 2, то каждая вершина из смежна с четным числом вершин из и либо s = 6, t = 2; 4; :::; 20, либо s = 4, 2 6 t 6 30, либо s = 2, 2 6 t 6 42, причем в случае t = 42 граф дистанционно регулярен с массивом пересечений f41; 20; 1; 1; 20; 41g.
Следствие. Вершинно симметричный дистанционно регулярный граф с массивом пересечений f121; 100; 1; 1; 20; 121g является реберно симметричных графом с группой автоморфизмов, имеющей цоколь Z2 L2(121). 2
Автоморфизмы графа с массивом пересечений f121; 100; 1; 1; 20; 121g В этом параграфе дистанционно регулярный граф с массивом пересечений f121; 100; 1; 1; 20; 121g и спекром 1211; 11305; 1121; 11305, G = Aut( ) и g 2 G.
Заметим, что ввиду границы Дельсарта (предложение 4.4.6 [2]) максимальный порядок клики в дистанционно регулярном графе с массивом пересечений f121; 100; 1; 1; 20; 121g не больше 1 k= d = 1 + 121=11 = 12. Если C является 12-кликой из , то каждая вершина вне C смежна с 0 или с b1=( d + 1) + 1 k= d = 10 + 12 = 2 вершинами из C. Лемма 1. Пусть мономиальное представление группы G в GL(732; C), 1 характер проекции на подпространство собственных векторов размерности 305, отвечающих собственному значению 11, 2 характер проекции на подпространство размерности 121, тогда 1(g) = (28 0(g) + 3 1(g) 5 3(g))=66 61=11, 2(g) = ( 0(g) + 3(g))=6 1. Если jgj = p простое число, то 1(g) 305 и 2(g) 121 делятся на p.
Доказательство. Имеем 305
1 305=11
1 305=11
3(g), 0(g) Лемма 2. Если пустой граф, то либо p = 61, 1(g) = 122 и 2(g) = 610, либо p = 3, 3(g) = 18l 6, 1(g) = 30l + 90 + 66m, 2(g) = 612 48l 66m, l 6 41 и 8l + 11m 6 102, либо p = 2, 3(g) = 12l, 1(g) = 20l + 12 + 44m и 2(g) = 720 32l 44m, l 6 61 и 8l + 11m 6 180. В леммах 3–6 предполагается, что a 2 , F антиподальный класс, содержащий вершину a, F \ = fa; a2; :::; asg, b 2 (a). Черех F (x) будем обозначать антиподальный класс, содержащий вершину x. = Лемма 3. Если число p больше 5, то p = 11,
антиподальный класс и 1(g) = 22l. Доказательство. Пусть p = 2. Тогда s 2 f2; 4; 6g и t четно. Заметим, что для любых двух вершин a; b 2 имеем j (a) \ [b]j 2 f0; 2; :::; 20g, любая вершина из смежна с четным числом вершин из .
Так как 3(g) = t(6 s), то 2(g) = t 1, t четно, 1(g) + 2(g) = 122 t и 1(g) = (11st=2 + 1(g)=2 5t 61)=11 и 1(g) + t 1 делится на 11.
Если s = 6, то t = 2; 4; :::; 20.
Если s = 4, то число ребер между и равно 4t(122 t), но не больше 6(122 t)20, поэтому 2 6 t 6 30.
Если s = 2, то число ребер между и равно 2t(122 t), но не больше 6(122 t)20, поэтому 2 6 t 6 60. С другой стороны, (b) содержит не более 21 вершины из a? и не более 20 вершин из [a2], поэтому t 6 42, причем в случае t = 42 подграф является графом Тэйлора с массивом пересечений f41; 20; 1; 1; 20; 41g и (b) – сильно регулярный граф с параметрами (41,20,9,10). Лемма, а вместе с ней и теорема доказаны. 3
Вершинно симметричный случай f121; 100; 1; 1; 20; 121g
Пусть группа G действует транзитивно на множестве вершин графа . Тогда подгруппа GfF g имеет
индекс 122 в G. Из теоремы следует, что f2; 3; 61g (G) f2; 3; 5; 11; 61g и jGj не делится на 113.
Лемма 7. Выполняются следующие утверждения:
(1) если f элемент порядка 61 из G, то CG(f ) = hf i;
(
Доказательство. Допустим, что g элемент простого порядка p 6= 61 из CG(f ). Тогда 1(f ) = 122 и 2(f ) = 610. Так как f действует без неподвижных точек на , то ввиду теоремы пустой граф, p = 2 и числа 3(g) = 12l, 1(g) = 20l + 12 + 44m, 2(g) = 720 32l 44m делятся на 61. Отсюда 12 + 44m и 720 44m делятся на 61, противоречие.
Пусть Q = Op(G) 6= 1. Если p = 3, то каждый элемент порядка 3 из Q действует без неподвижных точек на любом антиподальном классе. Противоречие с тем, что 3 не делит 122.
Теперь ввиду утверждения (1) число p не равно 61 и S(G) является 2-группой.
Пусть T цоколь группы G = G=O2(G). Так как 113 не делит jGj, то ввиду теоремы 1 [4] группа T изоморфна L2(35), L2(112). Лемма доказана.
Докажем следствие. Так как T содержит подгруппу индекса, делящего 122, то группа T изоморфна L2(121) (и TfF g расширение группы порядка 121 с помощью группы порядка 60). Отсюда jS(G)j делит 2. Компьютерные вычисления в GAP показывают, что цоколь группы G изоморфен Z2 L2(121) и является реберно симметричным графом. Следствие доказано.
Работа выполнена при поддержке РНФ (проект 14-11-00061). Список литературы [1] A.A. Makhnev, M.S. Samoilenko. On distance-regular covers of cliques with strongly regular local subgraphs.
Tranzactions of 46 International school-conference, Yekaterinburg, 13–18, 2015. [4] A.V. Zavarnitsine. Finite simple groups with narrow prime spectrum. Sibirean electr. Math. Reports 6:1–12, 2009. with intersection array Alexandr A. Makhnev1, Mikhail S. Samoilenko2 1 – Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics (Yekaterinburg, Russia) 2 – Ural Federal University (Yekaterinburg, Russia)
A.A. Makhnev and M.S. Samoilenko determined parameters of strongly regular graphs with at most 1000 vertices, which may be local subgraphs in antipodal distance-regular graph of diameter 3 with = . They suggested the program of investigation of antipodal distance-regular graph of diameter 3 with = , in which local subgraphs are strongly regular with at most 1000 vertices. In this paper, we consider distance-regular graph with intersection array f121; 100; 1; 1; 20; 121g. It is proved that vertex-symmetric graph with intersection array f121; 100; 1; 1; 20; 121g is arc-transitive with the socle of automorphism group isomorphic Z2 L2(121).