Неравенство Бернштейна для дробных производных малого порядка тригонометрических полиномов в пространстве L0 А. О. Леонтьева sinusoida2012@yandex.ru УрФУ (Екатеринбург) Аннотация Получены двусторонние оценки для наилучшей константы в неравенстве Бернштейна для дробных производных малого поряд- ка тригонометрических полиномов в L0 . Ключевые слова: тригонометрический полином, производная Вейля, неравенство Бернштейна 1 Введение Пусть Tn = Tn (C) есть множество тригонометрических полиномов n a0 X fn (t) = + (ak cos kt + bk sin kt) (1) 2 k=1 порядка n > 1 с коэффициентами из поля C комплексных чисел. Для параметра p, удовлетворяющего условию 0 6 p 6 +∞, определим на Tn функционал k · kp соотношениями   p1 Z2π 1 kfn kp =  |fn (t)|p dt , 0 < p < ∞, 2π 0 kfn k∞ = kfn kC2π = lim kfn kp = max{|fn (t)| : t ∈ R}, p→+∞   Z2π 1 kfn k0 = lim kfn kp = exp  ln |fn (t)|dt ; p→+0 2π 0 лишь при 1 6 p 6 ∞ этот функционал является нормой. Дробной производной (производной Вейля) порядка α ∈ R, α > 0, полинома (1) называется полином n X   πα   πα  Dα fn (t) = k α ak cos kt + + bk sin kt + . (2) 2 2 k=1 Copyright c by the paper’s authors. Copying permitted for private and academic purposes. In: A.A. Makhnev, S.F. Pravdin (eds.): Proceedings of the 47th International Youth School-conference “Modern Problems in Mathematics and its Applications”, Yekaterinburg, Russia, 02-Feb-2016, published at http://ceur-ws.org 170 (α) Для натуральных значений α дробная производная совпадает с классической: Dα fn = fn . Богатую ин- формацию о дробных производных и интегралах можно найти в монографии [15]. Формулой (2) определен линейный оператор на множестве Tn . Оператор (2) есть оператор свертки Zπ 1 Dα fn (t) = fn (t − u)Dnα (u)du, π −π ядро которого есть производная порядка α ядра Дирихле: n n X  πα  1 X Dnα (u) = α k cos ku + = Dα Dn (u), Dn (u) = + cos ku. 2 2 k=1 k=1 Обозначим через Bnα (p) наименьшую возможную (наилучшую) константу в неравенстве kDα fn kp ≤ Bnα (p) kfn kp , fn ∈ Tn , (3) называемом неравенством Берштейна. Величину Bnα (p) можно интерпретировать как норму оператора Dα на пространстве Tn относительно функционала k · kp ; для нее имеет место формула Bnα (p) = sup{kDα fn kp : kfn kp 6 1, fn ∈ Tn }. (4) Неравенствам (3) посвящено большое число работ; наиболее полно они изучены при 1 6 p 6 ∞ для α > 1 и особенно для натуральных α (см. работы [21, 5, 16, 6, 17] и приведенную там библиографию). Отметим лишь некоторые известные факты в этой тематике, возможно, и не в хронологическом порядке. Поскольку оператор (2) есть оператор свертки, то Bnα (p) 6 Bnα (∞), 16p<∞ (5) Bnα (p) 6 Bnα (0), 0 6 p 6 ∞; первое неравенство хорошо известно, второе доказано в [3] для более общей ситуации. При 1 6 p 6 ∞ для α > 1 справедливо неравенство kfn(α) kp 6 nα kfn kp , fn ∈ Tn (C). (6) Это неравенство точное и обращается в равенство лишь на полиномах aeint + be−int , a, b ∈ C; так что Bnα (p) = nα , если 1 6 p 6 ∞, α > 1. Наиболее известным здесь является неравенство Бернштейна kfn0 kC2π 6 nkfn kC2π , fn ∈ Tn (R), (7) в равномерной норме (т. е. при p = ∞) на множестве Tn (R) вещественных тригонометрических полино- мов. С. Н. Бернштейн [20] получил в 1912 году неравенство (7) с константой n для нечетных и четных тригонометрических полиномов и, как следствие, с константой 2n на классе всех полиномов из Tn (R). В переиздании [8] работы [20] в собрании сочинений С. Н. Бернштейна приведено неравенство (7) на всем классе Tn (R) тригонометрических полиномов с вещественными коэффициентами. В авторских коммен- тариях [7, п. 3.4] к работе [8] С. Н. Бернштейн пишет, что приведенный в [8] вывод, показывающий, что общее неравенство является элементарным следствием того же неравенства для суммы синусов, сообщен ему Э. Ландау вскоре после появления диссертации [20] и впервые был опубликован в [19, § 10]. В 1914 г. М. Рисс [23, 22] (см. также, к примеру, [10, гл. 10]) получил неравенство (7) с наилучшей константой n с помощью известной интерполяционной формулы Рисса для производной тригонометрического полинома; это доказательство дает неравенство (7) уже на множестве Tn (C) тригонометрических полиномов с ком- плексными коэффициентами. В 1933 г. А. Зигмунд с помощью интерполяционной формулы Рисса доказал (см. [10, гл. 10]) неравенство Бернштейна kfn0 kp 6 nkfn kp , fn ∈ Tn (C), в пространствах Lp , p > 1; отсюда следует, что при 1 6 p 6 +∞ для любых натуральных n и α имеет место неравенство (6). В случае 0 6 p < 1, α ∈ N неравенство (6) в 1979 году получил (иным путем) В. В. Арестов [1, 2]. При 1 6 p 6 ∞ для вещественных α > 1 неравенство (6) обосновал П. И. Лизоркин [12]. 171 Для значений 0 6 α < 1 неравенство (3) изучено существенно хуже. Т. Банг [18], а позже С. П. Гейсберг [9] (см. [15, теорема 19.10 и примечания к § 19, п. 8]) показали, что при 0 6 α < 1 справедливы оценки 21−α nα nα 6 Bnα (∞) 6 6 2nα . Γ(2 − α) Г. Вилмес получил [24] более точную оценку сверху Bnα (∞) 6 21−α nα , 0 < α < 1. Отсюда в силу (5) следует, что при 1 6 p 6 ∞ справедливы оценки nα 6 Bnα (p) 6 21−α nα , 0 < α < 1. При 0 6 p < 1 для значений 0 6 α < 1 величина (4), насколько нам известно, не изучалась. Полином fn (t) = cos nt дает оценку Bnα (p) > nα . Однако эта оценка, скорее всего, грубая. Автору удалось [11] получить двусторонние оценки для константы Bn0 (0); а именно, для n > 1 выполняются неравенства 1 n n−1 C 6 Bn0 (0) 6 2C2n . 4 2n Последнее утверждение дает порядок поведения Bn0 (0) по n при n → ∞. В самом деле, воспользовавшись известной формулой Стирлинга !n √ n n! ≈ 2πn , n → +∞, e находим !2n √ 2n 2π · 2n (2n)! e 4n n C2n = ≈ !2n = √ . n! n! q n πn 2 (2π) n2 e Здесь символ ≈ означает, что отношение двух величин стремится к 1 при n → ∞. Аналогично находим, n−1 4n что C2n ≈ √ . Поэтому для величины Bn0 (0) справедливо следующее порядковое соотношение: πn 4n Bn0 (0) ∼ √ , n → ∞. πn Таким образом, величина Bn0 (0) имеет по n экспоненциальный рост. В данной работе изучается величина Bnα (0) для 0 < α < 1 и будет доказано следующее утверждение. Tеорема 1 Для n > 1 при 1 n+2 06α6 · ln (8) ln 2 n−1 справедливы неравенства n−1 nα 6 Bnα (0) 6 2C2n . (9) Хорошую оценку снизу величины Bnα (0) для 0 < α < 1 автору пока получить не удалось. Вычисления на компьютере показывают, что при достаточно малых α имеет место оценка n−1 Bnα (0) > C2n γ(n, α), где γ(n, α) — величина, близкая к 1. Доказательство теоремы 1 будет осуществлено в следующем параграфе в несколько этапов. 172 2 Исследование величины Bnα (0) для малых α 2.1 Некоторые известные результаты Пусть Pm есть множество алгебраических многочленов с комплексными коэффициентами степени (не выше) m. Рассмотрим на множестве Pm функционал   Zπ 1 ln Pm eit dt , Pm ∈ Pm .  kPm k0 = exp  2π −π Хорошо известно (см. библиографию в [4]), что если многочлен m Y Pm (z) = cm (z − zk ) k=1 имеет отличный от нуля старший коэффициент cm и z1 , z2 , . . . , zm — его корни, то m Y kPm k0 = |cm | max (1, |zk |) . (10) k=1 Многочлен Pm ∈ Pm удобно записывать в виде m X k Pm (z) = Cm ck z k . (11) k=0 Пусть m X k Λm (z) = Cm λk z k (12) k=0 есть еще один многочлен из Pm . Многочлен m X k Λm Pm (z) = Cm λk ck z k (13) k=0 называют композицией Сеге многочленов (12) и (11); см. библиографию в [2]. При фиксированном много- члене Λm формула (13) задает линейный оператор в Pm , который удобно обозначать теми же символа- ми Λm . Для композиции Сеге справедливо [3] точное неравенство kΛm Pm k0 6 kΛm k0 kPm k0 , которое на многочлене m X k k Pm (z) = Cm z = (1 + z)m k=0 обращается в равенство. Формула P2n eit = eint fn (t)  (14) устанавливает взаимно однозначное соответствие между множеством Tn тригонометрических полиномов fn порядка n и множеством P2n алгебраических многочленов P2n степени 2n; при этом, очевидно,   Zπ 1 kP2n k0 = exp  ln |fn (t)| dt = kfn k0 . 2π −π Убедимся, что оператору (2) во множестве Tn соответствует в P2n оператор композиции Сеге. Действи- тельно, пусть fn ∈ Tn и gn = Dα fn . Сопоставим этим тригонометрическим полиномам по формуле (14) алгебраические многочлены P2n и Q2n такие, что P2n eit = eint fn (t) , Q2n eit = eint Dα fn (t) .   173 Исходя из представления (1) полинома fn , получаем следующие явные выражения многочленов P2n и Q2n : n n X ak + ibk a0 n X ak − ibk n+k P2n (z) = z n−k + z + z , 2 2 2 k=1 k=1 n n X ak + ibk X ak − ibk Q2n (z) = e−iπα/2 k α z n−k + eiπα/2 k α z n+k . 2 2 k=1 k=1 Нетрудно видеть, что Q2n есть композиция Λα 2n P2n многочлена P2n и многочлена n−1 X   Λα 2n (z) = k C2n (n − k)α e−iπα/2 z k + eiπα/2 z 2n−k . (15) k=0 Таким образом, неравенство (3) эквивалентно неравенству kΛα α 2n P2n k0 6 Bn (0) kP2n k0 , P2n ∈ P2n . Приведенные только что рассуждения влекут такое утверждение. При n > 1 для величины Bnα (0) имеет место формула Bnα (0) = kΛα 2n k0 и на полиноме cos2n (t/2) неравенство (3) обращается в равенство. Поскольку неравенство (3) обращается в равенство на вещественном тригонометрическом полиноме, то оно является точным как на множестве полиномов с комплексными коэффициентами, так и с вещественными. В дальнейшем изучается именно величина kΛα 2n k0 для многочлена (15). 2.2 Вспомогательные результаты Следующее утверждение легко вытекает из известных фактов. Однако для полноты изложения мы приведем его доказательство. Лемма 1 Если коэффициенты алгебраического многочлена n X F (z) = ak z k k=0 действительны, неотрицательны и не возрастают: a0 > a1 > . . . > an−1 > an > 0, то kF k0 = a0 . Д о к а з а т е л ь с т в о. Убедимся, что многочлен F не может иметь корней, по модулю меньших 1 (подобное утверждение см. в [13, гл. 8, § 2]). Запишем многочлен F в виде F (z) = (a0 − a1 ) + + (a1 − a2 ) (1 + z) + + (a2 − a3 ) 1 + z + z 2 + . . . +  + (an−1 − an ) 1 + z + . . . + z n−1 +  + an 1 + z + . . . + z n−1 + z n .  Положим ak − ak+1 = bk (k 6= n) , an = bn ; поскольку коэффициенты многочлена не возрастают, то все bk неотрицательные. Из полученного представления следует, что n X bk 1 − z k+1 .  F (z) (1 − z) = k=0 174  Если |z| < 1, то точка 1 − z k+1 лежит в открытом круге |z − 1| < 1. Поэтому Re 1 − z k+1 > 0 и, следова- тельно, n X bk · Re 1 − z k+1 > 0.  Re (F (z) (1 − z)) = k=0 Таким образом, действительно, многочлен F не имеет корней, по модулю меньших 1. Согласно форму- ле (10), будем иметь n Y kF k0 = an |zk | = a0 , k=1 где {zk }nk=1 — корни F . Лемма доказана.  n k P Следствие. Если коэффициенты многочлена F (z) = ak z действительны, неотрицательны и не k=0 убывают, то kF k0 = an . Для доказательства достаточно применить лемму 1 к многочлену z n F (1/z). Лемма 2 Если многочлен P2n (z) представим в виде   1 2n P2n (z) = F (z) + z F , z где F (z) — многочлен степени не выше 2n, то справедливо неравенство kP2n k0 6 2 kF k0 . Д о к а з а т е л ь с т в о. На единичной окружности имеем   P2n eit = eint e−int F eit + eint F (eit ) = 2 Re e−int F eit 6 2 F eit .     Следовательно, kP2n k0 6 2 kF k0 . Лемма 2 доказана.  2.3 Оценка сверху в теореме 1 Многочлен Λα 2n , определенный формулой (15), удовлетворяет условию леммы 2, при этом n−1 X Fα (z) = e−iπα/2 k C2n (n − k)α z k . k=0 Поэтому kΛα 2n k0 6 2 kFα k0 . Убедимся, что в условиях теоремы 1 все корни многочлена Fα по модулю не больше 1; в этом случае в соответствии с формулой (10) будем иметь n−1 kFα k0 = C2n . (16) Для этого достаточно, чтобы многочлен Fα с точностью до постоянного множителя удовлетворял условиям следствия из леммы 1 (имела место монотонность коэффициентов). Монотонность (а точнее, неубывание) коэффициентов означает выполнение неравенств k α k+1 α C2n (n − k) 6 C2n (n − k − 1) для всех k = 0, 1, . . . , n − 2. Эти неравенства равносильны тому, что !α 1 2n − k 1+ 6 n−k−1 k+1 175 или 2n − k ln α6 k+1 !. 1 ln 1 + n−k−1 Последняя дробь убывает по k. Взяв k = n − 2, как раз и получим ограничение (8) на α. Итак, действительно, в условиях теоремы 1 имеет место (16). Оценка сверху в теореме 1 доказана.  2.4 Оценка снизу Для полинома cn (t) = cos nt согласно формуле (2) имеем Dα cn (t) = nα cos nt + πα  2 . Подставив полином cos nt в неравенство (3), получаем оценку Bnα (p) > nα при всех α > 0, 0 6 p 6 ∞. В частности, справедливо первое неравенство в (9). Итак, при выполнении условия (8) выполняются оба неравенства (9). Тем самым теорема 1 полностью доказана.  Благодарности Работа выполнена при поддержке Программы государственной поддержки ведущих научных школ (НШ-9356.2016.1) и Программы повышения конкурентоспособности УрФУ (постановление № 211 Прави- тельства РФ от 16.03.2013, контракт № 02.A03.21.0006 от 27.08.2013). Список литературы [1] V.V. Arestov. On inequalities of S.N. Bernstein for algebraic and trigonometric polynomials. Soviet Math. Dokl., 20(3):600–603, 1979. [2] V.V. Arestov. On integral inequalities for trigonometric polynomials and their derivatives. Math. USSR Izvestija, 18(1):1–17, 1982. [3] V.V. Arestov. Integral inequalities for algebraic polynomials on the unit circle. Math. Notes, 48(4):977–984, 1990. [4] V.V. Arestov. The Szegö inequality for derivatives of a conjugate trigonometric polynomial in L0 . Math. Notes, 56(6):1216–1227, 1994. [5] V.V. Arestov. Sharp inequalities for trigonometric polynomials with respect to integral functionals. P roc. Steklov Inst. Math., 273(Suppl. 1):21–36, 2011. [6] V.V. Arestov, P.Yu. Glazyrina. Integral inequalities for algebraic and trigonometric polynomials. Doklady Mathematics, 85(1):104–108, 2012. [7] S.N. Bernstein. Author’s comments. In “Collected works”, Vol. 1, pp. 526–562. Akad. Nauk SSSR, Moscow, 1952 (in Russian). = С.Н. Бернштейн. Авторские комментарии. Собр. соч.: в 4 т., т. 1., с. 526–562. М.: Изд-во АН СССР, 1952. [8] S.N. Bernstein. On the best approximation of continuous functions by polynomials of given degree. In “Collected Works”, Vol. 1. Akad. Nauk SSSR, Moscow, 1952 (in Russian). = С.Н. Бернштейн. О наилучшем приближении непрерывных функций посредством многочленов данной степени. Собр. соч.: в 4 т., т. 1. М.: Изд.-во АН СССР, 1952. [9] S.P. Geisberg. Analogues of S.N. Bernstein inequalities for fractional derivative. Voprosy prikladnoy matematiki i matematicheskogo modelirovaniya : Kratkie soderzhaniya dokl. 25-j nauch. conf. — 24 janv. – 4 fevr. 1967 g. L.: Leningr. inzh.-stroit. in-t, 5–10, 1967 (in Russian). = С.П. Гейсберг. Аналоги неравенств С.Н. Бернштейна для дробной производной. Вопросы прикладной математики и математического моделирования : Краткие содержания докл. 25-й науч. конф. — 24 янв. – 4 февр. 1967 г. Л.: Ленингр. инж.-строит. ин-т, 5–10, 1967. 176 [10] A. Zygmund. Trigonometric Series, Vol. II. Cambridge University Press, New York, 1959. [11] A.O. Leontyeva. Bernstein inequality in L0 for zero order derivative of trigonometric polynomials. Tr. In-ta Mat. Mekh. UrO RAN, 19(2):216–223, 2013 (in Russian). = А.О. Леонтьева. Неравенство Бернштейна в L0 для производной нулевого порядка тригонометрических полиномов. Тр. Ин-та мат. мех. УрО РАН, 19(2):216–223, 2013. [12] P.I. Lizorkin. Estimates for trigonometric integrals and Bernstein inequality for fractional derivatives. Izv. AN SSSR. Ser. mat., 4(3):109–126, 1965 (in Russian). = П.И. Лизоркин. Оценки тригонометрических интегралов и неравенство Бернштейна для дробных производных. Изв. АН СССР. Сер. мат, 4(3):109– 126, 1965. [13] A.I. Markushevich. The Theory of Analytical Functions: A Brief Course. Mir Publishers, 1983. [14] G. Polya, G. Szego. Problems and Theorems in Analysis I. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 1998. [15] S.G. Samko, A.A. Kilbas, O.I. Marichev. Fractional Integrals and Derivatives. Theory and Applications. Gordon and Breach Science Publishers, Yverdon, 1993. [16] V.V. Arestov. Sharp integral inequalities for trigonometric polynomials. Constructive theory of functions: in memory of Borislav Bojanov (Proceedings of the International conference, Sozopol, 2010). (G. Nikolov and R. Uluchev, Eds.). Prof. Marin Drinov Academic Publishing House, Sofia, 30–45, 2012. [17] V.V. Arestov, P.Yu. Glazyrina. Sharp integral inequalities for fractional derivatives of trigonometric polynomials. J. Approx. Theory, 164(11):1501–1512, 2012. [18] T. Bang. Une inégalite de Kolmogoroff et les fonctions presque-périodiques. Danske Vid. Selsk. Math.-Fys. Medd, 19(4):28, 1941. [19] S. Bernstein. Leçons sur les propriétés extrémales et la meilleure approximation des fonctions analytiques d’une variable réelle. Collection Borel. Gauthier-Villar, Paris, 1926. [20] S. Bernstein. Sur l’ordre de la meilleure approximation des fonctions continues par des polynômes de degré donné. Mémoires de l’Académie Royale de Belgique, 2(4):1–103, 1912. [21] A.I. Kozko. The exact constants in the Bernstein–Zygmund–Szegö inequalities with fractional derivatives and the Jackson–Nikolskii inequality for trigonometric polynomials. East J. Approx, 4(3):391–416, 1998. [22] M. Riesz. Eine trigonometrische Interpolationsformel und einige Ungleichungen für Polynome. Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, 23:354–368, 1914. [23] M. Riesz. Formule d’interpolation pour la dérivée d’un polynome trigonométrique. C. R. Acad. Sci., 158:1152–1154, 1914. [24] G. Wilmes. On Riesz-type inequalities and K-functionals related to Riesz potentials in RN . N. Numer. Funct. Anal. Optim., 1(1):57–77, 1979. 177 Bernstein inequality for small-order fractional derivatives of trigonometric polynomials in the space L0 Anastasia O. Leontyeva Ural Federal University (Yekaterinburg, Russia) Keywords: trigonometric polynomial, Weyl derivative, Bernstein inequality. Two-sided estimates are obtained for the best constant in the Bernstein inequality for fractional derivatives of small order of trigonometric polynomials in L0 . 178