Мультистабильность и стохастическая возбудимость структурообразования в модели Брюсселятора

Abstract

В данной работе рассматривается стохастическая пространственновременная модель Брюсселятора. В детерминированном случае исследована устойчивость пространственно однородного (гомогенного) стационарного состояния, экспериментально получены возможные пространственно-временные структуры в зоне неустойчивости Тьюринга. Обнаружены зоны мультистабильности, в которых пространственно-временные структуры зависят от начальных условий. В стохастическом случае изучена степень неоднородности структуры в зависимости от интенсивности случайных возмущений. Исследована индуцированная шумом генерация структур в зоне устойчивого гомогенного состояния.

-

2

Исследование детерминированной модели Пространственно-распределенная модель Брюсселятора задается системой дифференциальных уравнений в частных производных: = a = bu (b + 1)u + u2v + Dur u

2 u2v + Dvr2v; 2.1

Анализ устойчивости стационарного гомогенного состояния Как и в случае точечных моделей, первым этапом изучения детерминированной распределенной системы является исследование устойчивости ее однородного стационарного состояния. Пространственно однородным (гомогенным) стационарным состоянием называется состояние системы, при котором значения переменных не зависят от времени и одинаковы в каждой точке пространства. В нашей системе, гомогенным стационарным состоянием является: (a; ab ). Пространственно однородное стационарное состояние является устойчивым, если малое возмущение, действующее на систему (в том числе и распределенное в пространстве), вызывает малое отклонение ее решения. Исследование устойчивости будет проводиться на основе анализа линеаризованной системы уравнений (1).

Пусть u1 и v1 – малые отклонения от пространственно однородных решений u и v, u1 = Aeptei(kxx+kyy), v1 = Beptei(kxx+kyy). Множитель ept характеризует поведение отклонения от стационарного состояния во времени. Множитель ei(kxx+kyy) характеризует отклонение величин переменных от однородного стационарного состояния в точке с координатой (x; y) для собственных функций, соответствующих волновому числу k [12]. Подставляя u = u+u1, v = v +v1 в систему (1) и линеаризуя диффузионные члены с помощью разложения Тейлора вокруг равновесия, мы получаем характеристическое уравнение для линеаризованной версии пространственной модели (Juv

pI)(u1; v1)T = 0; Juv = a11

Duk2 a21 a22 a12

Dvk2 : где где Здесь a11 = b 1, a12 = a2, a21 = b, a22 = I – единичная матрица 2 2.

Запишем дисперсионное уравнение в виде: a2, (kx; ky) – волновой вектор, k = qkx2 + ky2 – волновое число, (1) ( 2 ) tr(Juv) = tr(J ) (Du + Dv)k2; det(Juv) = k4DuDv k2(a11Dv + a22Du) + det(J ); p2 tr(Juv)p + det(Juv) = 0; J = b 1 b a2 a2 : Если для корней дисперсионного уравнения p1;2 выполняется неравенство Re p1;2 < 0, то стационарное состояние является устойчивым. Условием возникновения диффузионной неустойчивости или неустойчивости Тьюринга является устойчивость по отношению к малым однородным возмущениям (соответствующая точечная система устойчива) и неустойчивость по отношению к малым пространственно неоднородным возмущениям [12]. Условие устойчивости точечной системы: tr(J ) < 0, det(J ) > 0. Условие неустойчивости в распределенной системе tr(Juv) > 0 или det(Juv) < 0. При положительных коэффициентах диффузии выражение tr(Juv) является всегда отрицательным, в силу устойчивости равновесия в точечной системе, следовательно для возникновения неустойчивости необходимо выполнения неравенства det(Juv) < 0. Рассмотрим функцию det(Juv) в зависимости от k2. Минимум данной функции по k достигается при Из неравенств tr(J) = a11 + a22 < 0, a22 < 0 и kc2r > 0 следует что a11 > 0 и DDuv > 1. Из условия неустойчивости det(Juv) < 0 получаем неравенство Из этого неравенства вытекает явное выражение для бифуркационного значения kc2r = a22Du + a11Dv :

2DuDv b > 1 + a r Du !2

Dv

: Du? =

p Dv( b 1)2 a2 Рис. 1: а) Бифуркационная диаграмма при a = 3; Dv = 10; б) корни дисперсионного уравнения для Du = 4:5 (фиолетовая кривая), Du = 4 (красная кривая), Du = 3 (зеленая кривая) в зависимости от волнового числа k.

На рис. 1a представлена бифуркационная диаграмма, на которой изображены бифуркационные кривые Тьюринга (пунктир) и Андронова–Хопфа (сплошная кривая) при a = 3; Dv = 10. В дальнейшем анализе рассматривается сечение b = 9 (точки), при этом бифуркационное значение Du? = 4:44. На рис. 1б показаны графики функций max Re pi(k), где pi(k) – корни дисперсионного уравнения для Du = 4:5 (фиолетовая i кривая), Du = 4 (красная кривая), Du = 3 (зеленая кривая). На бифуркационной диаграмме данным значениям параметра Du соответствуют звездочки того же цвета. При Du = 4:5 график лежит ниже нуля, что указывает на устойчивость однородного стационарного состояния и, как следствие, отсутствие структурообразования. При значении Du = 4 в некотором диапазоне k значения функции становятся положительными. Данные значения волновых чисел отвечают гармоникам, не затухающим с течением времени. При уменьшении коэффициента диффузии (Du = 3), диапазон волновых чисел увеличивается, что приводит к увеличению числа незатухающих гармоник.

На процесс структурообразония большое влияние оказывает конкуренция гармоник [10]. Каждому значению волнового числа k соответствует набор мод, для которых длина волновых векторов равна k = qkx2 + ky2. Гармоники, соответствующие заданному k, с течением времени конкурируя между собой, приводят к новой пространственной структуре, зависящей от конечного числа доминирующих режимов. Распространенный способ определения доминирующей гармоники связан с изучением распространения соответствующего ей волнового фронта с помощью метода амплитудных уравнений. 2.2

Численное моделирование и структуры Тьюринга Численное моделирование системы (1) проводилось с помощью использования явной схемы: двухточечный шаблон для производной по времени и трехточечный шаблон для моделирования диффузионной компоненты. В качестве пространственной области был выбран квадрат со стороной L = 60, с пространственным шагом x = y = 1 и шагом по времени t = 0:001, для обеспечения устойчивости данной схемы в рассматриваемом диапазоне параметров.

В качестве граничного условия задается непроницаемость границ.

В качестве начальных условий использовались малые возмущения гомогенного стационарного состояния: u(x; y; 0) = u + " xy, v(x; y; 0) = v + " xy, где " = 0:01, xy; xy – пространственный гауссовский шум.

Типичный пример возможных структур (Тьюринга) представлен на рис. 2. Здесь изображены структуры типа ¾ячейки-озера¿ (Du = 4), ¾лабиринты¿ (Du = 3:1), ¾ячейки-острова¿ (Du = 2), а также переходные структуры типа ¾ячейки + полосы¿ (Du = 3:8) и ¾полосы¿ (Du = 2:58). В дальнейшем анализе будут представлены структуры только для переменной u. Рис. 2: Характерный набор структур: а) структура типа ¾ячейки-озера¿ при Du = 4; б) переходная структура типа ¾ячейки + полосы¿ (Du = 3:8); в) структура типа ¾лабиринты¿ при Du = 3:1; г) переходная структура типа ¾полосы¿ (Du = 2:58); д) структура типа ¾ячейки-острова¿ при Du = 2.

Рассмотрим, как будет меняться динамика системы, если в качестве начальных условий взять не зашумленное однородное стационарное состояние, а структуры, представленные на рис. 3. Анализ мультистабильности проводился в диапазоне значений параметра 3:8 6 Du < Du?.

При значениях параметра 4 6 Du < Du?, независимо от выбора начальных значений, решения сходятся к структурам типа ¾ячейки-озера¿. В зоне 3:8 6 Du < 4, в зависимости от выбора начальных значений, решения сходятся к различным структурам, что указывает на мультистабильность. Продемонстрируем данное явление для фиксированного значения параметра Du = 3:8. На рис. 4 представлены аттракторы, к которым сходятся решения системы, если в качестве начальных условий взять соответствующие структуры из рис. 3. На рис. 4 видно, что одновременно сосуществует несколько аттракторов – разнообразных пространственно-временных структур. В этих структурах меняются соотношения ¾ячеек¿ и ¾полос¿: в одних преобладают ¾ячейки¿ ; в других – ¾полосы¿. Мульстистабильность может сыграть важную роль в возможных феноменах, вызванных случайными возмущениями. В данной работе рассматривается влияние шума на устойчивое гомогенное стационарное состояние. (b + 1)u + u2v + Dur2u + "1 u2v + Dvr2v + "2 ; где t, t – случайные стандартные гауссовские процессы, величина "1;2 характеризует интенсивность возмущений. В данной работе " = "1 = "2.

Моделирование стохастически возмущенного решения проводилось следующим образом: к значениям Рис. 3: Структуры, принимаемые в качестве начальных условий при численном моделировании. ( 3 ) Рис. 4: Сосуществующие аттракторы системы для значения параметра Du = 3:8. 3

Индуцированные шумом структурообразования Рассмотрим пространственно-распределенную модель Брюсселятора со случайными возмущениями Рис. 5: а) Устойчивое гомогенное стационарное состояние при Du = 4:5; " = 0; б) индуцированная шумом структура типа ¾ячейки-озера¿ для Du = 4:5; " = 0:005. udet(xi; yi), vdet(xi; yi), полученным при моделировании динамики детерминированной системы, добавлялись случайные возмущения:

u(xi; yi) = udet(xi; yi) + " ij; v(xi; yi) = vdet(xi; yi) + " ij: Напомним, что у детерминированной системы в зоне устойчивого однородного стационарного состояния структурообразование не наблюдается (см. рис. 5a, Du = 4:5). В присутствии случайных возмущений при определенных значениях интенсивности возникают индуцированное шумом структурообразование. На рис. 5б изображен аттрактор стохастической системы при Du = 4:5; " = 0:005. Как видно из рис. 5б, решение системы сошлось к структуре типа ¾ячейки-озера¿. Рис. 6: а) Дисперсия решений u (фиолетовая линия) и v (синия линия) детерминированной системы (1) в момент времени t = 1000 в зависимости от Du; б) дисперсия решения стохастической системы ( 3 ) в момент времени t = 1000 для трех значений параметров Du = 4:45 (зеленая линия), Du = 4:47 (красная линия), Du = 4:5 (синяя линия) в зависимости от интенсивности шума ".

Для детального количественного описания структур использовалась дисперсия

D = n12 X(ui;j u)2; где u – гомогенное равновесие, n – количество узлов сетки в одном направлении.

На рис. 6a представлен график дисперсии D решения детерминированной системы (1) в момент времени t = 1000 в зависимости от параметра Du. В зоне устойчивого однородного стационарного состояния (Du > Du?) дисперсия равна нулю. При уменьшении параметра Du дисперсия начинает увеличиваться, из чего следует, что амплитуда колебаний в структуре типа ¾ячейки-острова¿ больше, чем амплитуда в структуре типа ¾ячейки-озера¿.

В стохастическом случае дисперсия использовалась для количественного анализа индуцированных шумом структурообразований. На рис. 6б представлены графики дисперсии в момент времени t = 1000, для трех значений параметров Du = 4:45 (зеленая линия), Du = 4:47 (красная линия), Du = 4:5 (синяя линия). При малой интенсивности случайных возмущений дисперсия близка к нулю и структурообразования не происходит. Когда интенсивность шума достигает критического значения, происходит структурообразование и, как следствие, дисперсия резко возрастает и становится D 0:4. При увеличении параметра Благодарности Список литературы

Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект №16-11-10098) системы Du, критическая интенсивность, при которой возникают индуцированные шумом структуры, увеличивается. Таким образом, критический уровень шума, порождающий структуры, зависит от близости к точке бифуркации. Чем ближе к точке бифуркации, тем меньший шум генерирует структуры. 4

Заключение В данной статье рассматривалась пространственно распределенная модель Брюсселятор. Для данной модели проведен анализ устойчивости стационарного гомогенного состояния, построена бифуркационная диаграмма и представлен обзор типичных структур. В работе исследовано явление мультистабильности. Для значений 4 6 Du < Du?, независимо от начальных значений, решение системы сходится к структуре типа ¾ячейки-озера¿. Большое разнообразие структур наблюдается в зоне Du < 4. Для значения Du = 3:8 описан спектр возможных сосуществующих пространственно распределенных структур. В работе изучено явление индуцированного шумом структурообразования в зоне устойчивого стационарного гомогенного состояния. Структурообразование происходит в достаточно узком диапазоне интенсивности шумов, где пространственная дисперсия решений резко возрастает. В работе показано, как такой скачок дисперсии может быть использован для нахождения соответствующего критического значения интенсивности шума. [1] J. Gollub, J. Langer. Pattern formation in nonequilibrium physics. Rev. Mod. Phys., 71( 2 ):s396–s403, March 1999.

Multistability and stochastic excitability of pattern formation in the Brusselator model

Ekaterina D. Ekaterinchuk, Lev B. Ryashko Ural Federal University (Yekaterinburg, Russia)

References

[2] M. Wu , G. Ahlers , D. Cannell . Thermally-induced fluctuations below the onset of Rayleigh-Benard convection . Phys. Rev. Lett. , 75 , 1743 ( 1995 ).

[3] P. B. Umbanhowar , F. Melo , H. L. Swinney . Localized excitations in a vertically vibrated layer . Nature , 382 : 793 - 796 , 1996 .

[4] A. M. Turing . The chemical basis of morphogenesis . Philos. Trans. R. Soc. Lond. B. Biol. Sci. , 237 : 37 - 72 , 1952 .

[5] P. Glansdorff , I. Prigogine . Thermodynamic Theory of Structure , Stability and Fluctuations. Wiley, New York, 1971 .

[6] А. N. Kolmogorov , I. G. Petrovskii , N. S. Piskunov . A study of the diffusion equation with increase in the amount of substance, and its application to a biological problem. Chapter in Selected Works of A .N. Kolmogorov: Volume I, editor V.M. Tikhomirov, 242 - 270 , 1991 .

[7] R. A. Fisher. The Wave of Advantageous Genes . Ann. Eugenics., 7 : 355 - 369 , 1937 .

[8] I. Prigogine , R. Lefever . Symmetry Breaking Instabilities in Dissipative Systems. J. Chem. Phys. , 48 : 1695 - 1700 , 1968 .

[9] G. Nicolis , I. Prigogine. Self-Organization in Nonequilibrium Systems . Wiley, New York, 1977 .

[10] A. de Wit . Spatial patterns and spatiotemporal dynamics in chemical systems . Advances in Chemical Physics , 109 : 435 - 513 , 1999 .

[11] B. Pena , C. Perez-Garcia . Stability of Turing patterns in the Brusselator model . Phys. Rev. E , 64 : 056213 , 2001 .

[12] G.Y. Riznichenko . Lectures on mathematical models in biology. RCD , Moscow-Izhevsk, 2010 (in Russian). = Г.Ю. Ризниченко . Лекции по математическим моделям в биологии . РХД, Москва-Ижевск , 2010 .