Исследование второго коэффициента нечетного тригонометрического полинома при одностороннем ограничении Д.О. Зыков mitya130@mail.ru УрФУ (Екатеринбург) Аннотация Исследуется задача о наибольшем и наименьшем значениях вто- рого коэффициента нечeтных тригонометрических полиномов, не превосходящих функции ϕ(x) = x на отрезке [0, 2π]. Аналогичная задача для первого коэффициента была изучена автором ранее. Ключевые слова: тригонометрический полином, односторонние ограничения. 1 Введение Рассмотрим множество Fn нечётных тригонометрических полиномов n X sn (x) = ak sin kx (1) k=1 с вещественными коэффициентами порядка n > 1, удовлетворяющих ограничению n X ak sin kx 6 x, 0 6 x 6 2π. (2) k=1 Нас интересует, в каких границах может меняться второй коэффициент таких полиномов, а точнее, нас интересуют следующие значения: A+ 2 (n) = sup{a2 (sn ) : sn ∈ Fn }, A− 2 (n) = inf{a2 (sn ) : sn ∈ Fn }. (3) Экстремальные задачи для алгебраических и тригонометрических полиномов – обширный раздел теории функций. Такие задачи изучаются с середины XVIII века. К настоящему времени этой тематике посвя- щено большое число публикаций. В частности, большое число исследований посвящено экстремальным задачам для полиномов с ограничениями на их значения, см., к примеру, монографии [1, 2], статьи [3–9] и приведенную там библиографию. В работе автора [10] дано решение задачи, подобной (3), для первого ко- эффициента и приведены близкие оценки аналогов величин (3) для коэффициента многочленов из класса Fn с произвольным номером. Copyright c by the paper’s authors. Copying permitted for private and academic purposes. In: A.A. Makhnev, S.F. Pravdin (eds.): Proceedings of the 47th International Youth School-conference “Modern Problems in Mathematics and its Applications”, Yekaterinburg, Russia, 02-Feb-2016, published at http://ceur-ws.org 179 Условие (2) можно переписать в более удобной для дальнейшего использования форме. В неравенстве (2) на отрезке [π, 2π] заменим x на 2π − x, x ∈ [0, π]. В результате получим ограничение n X − ak sin kx 6 2π − x, 0 6 x 6 π, k=1 или, что то же самое, n X ak sin kx > x − 2π, 0 6 x 6 π. k=1 Таким образом, неравенство (2) эквивалентно двум неравенствам x − 2π 6 sn (x) 6 x, 0 6 x 6 π. (4) 2 Основной результат В ходе исследований в задаче (3) был получен следующий результат. Теорема. Для величин A± 2 (n) справедливы следующие четыре утверждения. 1. При любом n > 2 выполняется неравенство A+ 2 (n) 6 3. 2. Имеет место предельное соотношение lim A+ 2 (n) = 3. n→∞ 3. При любом n > 2 выполняется неравенство A− 2 (n) > −5. 4. Имеет место предельное соотношение lim A− 2 (n) = −5. n→∞ Доказательство. Проверим первое утверждение. Пусть sn – нечётный тригонометрический полином порядка n, удовлетворяющий условию (2) или, что то же самое, условию (4). С помощью (4) можно сле- дующим образом оценить сверху второй коэффициент a2 : Z π2 ! 2 π Z Z π 2 a2 = sn (x) sin 2x dx = sn (x) sin 2x dx + sn (x) sin 2x dx 6 π 0 π 0 π 2 Z π2 Z π ! 2 6 x sin 2x dx + (x − 2π) sin 2x dx = 3. π 0 π 2 Отсюда следует первое утверждение теоремы. Для доказательства второго утверждения теоремы построим семейство конкретных многочленов. Будем исходить из 2π-периодической нечетной функции f, заданной на [0, π) соотношениями ( x, x ∈ [0, π/2); f (x) = x − 2π, x ∈ (π/2, π). Функция f обладает следующими двумя легко проверяемыми свойствами: π f (x) 6 x, x>− ; (5) 2 π 5 x − 2π 6 f (x) 6 x, − 6 x 6 π. (6) 2 2 Обозначим через ϕδ , 0 < δ < π/6, функцию Соболева со свойствами: функция ϕδ определена, неотрица- тельная, четная и бесконечно дифференцируемая на всей числовой прямой R; ϕδ (x) = 0, если x ∈ / [−δ, δ], 180 Z ∞ т. е. носитель ϕδ принадлежит отрезку [−δ, δ] и, наконец, ϕδ (x) dx = 1. С её помощью сгладим функцию −∞ f, а точнее, рассмотрим функцию Z ∞ f (t) ϕδ (t − x) dt. −∞ Функция fδ бесконечно дифференцируемая, нечетная на R и 2π-периодическая. Оценим функцию fδ сверху и снизу на отрезке [0, 2π]. Поскольку ϕδ (x) = 0 для x ∈ / [−δ, δ], то функцию fδ можно представить как Z x+δ fδ (x) = f (t) ϕδ (t − x) dt. (7) x−δ В силу свойства (5) и ограничения 0 < δ < π6 имеем Z x+δ Z x+δ fδ (x) = f (t) ϕδ (t − x) dt 6 t ϕδ (t − x) dt = x−δ x−δ Z x+δ Z x+δ = (t − x) ϕδ (t − x) dt + x ϕδ (t − x) dt = x. x−δ x−δ Аналогично, исходя из свойства (6), получаем Z x+δ Z x+δ fδ (x) = f (t) ϕδ (t − x) dt > (t − 2π) ϕδ (t − x) dt = x−δ x−δ Z x+δ Z x+δ = (t − x) ϕδ (t − x) dt + (x − 2π) ϕδ (t − x) dt = x − 2π. x−δ x−δ Итак, для функции fδ справедливы оценки x − 2π 6 fδ (x) 6 x, 0 6 x 6 2π. (8) Рассмотрим частичную сумму n X Sn (x) = Sn (x; fδ ) = ak (δ) sin kx k=1 ряда Фурье функции fδ . Коэффициенты Фурье {ak (δ)} убывают быстрее любой степени номера k; в част- ности, существует константа C(δ) > 0 такая, что |ak (δ)| 6 C(δ)/k −3 , k > 1. Поэтому ряд Фурье функции fδ сходится равномерно и, как следствие, ∞ X fδ (x) − Sn (x) = ak (δ) sin kx. k=n+1 Поэтому справедлива оценка ∞ ∞ X X C(δ) |fδ (x) − Sn (x)| 6 |ak (δ)| · | sin kx| 6 xk 6 x · n , k3 k=n+1 k=n+1 ∞ X 1 n = n (δ) = C(δ) ; k2 k=n+1 отметим, что n → 0, n → ∞. Для полиномов Sn теперь имеем Sn (x) = fδ (x) + Sn (x) − fδ (x) 6 fδ (x) + |fδ (x) − Sn (x)| 6 x + xn = x(1 + n ), x ∈ [0, 2π]. Тригонометрический полином Sn (x) sn (x) = 1 + n 181 имеет порядок n и удовлетворяет ограничению sn (x) 6 x, x ∈ [0, 2π], и потому принадлежит множеству Fn . Второй коэффициент полинома sn есть a2 (δ)/(1 + n ). Поэтому при любом n > 1 справедлива оценка a2 (δ) 6 A+ 2 (n) 6 3. 1 + n Отсюда заключаем, что при любом 0 < δ < π6 a2 (δ) 6 lim A+ 2 (n) 6 3. (9) n→∞ Исследуем коэффициент a2 (δ). Исходя из соотношения (7), нетрудно понять, что fδ (x) = f (x) = x, x ∈ [0, π/2 − δ], fδ (x) = f (x) = x − 2π, x ∈ [π/2 + δ, π − δ]. Поэтому Z π 2 a2 (δ) = fδ (x) sin 2x dx = π 0 Z π2 −δ Z π−δ Z π2 +δ Z π ! 2 = x sin 2x dx + (x − 2π) sin 2x dx + fδ (x) sin 2x dx + fδ (x) sin 2x dx . π 0 π 2 −δ π 2 −δ π−δ В силу (8), имеем Z π2 +δ lim fδ (x) sin 2x dx = 0, δ→0 π 2 −δ Z π lim fδ (x) sin 2x dx = 0. δ→0 π−δ Следовательно, a2 (δ) → 3, δ → +0. (10) Соотношения (9) и (10) влекут свойство A+ 2 (n) → 3, n → ∞. Второе утверждение теоремы также доказано. Третье утверждение доказывается аналогично первому. Оценим вначале снизу коэффициент a2 поли- нома (1), используя условия (4): Z π2 ! 2 π Z Z π 2 a2 = sn (x) sin 2x dx = sn (x) sin 2x dx + sn (x) sin 2x dx > π 0 π 0 π 2 Z π2 Z π ! 2 2 π  > (x − 2)π sin 2x dx + x sin 2x dx = −π + π cos π − cos 2π = −5. π 0 π 2 π 2 Тем самым третье утверждение теоремы доказано. Доказательство четвёртого утверждения вновь начнем с построения вспомогательной функции. Обозна- чим через g нечетную 2π-периодическую функцию, определенную на (0, π) соотношениями ( x − 2π, x ∈ (0, π2 ); g(x) = x, x ∈ ( π2 , π). Эта функция удовлетворяет тем же ограничениям (5) и (6), что и построенная выше функция f . Поэтому свертка Z ∞ gδ (x) = g(t) ϕδ (t − x) dt −∞ 182 функции g с функцией Соболева ϕδ также удовлетворяет ограничениям x − 2π 6 gδ (x) 6 x, 0 6 x 6 2π. Теперь рассмотрим частичную сумму n X Sn (x) = Sn (x; gδ ) = ak (δ) sin kx k=1 ряда Фурье ∞ X ak (δ) sin kx k=1 функции gδ . По той же схеме, что и во втором пункте, обосновывается оценка Sn (x) 6 x(1 + n ), x ∈ [0, 2π], в которой n есть положительная величина со свойством n → 0, n → ∞. Полином sn = Sn /(1 + n ) принадлежит множеству Fn . Следовательно, справедливы оценки a2 (δ) > A− 2 (n) > −5. 1 + n Переходя здесь к пределу при n → +∞, заключаем, что a2 (δ) > A− 2 (n) > −5. (11) Исследуем теперь поведение коэффициента a2 (δ) при δ → +0. Запишем 2 π Z a2 (δ) = gδ (x) sin 2x dx = π 0 Z π 2  2 −δ Z π−δ = (x − 2π) sin 2x dx + x sin 2x dx+ π δ π 2 −δ Z π2 +δ Z π Z δ  + gδ (x) sin 2x dx + gδ (x) sin 2x dx + gδ (x) sin 2x dx . π 2 −δ π−δ 0 Функция gδ равномерно ограничена по параметру δ ∈ (0, π/6). Поэтому Z δ lim gδ (x) sin 2x dx = 0, δ→0 0 Z π2 +δ lim gδ (x) sin 2x dx = 0, δ→0 π 2 −δ Z π lim gδ (x) sin 2x dx = 0. δ→0 π−δ И, как следствие, a2 (δ) → −5, δ → +0. (12) Из (11) и (12) следует, что A− 3 (n) → −5, n → ∞. Итак, мы доказали последнее утверждение. Теорема доказана полностью. Благодарности Автор признателен своему научному руководителю В. В. Арестову за постановку задачи и полезные обсуждения результатов исследования. Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект 15-01-02705) и Программы повышения конкуренто- способности УрФУ (постановление № 211 Правительства РФ от 16.03.2013, контракт № 02.A03.21.0006 от 27.08.2013). 183 Список литературы [1] G. Polya, G. Szegö. Problems and Theorems in Analysis I, II. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 1998. [2] G.V. Milovanović, D.S. Mitrinovic, Th.M. Rassias. Topics in Polynomials: Extremal Problems, Inequalities, Zeros. World Scientific, Singapore, 1994. [3] L. Fejer. Uber trigonometrische Polynome. J. Angew. Math., 146:53–82, 1915. [4] E.V. Egervary, O. Szasz. Einige Extremalprobleme im Bereiche der trigonometrischen Polynome. Mathematische Zeitschrift, 27:641–652, 1928. [5] V.V. Arestov, V.P. Kondratiev. Certain extremal problem for nonnegative trigonometric polynomials. Math. Notes, 47(1):10–20, 1990. [6] Sz.Gy. Révész. A Fejér type extremal problem. Acta Math. Hungar., 57(3–4):279–283, 1991. [7] Sz. Révész. On some extremal problems of Landau. Serdica Math. J., 33(1):125–162, 2007. [8] V.V. Arestov, A.S. Mendelev. Trigonometric polynomials of least deviation from zero in measure and related problems. J. Approx. Theory, 162(10):1852–1878, 2010. [9] V.V. Arestov, P.Yu. Glazyrina. Sharp integral inequalities for fractional derivatives of trigonometric polynomials. J. Approx. Theory, 164(11):1501–1512, 2012. [10] D.O. Zykov. Coefficients of trigonometric polynomials under a one-sided constraint. Trudy Instituta matematiki i mekhaniki UrO RAN, 21(4):152–160, 2015 (in Russian). = Д.O. Зыков. Коэффициенты тригонометрических полиномов при одностороннем ограничении. Труды Ин-та мат. мех. УрО РАН, 21(4):152–160, 2015. 184 Investigation of the second coefficients of trigonometric polynomials under a one-sided constraint Dmitry O. Zykov Ural Federal University (Yekaterinburg, Russia) Keywords: trigonometric polynomials, one-sided constraints. We study the largest and the smallest values of the second coefficient of even trigonometric polynomials bounded from above by the function ϕ(x) = x on the interval [0, 2π]. A similar problem for the first coefficient was studied by the author earlier. 185