Исследование второго коэффициента
нечетного тригонометрического полинома
при одностороннем ограничении
Д.О. Зыков
mitya130@mail.ru
УрФУ (Екатеринбург)
Аннотация
Исследуется задача о наибольшем и наименьшем значениях вто-
рого коэффициента нечeтных тригонометрических полиномов, не
превосходящих функции ϕ(x) = x на отрезке [0, 2π]. Аналогичная
задача для первого коэффициента была изучена автором ранее.
Ключевые слова: тригонометрический полином, односторонние
ограничения.
1 Введение
Рассмотрим множество Fn нечётных тригонометрических полиномов
n
X
sn (x) = ak sin kx (1)
k=1
с вещественными коэффициентами порядка n > 1, удовлетворяющих ограничению
n
X
ak sin kx 6 x, 0 6 x 6 2π. (2)
k=1
Нас интересует, в каких границах может меняться второй коэффициент таких полиномов, а точнее, нас
интересуют следующие значения:
A+
2 (n) = sup{a2 (sn ) : sn ∈ Fn }, A−
2 (n) = inf{a2 (sn ) : sn ∈ Fn }. (3)
Экстремальные задачи для алгебраических и тригонометрических полиномов – обширный раздел теории
функций. Такие задачи изучаются с середины XVIII века. К настоящему времени этой тематике посвя-
щено большое число публикаций. В частности, большое число исследований посвящено экстремальным
задачам для полиномов с ограничениями на их значения, см., к примеру, монографии [1, 2], статьи [3–9] и
приведенную там библиографию. В работе автора [10] дано решение задачи, подобной (3), для первого ко-
эффициента и приведены близкие оценки аналогов величин (3) для коэффициента многочленов из класса
Fn с произвольным номером.
Copyright c by the paper’s authors. Copying permitted for private and academic purposes.
In: A.A. Makhnev, S.F. Pravdin (eds.): Proceedings of the 47th International Youth School-conference “Modern Problems in
Mathematics and its Applications”, Yekaterinburg, Russia, 02-Feb-2016, published at http://ceur-ws.org
179
Условие (2) можно переписать в более удобной для дальнейшего использования форме. В неравенстве (2)
на отрезке [π, 2π] заменим x на 2π − x, x ∈ [0, π]. В результате получим ограничение
n
X
− ak sin kx 6 2π − x, 0 6 x 6 π,
k=1
или, что то же самое,
n
X
ak sin kx > x − 2π, 0 6 x 6 π.
k=1
Таким образом, неравенство (2) эквивалентно двум неравенствам
x − 2π 6 sn (x) 6 x, 0 6 x 6 π. (4)
2 Основной результат
В ходе исследований в задаче (3) был получен следующий результат.
Теорема. Для величин A±
2 (n) справедливы следующие четыре утверждения.
1. При любом n > 2 выполняется неравенство A+
2 (n) 6 3.
2. Имеет место предельное соотношение lim A+
2 (n) = 3.
n→∞
3. При любом n > 2 выполняется неравенство A−
2 (n) > −5.
4. Имеет место предельное соотношение lim A−
2 (n) = −5.
n→∞
Доказательство. Проверим первое утверждение. Пусть sn – нечётный тригонометрический полином
порядка n, удовлетворяющий условию (2) или, что то же самое, условию (4). С помощью (4) можно сле-
дующим образом оценить сверху второй коэффициент a2 :
Z π2 !
2 π
Z Z π
2
a2 = sn (x) sin 2x dx = sn (x) sin 2x dx + sn (x) sin 2x dx 6
π 0 π 0 π
2
Z π2 Z π !
2
6 x sin 2x dx + (x − 2π) sin 2x dx = 3.
π 0 π
2
Отсюда следует первое утверждение теоремы.
Для доказательства второго утверждения теоремы построим семейство конкретных многочленов. Будем
исходить из 2π-периодической нечетной функции f, заданной на [0, π) соотношениями
(
x, x ∈ [0, π/2);
f (x) =
x − 2π, x ∈ (π/2, π).
Функция f обладает следующими двумя легко проверяемыми свойствами:
π
f (x) 6 x, x>− ; (5)
2
π 5
x − 2π 6 f (x) 6 x, − 6 x 6 π. (6)
2 2
Обозначим через ϕδ , 0 < δ < π/6, функцию Соболева со свойствами: функция ϕδ определена, неотрица-
тельная, четная и бесконечно дифференцируемая на всей числовой прямой R; ϕδ (x) = 0, если x ∈
/ [−δ, δ],
180
Z ∞
т. е. носитель ϕδ принадлежит отрезку [−δ, δ] и, наконец, ϕδ (x) dx = 1. С её помощью сгладим функцию
−∞
f, а точнее, рассмотрим функцию Z ∞
f (t) ϕδ (t − x) dt.
−∞
Функция fδ бесконечно дифференцируемая, нечетная на R и 2π-периодическая.
Оценим функцию fδ сверху и снизу на отрезке [0, 2π]. Поскольку ϕδ (x) = 0 для x ∈
/ [−δ, δ], то функцию
fδ можно представить как
Z x+δ
fδ (x) = f (t) ϕδ (t − x) dt. (7)
x−δ
В силу свойства (5) и ограничения 0 < δ < π6 имеем
Z x+δ Z x+δ
fδ (x) = f (t) ϕδ (t − x) dt 6 t ϕδ (t − x) dt =
x−δ x−δ
Z x+δ Z x+δ
= (t − x) ϕδ (t − x) dt + x ϕδ (t − x) dt = x.
x−δ x−δ
Аналогично, исходя из свойства (6), получаем
Z x+δ Z x+δ
fδ (x) = f (t) ϕδ (t − x) dt > (t − 2π) ϕδ (t − x) dt =
x−δ x−δ
Z x+δ Z x+δ
= (t − x) ϕδ (t − x) dt + (x − 2π) ϕδ (t − x) dt = x − 2π.
x−δ x−δ
Итак, для функции fδ справедливы оценки
x − 2π 6 fδ (x) 6 x, 0 6 x 6 2π. (8)
Рассмотрим частичную сумму
n
X
Sn (x) = Sn (x; fδ ) = ak (δ) sin kx
k=1
ряда Фурье функции fδ . Коэффициенты Фурье {ak (δ)} убывают быстрее любой степени номера k; в част-
ности, существует константа C(δ) > 0 такая, что |ak (δ)| 6 C(δ)/k −3 , k > 1. Поэтому ряд Фурье функции
fδ сходится равномерно и, как следствие,
∞
X
fδ (x) − Sn (x) = ak (δ) sin kx.
k=n+1
Поэтому справедлива оценка
∞ ∞
X X C(δ)
|fδ (x) − Sn (x)| 6 |ak (δ)| · | sin kx| 6 xk 6 x · n ,
k3
k=n+1 k=n+1
∞
X 1
n = n (δ) = C(δ) ;
k2
k=n+1
отметим, что n → 0, n → ∞. Для полиномов Sn теперь имеем
Sn (x) = fδ (x) + Sn (x) − fδ (x) 6 fδ (x) + |fδ (x) − Sn (x)| 6 x + xn = x(1 + n ), x ∈ [0, 2π].
Тригонометрический полином
Sn (x)
sn (x) =
1 + n
181
имеет порядок n и удовлетворяет ограничению sn (x) 6 x, x ∈ [0, 2π], и потому принадлежит множеству
Fn . Второй коэффициент полинома sn есть a2 (δ)/(1 + n ). Поэтому при любом n > 1 справедлива оценка
a2 (δ)
6 A+
2 (n) 6 3.
1 + n
Отсюда заключаем, что при любом 0 < δ < π6
a2 (δ) 6 lim A+
2 (n) 6 3. (9)
n→∞
Исследуем коэффициент a2 (δ). Исходя из соотношения (7), нетрудно понять, что
fδ (x) = f (x) = x, x ∈ [0, π/2 − δ],
fδ (x) = f (x) = x − 2π, x ∈ [π/2 + δ, π − δ].
Поэтому Z π
2
a2 (δ) = fδ (x) sin 2x dx =
π 0
Z π2 −δ Z π−δ Z π2 +δ Z π !
2
= x sin 2x dx + (x − 2π) sin 2x dx + fδ (x) sin 2x dx + fδ (x) sin 2x dx .
π 0 π
2 −δ
π
2 −δ π−δ
В силу (8), имеем
Z π2 +δ
lim fδ (x) sin 2x dx = 0,
δ→0 π
2 −δ
Z π
lim fδ (x) sin 2x dx = 0.
δ→0 π−δ
Следовательно,
a2 (δ) → 3, δ → +0. (10)
Соотношения (9) и (10) влекут свойство
A+
2 (n) → 3, n → ∞.
Второе утверждение теоремы также доказано.
Третье утверждение доказывается аналогично первому. Оценим вначале снизу коэффициент a2 поли-
нома (1), используя условия (4):
Z π2 !
2 π
Z Z π
2
a2 = sn (x) sin 2x dx = sn (x) sin 2x dx + sn (x) sin 2x dx >
π 0 π 0 π
2
Z π2 Z π !
2 2 π
> (x − 2)π sin 2x dx + x sin 2x dx = −π + π cos π − cos 2π = −5.
π 0 π
2
π 2
Тем самым третье утверждение теоремы доказано.
Доказательство четвёртого утверждения вновь начнем с построения вспомогательной функции. Обозна-
чим через g нечетную 2π-периодическую функцию, определенную на (0, π) соотношениями
(
x − 2π, x ∈ (0, π2 );
g(x) =
x, x ∈ ( π2 , π).
Эта функция удовлетворяет тем же ограничениям (5) и (6), что и построенная выше функция f . Поэтому
свертка Z ∞
gδ (x) = g(t) ϕδ (t − x) dt
−∞
182
функции g с функцией Соболева ϕδ также удовлетворяет ограничениям
x − 2π 6 gδ (x) 6 x, 0 6 x 6 2π.
Теперь рассмотрим частичную сумму
n
X
Sn (x) = Sn (x; gδ ) = ak (δ) sin kx
k=1
ряда Фурье
∞
X
ak (δ) sin kx
k=1
функции gδ . По той же схеме, что и во втором пункте, обосновывается оценка
Sn (x) 6 x(1 + n ), x ∈ [0, 2π],
в которой n есть положительная величина со свойством n → 0, n → ∞. Полином sn = Sn /(1 + n )
принадлежит множеству Fn . Следовательно, справедливы оценки
a2 (δ)
> A−
2 (n) > −5.
1 + n
Переходя здесь к пределу при n → +∞, заключаем, что
a2 (δ) > A−
2 (n) > −5. (11)
Исследуем теперь поведение коэффициента a2 (δ) при δ → +0. Запишем
2 π
Z
a2 (δ) = gδ (x) sin 2x dx =
π 0
Z π
2 2 −δ
Z π−δ
= (x − 2π) sin 2x dx + x sin 2x dx+
π δ π
2 −δ
Z π2 +δ Z π Z δ
+ gδ (x) sin 2x dx + gδ (x) sin 2x dx + gδ (x) sin 2x dx .
π
2 −δ π−δ 0
Функция gδ равномерно ограничена по параметру δ ∈ (0, π/6). Поэтому
Z δ
lim gδ (x) sin 2x dx = 0,
δ→0 0
Z π2 +δ
lim gδ (x) sin 2x dx = 0,
δ→0 π
2 −δ
Z π
lim gδ (x) sin 2x dx = 0.
δ→0 π−δ
И, как следствие,
a2 (δ) → −5, δ → +0. (12)
Из (11) и (12) следует, что A−
3 (n) → −5, n → ∞. Итак, мы доказали последнее утверждение. Теорема
доказана полностью.
Благодарности
Автор признателен своему научному руководителю В. В. Арестову за постановку задачи и полезные
обсуждения результатов исследования.
Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект 15-01-02705) и Программы повышения конкуренто-
способности УрФУ (постановление № 211 Правительства РФ от 16.03.2013, контракт № 02.A03.21.0006 от
27.08.2013).
183
Список литературы
[1] G. Polya, G. Szegö. Problems and Theorems in Analysis I, II. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 1998.
[2] G.V. Milovanović, D.S. Mitrinovic, Th.M. Rassias. Topics in Polynomials: Extremal Problems, Inequalities,
Zeros. World Scientific, Singapore, 1994.
[3] L. Fejer. Uber trigonometrische Polynome. J. Angew. Math., 146:53–82, 1915.
[4] E.V. Egervary, O. Szasz. Einige Extremalprobleme im Bereiche der trigonometrischen Polynome.
Mathematische Zeitschrift, 27:641–652, 1928.
[5] V.V. Arestov, V.P. Kondratiev. Certain extremal problem for nonnegative trigonometric polynomials. Math.
Notes, 47(1):10–20, 1990.
[6] Sz.Gy. Révész. A Fejér type extremal problem. Acta Math. Hungar., 57(3–4):279–283, 1991.
[7] Sz. Révész. On some extremal problems of Landau. Serdica Math. J., 33(1):125–162, 2007.
[8] V.V. Arestov, A.S. Mendelev. Trigonometric polynomials of least deviation from zero in measure and related
problems. J. Approx. Theory, 162(10):1852–1878, 2010.
[9] V.V. Arestov, P.Yu. Glazyrina. Sharp integral inequalities for fractional derivatives of trigonometric
polynomials. J. Approx. Theory, 164(11):1501–1512, 2012.
[10] D.O. Zykov. Coefficients of trigonometric polynomials under a one-sided constraint. Trudy Instituta
matematiki i mekhaniki UrO RAN, 21(4):152–160, 2015 (in Russian). = Д.O. Зыков. Коэффициенты
тригонометрических полиномов при одностороннем ограничении. Труды Ин-та мат. мех. УрО РАН,
21(4):152–160, 2015.
184
Investigation of the second coefficients of trigonometric polynomials
under a one-sided constraint
Dmitry O. Zykov
Ural Federal University (Yekaterinburg, Russia)
Keywords: trigonometric polynomials, one-sided constraints.
We study the largest and the smallest values of the second coefficient of even trigonometric polynomials
bounded from above by the function ϕ(x) = x on the interval [0, 2π]. A similar problem for the first coefficient
was studied by the author earlier.
185