=Paper=
{{Paper
|id=Vol-1662/appr1
|storemode=property
|title=Неравенство Бернштейна для дробных производных малого порядка тригонометрических полиномов в пространстве L0(Bernstein inequality for small-order fractional derivatives of trigonometric polynomials in the space L0)
|pdfUrl=https://ceur-ws.org/Vol-1662/appr1.pdf
|volume=Vol-1662
|authors=Anastasia O. Leontyeva
}}
==Неравенство Бернштейна для дробных производных малого порядка тригонометрических полиномов в пространстве L0(Bernstein inequality for small-order fractional derivatives of trigonometric polynomials in the space L0)==
https://ceur-ws.org/Vol-1662/appr1.pdf
Неравенство Бернштейна
для дробных производных малого порядка
тригонометрических полиномов в пространстве L0
А. О. Леонтьева
sinusoida2012@yandex.ru
УрФУ (Екатеринбург)
Аннотация
Получены двусторонние оценки для наилучшей константы в
неравенстве Бернштейна для дробных производных малого поряд-
ка тригонометрических полиномов в L0 .
Ключевые слова: тригонометрический полином, производная
Вейля, неравенство Бернштейна
1 Введение
Пусть Tn = Tn (C) есть множество тригонометрических полиномов
n
a0 X
fn (t) = + (ak cos kt + bk sin kt) (1)
2
k=1
порядка n > 1 с коэффициентами из поля C комплексных чисел. Для параметра p, удовлетворяющего
условию 0 6 p 6 +∞, определим на Tn функционал k · kp соотношениями
p1
Z2π
1
kfn kp = |fn (t)|p dt , 0 < p < ∞,
2π
0
kfn k∞ = kfn kC2π = lim kfn kp = max{|fn (t)| : t ∈ R},
p→+∞
Z2π
1
kfn k0 = lim kfn kp = exp ln |fn (t)|dt ;
p→+0 2π
0
лишь при 1 6 p 6 ∞ этот функционал является нормой.
Дробной производной (производной Вейля) порядка α ∈ R, α > 0, полинома (1) называется полином
n
X πα πα
Dα fn (t) = k α ak cos kt + + bk sin kt + . (2)
2 2
k=1
Copyright c by the paper’s authors. Copying permitted for private and academic purposes.
In: A.A. Makhnev, S.F. Pravdin (eds.): Proceedings of the 47th International Youth School-conference “Modern Problems in
Mathematics and its Applications”, Yekaterinburg, Russia, 02-Feb-2016, published at http://ceur-ws.org
170
(α)
Для натуральных значений α дробная производная совпадает с классической: Dα fn = fn . Богатую ин-
формацию о дробных производных и интегралах можно найти в монографии [15].
Формулой (2) определен линейный оператор на множестве Tn . Оператор (2) есть оператор свертки
Zπ
1
Dα fn (t) = fn (t − u)Dnα (u)du,
π
−π
ядро которого есть производная порядка α ядра Дирихле:
n n
X πα 1 X
Dnα (u) = α
k cos ku + = Dα Dn (u), Dn (u) = + cos ku.
2 2
k=1 k=1
Обозначим через Bnα (p) наименьшую возможную (наилучшую) константу в неравенстве
kDα fn kp ≤ Bnα (p) kfn kp , fn ∈ Tn , (3)
называемом неравенством Берштейна. Величину Bnα (p) можно интерпретировать как норму оператора Dα
на пространстве Tn относительно функционала k · kp ; для нее имеет место формула
Bnα (p) = sup{kDα fn kp : kfn kp 6 1, fn ∈ Tn }. (4)
Неравенствам (3) посвящено большое число работ; наиболее полно они изучены при 1 6 p 6 ∞ для α > 1
и особенно для натуральных α (см. работы [21, 5, 16, 6, 17] и приведенную там библиографию). Отметим
лишь некоторые известные факты в этой тематике, возможно, и не в хронологическом порядке. Поскольку
оператор (2) есть оператор свертки, то
Bnα (p) 6 Bnα (∞), 16p<∞ (5)
Bnα (p) 6 Bnα (0), 0 6 p 6 ∞;
первое неравенство хорошо известно, второе доказано в [3] для более общей ситуации.
При 1 6 p 6 ∞ для α > 1 справедливо неравенство
kfn(α) kp 6 nα kfn kp , fn ∈ Tn (C). (6)
Это неравенство точное и обращается в равенство лишь на полиномах aeint + be−int , a, b ∈ C; так что
Bnα (p) = nα , если 1 6 p 6 ∞, α > 1. Наиболее известным здесь является неравенство Бернштейна
kfn0 kC2π 6 nkfn kC2π , fn ∈ Tn (R), (7)
в равномерной норме (т. е. при p = ∞) на множестве Tn (R) вещественных тригонометрических полино-
мов. С. Н. Бернштейн [20] получил в 1912 году неравенство (7) с константой n для нечетных и четных
тригонометрических полиномов и, как следствие, с константой 2n на классе всех полиномов из Tn (R). В
переиздании [8] работы [20] в собрании сочинений С. Н. Бернштейна приведено неравенство (7) на всем
классе Tn (R) тригонометрических полиномов с вещественными коэффициентами. В авторских коммен-
тариях [7, п. 3.4] к работе [8] С. Н. Бернштейн пишет, что приведенный в [8] вывод, показывающий, что
общее неравенство является элементарным следствием того же неравенства для суммы синусов, сообщен
ему Э. Ландау вскоре после появления диссертации [20] и впервые был опубликован в [19, § 10]. В 1914 г.
М. Рисс [23, 22] (см. также, к примеру, [10, гл. 10]) получил неравенство (7) с наилучшей константой n с
помощью известной интерполяционной формулы Рисса для производной тригонометрического полинома;
это доказательство дает неравенство (7) уже на множестве Tn (C) тригонометрических полиномов с ком-
плексными коэффициентами. В 1933 г. А. Зигмунд с помощью интерполяционной формулы Рисса доказал
(см. [10, гл. 10]) неравенство Бернштейна
kfn0 kp 6 nkfn kp , fn ∈ Tn (C),
в пространствах Lp , p > 1; отсюда следует, что при 1 6 p 6 +∞ для любых натуральных n и α имеет место
неравенство (6). В случае 0 6 p < 1, α ∈ N неравенство (6) в 1979 году получил (иным путем) В. В. Арестов
[1, 2]. При 1 6 p 6 ∞ для вещественных α > 1 неравенство (6) обосновал П. И. Лизоркин [12].
171
Для значений 0 6 α < 1 неравенство (3) изучено существенно хуже. Т. Банг [18], а позже С. П. Гейсберг
[9] (см. [15, теорема 19.10 и примечания к § 19, п. 8]) показали, что при 0 6 α < 1 справедливы оценки
21−α nα
nα 6 Bnα (∞) 6 6 2nα .
Γ(2 − α)
Г. Вилмес получил [24] более точную оценку сверху
Bnα (∞) 6 21−α nα , 0 < α < 1.
Отсюда в силу (5) следует, что при 1 6 p 6 ∞ справедливы оценки
nα 6 Bnα (p) 6 21−α nα , 0 < α < 1.
При 0 6 p < 1 для значений 0 6 α < 1 величина (4), насколько нам известно, не изучалась. Полином
fn (t) = cos nt дает оценку Bnα (p) > nα . Однако эта оценка, скорее всего, грубая. Автору удалось [11]
получить двусторонние оценки для константы Bn0 (0); а именно, для n > 1 выполняются неравенства
1 n n−1
C 6 Bn0 (0) 6 2C2n .
4 2n
Последнее утверждение дает порядок поведения Bn0 (0) по n при n → ∞. В самом деле, воспользовавшись
известной формулой Стирлинга !n
√ n
n! ≈ 2πn , n → +∞,
e
находим
!2n
√ 2n
2π · 2n
(2n)! e 4n
n
C2n = ≈ !2n = √ .
n! n! q
n πn
2
(2π) n2
e
Здесь символ ≈ означает, что отношение двух величин стремится к 1 при n → ∞. Аналогично находим,
n−1 4n
что C2n ≈ √ . Поэтому для величины Bn0 (0) справедливо следующее порядковое соотношение:
πn
4n
Bn0 (0) ∼ √ , n → ∞.
πn
Таким образом, величина Bn0 (0) имеет по n экспоненциальный рост.
В данной работе изучается величина Bnα (0) для 0 < α < 1 и будет доказано следующее утверждение.
Tеорема 1 Для n > 1 при
1 n+2
06α6 · ln (8)
ln 2 n−1
справедливы неравенства
n−1
nα 6 Bnα (0) 6 2C2n . (9)
Хорошую оценку снизу величины Bnα (0) для 0 < α < 1 автору пока получить не удалось. Вычисления
на компьютере показывают, что при достаточно малых α имеет место оценка
n−1
Bnα (0) > C2n γ(n, α),
где γ(n, α) — величина, близкая к 1.
Доказательство теоремы 1 будет осуществлено в следующем параграфе в несколько этапов.
172
2 Исследование величины Bnα (0) для малых α
2.1 Некоторые известные результаты
Пусть Pm есть множество алгебраических многочленов с комплексными коэффициентами степени (не
выше) m. Рассмотрим на множестве Pm функционал
Zπ
1
ln Pm eit dt , Pm ∈ Pm .
kPm k0 = exp
2π
−π
Хорошо известно (см. библиографию в [4]), что если многочлен
m
Y
Pm (z) = cm (z − zk )
k=1
имеет отличный от нуля старший коэффициент cm и z1 , z2 , . . . , zm — его корни, то
m
Y
kPm k0 = |cm | max (1, |zk |) . (10)
k=1
Многочлен Pm ∈ Pm удобно записывать в виде
m
X
k
Pm (z) = Cm ck z k . (11)
k=0
Пусть
m
X
k
Λm (z) = Cm λk z k (12)
k=0
есть еще один многочлен из Pm . Многочлен
m
X
k
Λm Pm (z) = Cm λk ck z k (13)
k=0
называют композицией Сеге многочленов (12) и (11); см. библиографию в [2]. При фиксированном много-
члене Λm формула (13) задает линейный оператор в Pm , который удобно обозначать теми же символа-
ми Λm . Для композиции Сеге справедливо [3] точное неравенство
kΛm Pm k0 6 kΛm k0 kPm k0 ,
которое на многочлене
m
X
k k
Pm (z) = Cm z = (1 + z)m
k=0
обращается в равенство.
Формула
P2n eit = eint fn (t)
(14)
устанавливает взаимно однозначное соответствие между множеством Tn тригонометрических полиномов
fn порядка n и множеством P2n алгебраических многочленов P2n степени 2n; при этом, очевидно,
Zπ
1
kP2n k0 = exp ln |fn (t)| dt = kfn k0 .
2π
−π
Убедимся, что оператору (2) во множестве Tn соответствует в P2n оператор композиции Сеге. Действи-
тельно, пусть fn ∈ Tn и gn = Dα fn . Сопоставим этим тригонометрическим полиномам по формуле (14)
алгебраические многочлены P2n и Q2n такие, что
P2n eit = eint fn (t) , Q2n eit = eint Dα fn (t) .
173
Исходя из представления (1) полинома fn , получаем следующие явные выражения многочленов P2n и Q2n :
n n
X ak + ibk a0 n X ak − ibk n+k
P2n (z) = z n−k + z + z ,
2 2 2
k=1 k=1
n n
X ak + ibk X ak − ibk
Q2n (z) = e−iπα/2 k α z n−k + eiπα/2 k α z n+k .
2 2
k=1 k=1
Нетрудно видеть, что Q2n есть композиция Λα
2n P2n многочлена P2n и многочлена
n−1
X
Λα
2n (z) =
k
C2n (n − k)α e−iπα/2 z k + eiπα/2 z 2n−k . (15)
k=0
Таким образом, неравенство (3) эквивалентно неравенству
kΛα α
2n P2n k0 6 Bn (0) kP2n k0 , P2n ∈ P2n .
Приведенные только что рассуждения влекут такое утверждение.
При n > 1 для величины Bnα (0) имеет место формула
Bnα (0) = kΛα
2n k0
и на полиноме cos2n (t/2) неравенство (3) обращается в равенство. Поскольку неравенство (3) обращается
в равенство на вещественном тригонометрическом полиноме, то оно является точным как на множестве
полиномов с комплексными коэффициентами, так и с вещественными.
В дальнейшем изучается именно величина kΛα 2n k0 для многочлена (15).
2.2 Вспомогательные результаты
Следующее утверждение легко вытекает из известных фактов. Однако для полноты изложения мы
приведем его доказательство.
Лемма 1 Если коэффициенты алгебраического многочлена
n
X
F (z) = ak z k
k=0
действительны, неотрицательны и не возрастают: a0 > a1 > . . . > an−1 > an > 0, то
kF k0 = a0 .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Убедимся, что многочлен F не может иметь корней, по модулю меньших 1
(подобное утверждение см. в [13, гл. 8, § 2]). Запишем многочлен F в виде
F (z) = (a0 − a1 ) +
+ (a1 − a2 ) (1 + z) +
+ (a2 − a3 ) 1 + z + z 2 + . . . +
+ (an−1 − an ) 1 + z + . . . + z n−1 +
+ an 1 + z + . . . + z n−1 + z n .
Положим ak − ak+1 = bk (k 6= n) , an = bn ; поскольку коэффициенты многочлена не возрастают, то все bk
неотрицательные. Из полученного представления следует, что
n
X
bk 1 − z k+1 .
F (z) (1 − z) =
k=0
174
Если |z| < 1, то точка 1 − z k+1 лежит в открытом круге |z − 1| < 1. Поэтому Re 1 − z k+1 > 0 и, следова-
тельно,
n
X
bk · Re 1 − z k+1 > 0.
Re (F (z) (1 − z)) =
k=0
Таким образом, действительно, многочлен F не имеет корней, по модулю меньших 1. Согласно форму-
ле (10), будем иметь
n
Y
kF k0 = an |zk | = a0 ,
k=1
где {zk }nk=1 — корни F . Лемма доказана.
n
k
P
Следствие. Если коэффициенты многочлена F (z) = ak z действительны, неотрицательны и не
k=0
убывают, то
kF k0 = an .
Для доказательства достаточно применить лемму 1 к многочлену z n F (1/z).
Лемма 2 Если многочлен P2n (z) представим в виде
1
2n
P2n (z) = F (z) + z F ,
z
где F (z) — многочлен степени не выше 2n, то справедливо неравенство
kP2n k0 6 2 kF k0 .
Д о к а з а т е л ь с т в о. На единичной окружности имеем
P2n eit = eint e−int F eit + eint F (eit ) = 2 Re e−int F eit 6 2 F eit .
Следовательно, kP2n k0 6 2 kF k0 . Лемма 2 доказана.
2.3 Оценка сверху в теореме 1
Многочлен Λα
2n , определенный формулой (15), удовлетворяет условию леммы 2, при этом
n−1
X
Fα (z) = e−iπα/2 k
C2n (n − k)α z k .
k=0
Поэтому
kΛα
2n k0 6 2 kFα k0 .
Убедимся, что в условиях теоремы 1 все корни многочлена Fα по модулю не больше 1; в этом случае в
соответствии с формулой (10) будем иметь
n−1
kFα k0 = C2n . (16)
Для этого достаточно, чтобы многочлен Fα с точностью до постоянного множителя удовлетворял условиям
следствия из леммы 1 (имела место монотонность коэффициентов). Монотонность (а точнее, неубывание)
коэффициентов означает выполнение неравенств
k α k+1 α
C2n (n − k) 6 C2n (n − k − 1)
для всех k = 0, 1, . . . , n − 2. Эти неравенства равносильны тому, что
!α
1 2n − k
1+ 6
n−k−1 k+1
175
или
2n − k
ln
α6 k+1 !.
1
ln 1 +
n−k−1
Последняя дробь убывает по k. Взяв k = n − 2, как раз и получим ограничение (8) на α.
Итак, действительно, в условиях теоремы 1 имеет место (16). Оценка сверху в теореме 1 доказана.
2.4 Оценка снизу
Для полинома cn (t) = cos nt согласно формуле (2) имеем Dα cn (t) = nα cos nt + πα
2 . Подставив полином
cos nt в неравенство (3), получаем оценку Bnα (p) > nα при всех α > 0, 0 6 p 6 ∞. В частности, справедливо
первое неравенство в (9).
Итак, при выполнении условия (8) выполняются оба неравенства (9). Тем самым теорема 1 полностью
доказана.
Благодарности
Работа выполнена при поддержке Программы государственной поддержки ведущих научных школ
(НШ-9356.2016.1) и Программы повышения конкурентоспособности УрФУ (постановление № 211 Прави-
тельства РФ от 16.03.2013, контракт № 02.A03.21.0006 от 27.08.2013).
Список литературы
[1] V.V. Arestov. On inequalities of S.N. Bernstein for algebraic and trigonometric polynomials. Soviet Math.
Dokl., 20(3):600–603, 1979.
[2] V.V. Arestov. On integral inequalities for trigonometric polynomials and their derivatives. Math. USSR
Izvestija, 18(1):1–17, 1982.
[3] V.V. Arestov. Integral inequalities for algebraic polynomials on the unit circle. Math. Notes, 48(4):977–984,
1990.
[4] V.V. Arestov. The Szegö inequality for derivatives of a conjugate trigonometric polynomial in L0 . Math.
Notes, 56(6):1216–1227, 1994.
[5] V.V. Arestov. Sharp inequalities for trigonometric polynomials with respect to integral functionals. P roc.
Steklov Inst. Math., 273(Suppl. 1):21–36, 2011.
[6] V.V. Arestov, P.Yu. Glazyrina. Integral inequalities for algebraic and trigonometric polynomials. Doklady
Mathematics, 85(1):104–108, 2012.
[7] S.N. Bernstein. Author’s comments. In “Collected works”, Vol. 1, pp. 526–562. Akad. Nauk SSSR, Moscow,
1952 (in Russian). = С.Н. Бернштейн. Авторские комментарии. Собр. соч.: в 4 т., т. 1., с. 526–562. М.:
Изд-во АН СССР, 1952.
[8] S.N. Bernstein. On the best approximation of continuous functions by polynomials of given degree. In
“Collected Works”, Vol. 1. Akad. Nauk SSSR, Moscow, 1952 (in Russian). = С.Н. Бернштейн. О наилучшем
приближении непрерывных функций посредством многочленов данной степени. Собр. соч.: в 4 т., т. 1.
М.: Изд.-во АН СССР, 1952.
[9] S.P. Geisberg. Analogues of S.N. Bernstein inequalities for fractional derivative. Voprosy prikladnoy
matematiki i matematicheskogo modelirovaniya : Kratkie soderzhaniya dokl. 25-j nauch. conf. — 24 janv. – 4
fevr. 1967 g. L.: Leningr. inzh.-stroit. in-t, 5–10, 1967 (in Russian). = С.П. Гейсберг. Аналоги неравенств
С.Н. Бернштейна для дробной производной. Вопросы прикладной математики и математического
моделирования : Краткие содержания докл. 25-й науч. конф. — 24 янв. – 4 февр. 1967 г. Л.: Ленингр.
инж.-строит. ин-т, 5–10, 1967.
176
[10] A. Zygmund. Trigonometric Series, Vol. II. Cambridge University Press, New York, 1959.
[11] A.O. Leontyeva. Bernstein inequality in L0 for zero order derivative of trigonometric polynomials. Tr. In-ta
Mat. Mekh. UrO RAN, 19(2):216–223, 2013 (in Russian). = А.О. Леонтьева. Неравенство Бернштейна
в L0 для производной нулевого порядка тригонометрических полиномов. Тр. Ин-та мат. мех. УрО
РАН, 19(2):216–223, 2013.
[12] P.I. Lizorkin. Estimates for trigonometric integrals and Bernstein inequality for fractional derivatives. Izv.
AN SSSR. Ser. mat., 4(3):109–126, 1965 (in Russian). = П.И. Лизоркин. Оценки тригонометрических
интегралов и неравенство Бернштейна для дробных производных. Изв. АН СССР. Сер. мат, 4(3):109–
126, 1965.
[13] A.I. Markushevich. The Theory of Analytical Functions: A Brief Course. Mir Publishers, 1983.
[14] G. Polya, G. Szego. Problems and Theorems in Analysis I. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 1998.
[15] S.G. Samko, A.A. Kilbas, O.I. Marichev. Fractional Integrals and Derivatives. Theory and Applications.
Gordon and Breach Science Publishers, Yverdon, 1993.
[16] V.V. Arestov. Sharp integral inequalities for trigonometric polynomials. Constructive theory of functions:
in memory of Borislav Bojanov (Proceedings of the International conference, Sozopol, 2010). (G. Nikolov
and R. Uluchev, Eds.). Prof. Marin Drinov Academic Publishing House, Sofia, 30–45, 2012.
[17] V.V. Arestov, P.Yu. Glazyrina. Sharp integral inequalities for fractional derivatives of trigonometric
polynomials. J. Approx. Theory, 164(11):1501–1512, 2012.
[18] T. Bang. Une inégalite de Kolmogoroff et les fonctions presque-périodiques. Danske Vid. Selsk. Math.-Fys.
Medd, 19(4):28, 1941.
[19] S. Bernstein. Leçons sur les propriétés extrémales et la meilleure approximation des fonctions analytiques
d’une variable réelle. Collection Borel. Gauthier-Villar, Paris, 1926.
[20] S. Bernstein. Sur l’ordre de la meilleure approximation des fonctions continues par des polynômes de degré
donné. Mémoires de l’Académie Royale de Belgique, 2(4):1–103, 1912.
[21] A.I. Kozko. The exact constants in the Bernstein–Zygmund–Szegö inequalities with fractional derivatives
and the Jackson–Nikolskii inequality for trigonometric polynomials. East J. Approx, 4(3):391–416, 1998.
[22] M. Riesz. Eine trigonometrische Interpolationsformel und einige Ungleichungen für Polynome. Jahresbericht
der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, 23:354–368, 1914.
[23] M. Riesz. Formule d’interpolation pour la dérivée d’un polynome trigonométrique. C. R. Acad. Sci.,
158:1152–1154, 1914.
[24] G. Wilmes. On Riesz-type inequalities and K-functionals related to Riesz potentials in RN . N. Numer.
Funct. Anal. Optim., 1(1):57–77, 1979.
177
Bernstein inequality for small-order fractional derivatives
of trigonometric polynomials in the space L0
Anastasia O. Leontyeva
Ural Federal University (Yekaterinburg, Russia)
Keywords: trigonometric polynomial, Weyl derivative, Bernstein inequality.
Two-sided estimates are obtained for the best constant in the Bernstein inequality for fractional derivatives
of small order of trigonometric polynomials in L0 .
178