Неравенство Бернштейна для дробных производных малого порядка тригонометрических полиномов в пространстве L0

Abstract

Получены двусторонние оценки для наилучшей константы в неравенстве Бернштейна для дробных производных малого порядка тригонометрических полиномов в L0. Ключевые слова: тригонометрический полином, производная Вейля, неравенство Бернштейна Пусть Tn = Tn(C) есть множество тригонометрических полиномов n fn(t) = a0 + X(ak cos kt + bk sin kt) 2 k=1 порядка n > 1 с коэффициентами из поля C комплексных чисел. Для параметра p; удовлетворяющего условию 0 6 p 6 +1; определим на Tn функционал k kp соотношениями kfnk1 = kfnkC2 = lim kfnkp = maxfjfn(t)j : t 2 Rg; p!+1 лишь при 1 6 p 6 1 этот функционал является нормой. Дробной производной (производной Вейля) порядка Copyright c by the paper's authors. Copying permitted for private and academic purposes. In: A.A. Makhnev, S.F. Pravdin (eds.): Proceedings of the 47th International Youth School-conference “Modern Problems in Mathematics and its Applications”, Yekaterinburg, Russia, 02-Feb-2016, published at http://ceur-ws.org

-

0 2

2 1 Z 0 jfn(t)jpdtA ;

0 < p < 1; 1 > 0; полинома (1) называется полином n D fn(t) = X k k=1 ak cos kt + + bk sin kt + 2 (2) Для натуральных значений дробная производная совпадает с классической: D fn = fn( ): Богатую информацию о дробных производных и интегралах можно найти в монографии [ 15 ].

Формулой (2) определен линейный оператор на множестве Tn: Оператор (2) есть оператор свертки D fn(t) = 1 Z fn(t u)Dn (u)du; ядро которого есть производная порядка

ядра Дирихле: n Dn (u) = X k cos ku + k=1 2 = D Dn(u);

Dn(u) = 1 + Xn cos ku: 2 k=1 Обозначим через Bn (p) наименьшую возможную (наилучшую) константу в неравенстве kD fnkp

Bn (p) kfnkp; fn 2 Tn; называемом неравенством Берштейна. Величину Bn (p) можно интерпретировать как норму оператора D на пространстве Tn относительно функционала k kp; для нее имеет место формула

Bn (p) = supfkD fnkp : kfnkp 6 1; fn 2 Tng: Неравенствам (3) посвящено большое число работ; наиболее полно они изучены при 1 6 p 6 1 для > 1 и особенно для натуральных (см. работы [ 21, 5, 16, 6, 17 ] и приведенную там библиографию). Отметим лишь некоторые известные факты в этой тематике, возможно, и не в хронологическом порядке. Поскольку оператор (2) есть оператор свертки, то

Bn (p) 6 Bn (1); Bn (p) 6 Bn (0); 1 6 p < 1 0 6 p 6 1; f ( ) k n kp 6 n kfnkp;

fn 2 Tn(C): kf n0kC2 6 nkfnkC2 ; fn 2 Tn(R); первое неравенство хорошо известно, второе доказано в [3] для более общей ситуации.

При 1 6 p 6 1 для > 1 справедливо неравенство Это неравенство точное и обращается в равенство лишь на полиномах aeint + be int; a; b 2 C; так что Bn (p) = n , если 1 6 p 6 1; > 1: Наиболее известным здесь является неравенство Бернштейна в равномерной норме (т. е. при p = 1) на множестве Tn(R) вещественных тригонометрических полиномов. С. Н. Бернштейн [ 20 ] получил в 1912 году неравенство (7) с константой n для нечетных и четных тригонометрических полиномов и, как следствие, с константой 2n на классе всех полиномов из Tn(R): В переиздании [ 8 ] работы [ 20 ] в собрании сочинений С. Н. Бернштейна приведено неравенство (7) на всем классе Tn(R) тригонометрических полиномов с вещественными коэффициентами. В авторских комментариях [7, п. 3.4] к работе [ 8 ] С. Н. Бернштейн пишет, что приведенный в [ 8 ] вывод, показывающий, что общее неравенство является элементарным следствием того же неравенства для суммы синусов, сообщен ему Э. Ландау вскоре после появления диссертации [ 20 ] и впервые был опубликован в [19, § 10]. В 1914 г. М. Рисс [23, 22] (см. также, к примеру, [10, гл. 10]) получил неравенство (7) с наилучшей константой n с помощью известной интерполяционной формулы Рисса для производной тригонометрического полинома; это доказательство дает неравенство (7) уже на множестве Tn(C) тригонометрических полиномов с комплексными коэффициентами. В 1933 г. А. Зигмунд с помощью интерполяционной формулы Рисса доказал (см. [10, гл. 10]) неравенство Бернштейна kf n0kp 6 nkfnkp; fn 2 Tn(C); в пространствах Lp; p > 1; отсюда следует, что при 1 6 p 6 +1 для любых натуральных n и имеет место неравенство (6). В случае 0 6 p < 1; 2 N неравенство (6) в 1979 году получил (иным путем) В. В. Арестов [1, 2]. При 1 6 p 6 1 для вещественных > 1 неравенство (6) обосновал П. И. Лизоркин [ 12 ]. Для значений 0 6 < 1 неравенство (3) изучено существенно хуже. Т. Банг [ 18 ], а позже С. П. Гейсберг [ 9 ] (см. [15, теорема 19.10 и примечания к § 19, п. 8]) показали, что при 0 6 < 1 справедливы оценки Г. Вилмес получил [24] более точную оценку сверху 4n p n . Поэтому для величины Bn0 (0) справедливо следующее порядковое соотношение: означает, что отношение двух величин стремится к 1 при n ! 1. Аналогично находим, Таким образом, величина Bn0 (0) имеет по n экспоненциальный рост.

В данной работе изучается величина Bn (0) для 0 < < 1 и будет доказано следующее утверждение. (8) (9) Хорошую оценку снизу величины Bn (0) для 0 < на компьютере показывают, что при достаточно малых < 1 автору пока получить не удалось. Вычисления имеет место оценка где (n; ) величина, близкая к 1.

Доказательство теоремы 1 будет осуществлено в следующем параграфе в несколько этапов. 2.1 Исследование величины Bn (0) для малых

Некоторые известные результаты Пусть Pm есть множество алгебраических многочленов с комплексными коэффициентами степени (не выше) m: Рассмотрим на множестве Pm функционал 0 0 1 Z

1 ln jfn(t)j dtA = kfnk0 : Убедимся, что оператору (2) во множестве Tn соответствует в P2n оператор композиции Сеге. Действительно, пусть fn 2 Tn и gn = D fn: Сопоставим этим тригонометрическим полиномам по формуле (14) алгебраические многочлены P2n и Q2n такие, что

P2n eit = eintfn (t) ;

Q2n eit = eintD fn (t) : P2n(z) = Xn ak + ibk zn k + a0 zn + Xn ak 2 2 2

ibk zn+k; Q2n(z) = e i =2 Xn ak + ibk k zn k + ei =2 Xn ak 2 2

ibk k zn+k: k=1 k=1 Нетрудно видеть, что Q2n есть композиция 2nP2n многочлена P2n и многочлена Таким образом, неравенство (3) эквивалентно неравенству

(15) n F (z) = X akzk

k=0 kF k0 = a0: действительны, неотрицательны и не возрастают: a0 > a1 > : : : > an 1 > an > 0; то Д о к а з а т е л ь с т в о. Убедимся, что многочлен F не может иметь корней, по модулю меньших 1 (подобное утверждение см. в [13, гл. 8, § 2]). Запишем многочлен F в виде

F (z) = (a0

a1) + + (a1 + (a2 + (an 1 a2) (1 + z) + a3) 1 + z + z2 + : : : +

an) 1 + z + : : : + zn 1 + + an 1 + z + : : : + zn 1 + zn : Положим ak ak+1 = bk (k 6= n) ; an = bn; поскольку коэффициенты многочлена не возрастают, то все bk неотрицательные. Из полученного представления следует, что

F (z) (1

n z) = X bk 1 k=0

zk+1 : Если jzj < 1; то точка 1 тельно, zk+1 лежит в открытом круге jz Re (F (z) (1

n z)) = X bk Re 1 k=0

Убедимся, что в условиях теоремы 1 все корни многочлена F по модулю не больше 1; в этом случае в соответствии с формулой (10) будем иметь Для этого достаточно, чтобы многочлен F с точностью до постоянного множителя удовлетворял условиям следствия из леммы 1 (имела место монотонность коэффициентов). Монотонность (а точнее, неубывание) коэффициентов означает выполнение неравенств для всех k = 0; 1; : : : ; n 2. Эти неравенства равносильны тому, что (16) 6

ln [3] V.V. Arestov. Integral inequalities for algebraic polynomials on the unit circle. Math. Notes, 48(4):977–984, 1990. [4] V.V. Arestov. The Szego¨ inequality for derivatives of a conjugate trigonometric polynomial in L0. Math.

Notes, 56(6):1216–1227, 1994. [5] V.V. Arestov. Sharp inequalities for trigonometric polynomials with respect to integral functionals. P roc.

Steklov Inst. Math., 273(Suppl. 1):21–36, 2011. [6] V.V. Arestov, P.Yu. Glazyrina. Integral inequalities for algebraic and trigonometric polynomials. Doklady

Mathematics, 85(1):104–108, 2012. [21] A.I. Kozko. The exact constants in the Bernstein–Zygmund–Szeg¨o inequalities with fractional derivatives and the Jackson–Nikolskii inequality for trigonometric polynomials. East J. Approx, 4(3):391–416, 1998. [22] M. Riesz. Eine trigonometrische Interpolationsformel und einige Ungleichungen fu¨r Polynome. Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, 23:354–368, 1914. [23] M. Riesz. Formule d’interpolation pour la d´eriv´ee d’un polynome trigonom´etrique. C. R. Acad. Sci., 158:1152–1154, 1914. [24] G. Wilmes. On Riesz-type inequalities and K-functionals related to Riesz potentials in RN . N. Numer.

Funct. Anal. Optim., 1(1):57–77, 1979. Bernstein inequality for small-order fractional derivatives of trigonometric polynomials in the space L0

Anastasia O. Leontyeva Ural Federal University (Yekaterinburg, Russia)

Two-sided estimates are obtained for the best constant in the Bernstein inequality for fractional derivatives of small order of trigonometric polynomials in L0.

References

[7] S.N. Bernstein . Author's comments . In “Collected works” , Vol. 1 , pp. 526 - 562 . Akad. Nauk SSSR , Moscow, 1952 (in Russian). = С.Н. Бернштейн. Авторские комментарии. Собр. соч.: в 4 т ., т. 1 ., с. 526 - 562 . М.: Изд-во АН СССР , 1952 .

[8] S.N. Bernstein . On the best approximation of continuous functions by polynomials of given degree . In “Collected Works” , Vol. 1 . Akad. Nauk SSSR , Moscow, 1952 (in Russian). = С.Н. Бернштейн . О наилучшем приближении непрерывных функций посредством многочленов данной степени . Собр. соч.: в 4 т ., т. 1 . М.: Изд .-во АН СССР , 1952 .

[9] S.P. Geisberg . Analogues of S.N. Bernstein inequalities for fractional derivative . Voprosy prikladnoy matematiki i matematicheskogo modelirovaniya : Kratkie soderzhaniya dokl. 25-j nauch. conf. 24 janv. - 4 fevr . 1967 g. L.: Leningr. inzh. -stroit . in-t, 5 - 10 , 1967 (in Russian). = С.П. Гейсберг. Аналоги неравенств С.Н . Бернштейна для дробной производной. Вопросы прикладной математики и математического моделирования : Краткие содержания докл. 25-й науч . конф. 24 янв. - 4 февр . 1967 г. Л.: Ленингр. инж.-строит. ин-т, 5 - 10 , 1967 .

[10] A. Zygmund . Trigonometric Series , Vol. II. Cambridge University Press, New York, 1959 .

[11] A.O. Leontyeva . Bernstein inequality in L0 for zero order derivative of trigonometric polynomials . Tr. In-ta Mat. Mekh . UrO RAN , 19 ( 2 ): 216 - 223 , 2013 (in Russian). = А.О. Леонтьева . Неравенство Бернштейна в L0 для производной нулевого порядка тригонометрических полиномов . Тр . Ин-та мат . мех. УрО РАН , 19 ( 2 ): 216 - 223 , 2013 .

[12] P.I. Lizorkin . Estimates for trigonometric integrals and Bernstein inequality for fractional derivatives . Izv. AN SSSR. Ser. mat. , 4 ( 3 ): 109 - 126 , 1965 (in Russian). = П.И. Лизоркин . Оценки тригонометрических интегралов и неравенство Бернштейна для дробных производных . Изв. АН СССР. Сер. мат , 4 ( 3 ): 109 - 126 , 1965 .

[13] A.I. Markushevich. The Theory of Analytical Functions: A Brief Course . Mir Publishers, 1983 .

[14] G. Polya , G. Szego. Problems and Theorems in Analysis I. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 1998 .

[15] S.G. Samko , A.A. Kilbas , O.I. Marichev . Fractional Integrals and Derivatives. Theory and Applications . Gordon and Breach Science Publishers, Yverdon, 1993 .

[16] V.V. Arestov . Sharp integral inequalities for trigonometric polynomials. Constructive theory of functions: in memory of Borislav Bojanov (Proceedings of the International conference , Sozopol, 2010 ). (G. Nikolov and R. Uluchev, Eds.). Prof. Marin Drinov Academic Publishing House, Sofia, 30 - 45 , 2012 .

[17] V.V. Arestov , P. Yu . Glazyrina. Sharp integral inequalities for fractional derivatives of trigonometric polynomials . J. Approx. Theory , 164 ( 11 ): 1501 - 1512 , 2012 .

[18] T. Bang . Une in´egalite de Kolmogoroff et les fonctions presque-p´ eriodiques . Danske Vid. Selsk. Math.-Fys. Medd , 19 ( 4 ): 28 , 1941 .

[19] S. Bernstein . Lec¸ons sur les propri´et´es extr´emales et la meilleure approximation des fonctions analytiques d'une variable r´eelle . Collection Borel. Gauthier-Villar, Paris, 1926 .

[20] S. Bernstein . Sur l'ordre de la meilleure approximation des fonctions continues par des polynoˆmes de degr´e donn´e. M´emoires de l'Acad´emie Royale de Belgique, 2 ( 4 ): 1 - 103 , 1912 .