Исследуется задача о наибольшем и наименьшем значениях второго коэффициента нечeтных тригонометрических полиномов, не превосходящих функции '(x) = x на отрезке [0; 2 ]. Аналогичная задача для первого коэффициента была изучена автором ранее. Ключевые слова: тригонометрический полином, односторонние ограничения.
n X ak sin kx 6 x; k=1 0 6 x 6 2 :
A2+(n) = supfa2(sn) : sn 2 Fng;
A2 (n) = inffa2(sn) : sn 2 Fng: (3) Условие (2) можно переписать в более удобной для дальнейшего использования форме. В неравенстве (2) на отрезке [ ; 2 ] заменим x на 2 x; x 2 [0; ]: В результате получим ограничение или, что то же самое, Таким образом, неравенство (2) эквивалентно двум неравенствам 1: При любом n > 2 выполняется неравенство A2+(n) 6 3. 2: Имеет место предельное соотношение lim A2+(n) = 3.
n!1 3: При любом n > 2 выполняется неравенство A2 (n) > 4: Имеет место предельное соотношение lim A2 (n) = n!1 5. 5.
Доказательство. Проверим первое утверждение. Пусть sn – нечётный тригонометрический полином порядка n, удовлетворяющий условию (2) или, что то же самое, условию (4). С помощью (4) можно следующим образом оценить сверху второй коэффициент a2: 2 Z 0 2
Z 2
0 a2 =
Обозначим через ' ; 0 < < =6; функцию Соболева со свойствами: функция ' определена, неотрицательная, четная и бесконечно дифференцируемая на всей числовой прямой R; ' (x) = 0; если x 2= [ ; ]; (5) (6) т. е. носитель ' принадлежит отрезку [ ; ] и, наконец, ' (x) dx = 1: С её помощью сгладим функцию f; а точнее, рассмотрим функцию
1 Функция f бесконечно дифференцируемая, нечетная на R и 2 -периодическая.
Оценим функцию f сверху и снизу на отрезке [0; 2 ]. Поскольку ' (x) = 0 для x 2= [ ; ], то функцию f можно представить как
f (t) ' (t x) dt: Z x+ ряда Фурье функции f : Коэффициенты Фурье fak( )g убывают быстрее любой степени номера k; в частности, существует константа C( ) > 0 такая, что jak( )j 6 C( )=k 3; k > 1: Поэтому ряд Фурье функции f сходится равномерно и, как следствие, Поэтому справедлива оценка jf (x) Sn(x)j 6 X1 jak( )j j sin kxj 6 k=X1n+1 Ck(3 ) xk 6 x n; k=n+1 n = n( ) = C( ) X1 1
; k=n+1 k2 отметим, что n ! 0; n ! 1: Для полиномов Sn теперь имеем
Sn(x) = f (x) + Sn(x) f (x) 6 f (x) + jf (x) Sn(x)j 6 x + x n = x(1 + n); x 2 [0; 2 ]: Тригонометрический полином sn(x) =
Sn(x) 1 + n (7) (8) имеет порядок n и удовлетворяет ограничению sn(x) 6 x; x 2 [0; 2 ]; и потому принадлежит множеству Fn: Второй коэффициент полинома sn есть a2( )=(1 + n): Поэтому при любом n > 1 справедлива оценка Отсюда заключаем, что при любом 0 < (9) (10) 2 Z
0 > 2
Z 2
0 Второе утверждение теоремы также доказано.
Третье утверждение доказывается аналогично первому. Оценим вначале снизу коэффициент a2 полинома (1), используя условия (4): a2 = Переходя здесь к пределу при n ! +1; заключаем, что Исследуем теперь поведение коэффициента a2( ) при ! +0: Запишем + 5; n ! 1: Итак, мы доказали последнее утверждение. Теорема И, как следствие, Из (11) и (12) следует, что A3 (n) ! доказана полностью. Благодарности
Автор признателен своему научному руководителю В. В. Арестову за постановку задачи и полезные обсуждения результатов исследования.
Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект 15-01-02705) и Программы повышения конкурентоспособности УрФУ (постановление № 211 Правительства РФ от 16.03.2013, контракт № 02.A03.21.0006 от 27.08.2013). (11) (12) Список литературы [2] G.V. Milovanovi´c, D.S. Mitrinovic, Th.M. Rassias. Topics in Polynomials: Extremal Problems, Inequalities,
Zeros. World Scientific, Singapore, 1994. [4] E.V. Egervary, O. Szasz. Einige Extremalprobleme im Bereiche der trigonometrischen Polynome.
Mathematische Zeitschrift, 27:641–652, 1928. [5] V.V. Arestov, V.P. Kondratiev. Certain extremal problem for nonnegative trigonometric polynomials. Math.
Notes, 47(1):10–20, 1990. [6] Sz.Gy. R´ev´esz. A Fej´er type extremal problem. Acta Math. Hungar., 57(3–4):279–283, 1991. [7] Sz. R´ev´esz. On some extremal problems of Landau. Serdica Math. J., 33(1):125–162, 2007. [8] V.V. Arestov, A.S. Mendelev. Trigonometric polynomials of least deviation from zero in measure and related problems. J. Approx. Theory, 162(10):1852–1878, 2010. [9] V.V. Arestov, P.Yu. Glazyrina. Sharp integral inequalities for fractional derivatives of trigonometric polynomials. J. Approx. Theory, 164(11):1501–1512, 2012. [10] D.O. Zykov. Coefficients of trigonometric polynomials under a one-sided constraint. Trudy Instituta matematiki i mekhaniki UrO RAN, 21(4):152–160, 2015 (in Russian). = Д.O. Зыков. Коэффициенты тригонометрических полиномов при одностороннем ограничении. Труды Ин-та мат. мех. УрО РАН, 21(4):152–160, 2015.
Investigation of the second coefficients of trigonometric polynomials under a one-sided constraint
Dmitry O. Zykov Ural Federal University (Yekaterinburg, Russia)
We study the largest and the smallest values of the second coefficient of even trigonometric polynomials bounded from above by the function '(x) = x on the interval [0; 2 ]. A similar problem for the first coefficient was studied by the author earlier.