Рассматривается уравнение переноса с запаздыванием с пространственной переменной второго порядка. Для такого уравнения, с позиций принципа разделения конечномерной и бесконечномерной составляющих состояния, строится сеточный метод симметризованных производных. Для учета эффекта наследственности применяются одномерная и двойная кусочно-линейная интерполяции и экстраполяция продолжением. Доказывается, что рассмотренный метод имеет порядок локальной погрешности O(hx2 + hy2 + 2), где hx; hy - шаги дискретизации по пространственным переменным, - шаг дискретизации по временной переменной. Исследуются свойства двойной кусочно-линейной интерполяции. Используя результаты общей теории разностных схем, установлены условия устойчивости предложенного метода. С помощью вложения в общую схему численных методов для функциональнодифференциальных уравнений получена теорема о порядке сходимости сконструированного алгоритма. Приведен тестовый пример.
0 6 t 6 T; 0 6 x 6 X; 0 6 y 6 Y u(0; y; t) = g1(y; t); u(x; 0; t) = g2(x; t); 0 6 t 6 T; 0 6 x 6 X; 0 6 y 6 Y с граничными и начальным условиями u(x; y; s) = '(x; y; s); 0 6 x 6 X; 0 6 y 6 Y; 6 s 6 0: Здесь x, y, t – независимые переменные, u(x; y; t) – искомая функция, ut(x; y; ) = fu(x; y; t + s); 6 s < 0g – предыстория искомой функции по времени t, > 0 – величина запаздывания. Положим, что функционал f , функции g1(y; t), g2(x; t), '(x; y; s) и константа a > 0 таковы, что задача (1)–(3) имеет единственное решение. 2
Дискретизация задачи Пусть hx = X=Nx; hy = Y =Ny, введем точки xi = ihx; yk = khy; i = 0; : : : ; Nx; k = 0; : : : ; Ny. Пусть = T =M; введем следующие обозначения: tj = j ; j = K; : : : ; M: Величина = = K – положительное j число. Обозначим за ui;k приближенные значения функций u(xi; yk; tj) в узлах получившейся сетки. Для каждого фиксированного индекса i = 0; : : : ; Nx; k = 0; : : : ; Ny введем дискретную предысторию по времени tj; j = 0; : : : ; M : fuli;kgj = fuli;k; j m 6 l 6 jg:
Оператор интерполяции-экстраполяции – это оператор, введенный на наборе всех допустимых предысторий и действующий по правилу I : fuli;kgj ! vij;k( ) 2 Q[tj ; tj + ]: Здесь Q[ ; ] – это набор функций u(s), кусочно-непрерывных на [ ; ] с конечным числом точек разрыва первого рода. В точках разрыва будем считать фукнцию непрерывной справа. Определим норму Q = Q[ ; ] как аналоги методов, известных для объектов без запаздывания. Для предыстории (бесконечномерная составляющая) используется интерполяция с заданными свойствами. Этот подход позволяет эффективно конструировать новые методы и создавать соответствующее программное обеспечение.
Отметим, что ранее этот подход применялся к простейшим сеточным алгоритмам, анонсированным
в работе [
Рассмотрим уравнение переноса с запаздыванием по времени:
ku( )kQ = sm2[a;x ] ju(s)j: Будем полагать, что, во-первых, оператор интерполяции-экстраполяции липшицев, то есть существует такая константа LI ; что для всех предысторий дискретной модели fuli;kgj и fyil;kgj выполняется tj 6t6tj+ jvij;k(t) max wij;k(t)j 6 LI j mma6xl6j juli;k yil;kj; где vij;k( ) = I(fui;kgj); wij;k( ) = I(fyi;kgj):
l l Во-вторых, положим, что оператор интерполяции-экстраполяции согласован, то есть vij;k(tl) = uli;k; l = j m; : : : ; j: Будем говорить, что оператор интерполяции-экстраполяции имеет порядок p, если существуют константы C1 и C2 такие, что jvij;k(t) u(xi; yk; t)j 6 C1 maxj m6l6j juli;k u(xi; yk; tl)j + C2 p для всех i; k; j и t 2 [tj ; tj+1]:
Простейший способ интерполяции – кусочно-линейная функция. Простейший способ экстраполяции –
экстраполяция продолжением (см. [
Метод симметризованных производных Рассмотрим метод: + Будем говорить, что метод сходится, если "ij;k ! 0 при hx ! 0; hy ! 0 и k = 0; : : : ; Ny и j = 0; : : : ; M . Будем говорить, что метод сходится с порядком hpxx +!h0ypyд+ля всех i = 0; : : : ; Nx, q; если существует константа C такая, что j"ij;kj 6 C(hpxx + hypy + q) для всех i = 0; : : : ; Nx, k = 0; : : : ; Ny и j = 0; : : : ; M: Порядок сходимости метода зависит, в первую очередь, от порядка локальной погрешности или невязки. Невязка без интерполяции метода (4) – это, по определению, сеточная функция j 1 i;k = 4 +
a 4hx +
a 4hy (u(xi; yk; tj) u(xi; yk 1; tj) + u(xi 1; yk; tj)
u(xi 1; yk 1; tj) + u(xi; yk; tj 1) u(xi; yk 1; tj 1) + u(xi 1; yk; tj 1) u(xi 1; yk 1; tj 1))+ (u(xi; yk; tj) u(xi 1; yk; tj) + u(xi; yk; tj 1)
u(xi 1; yk; tj 1) + u(xi; yk 1; tj) (u(xi; yk; tj) u(xi; yk; tj 1) + u(xi 1; yk; tj)
u(xi 1; yk; tj 1) + u(xi; yk 1; tj) u(xi 1; yk 1; tj) + u(xi; yk 1; tj 1) u(xi 1; yk 1; tj 1))+ (5) u(xi; yk 1; tj 1) + u(xi 1; yk 1; tj)
u(xi 1; yk 1; tj 1)) f (xi 12 ; yk 12 ; tj 21 ; u(xi 12 ; yk 12 ; tj 12 ); utj 21 (xi 12 ; yk 21 ; )): j i;kj 6 C(hpxx + hypy + j Будем говорить, что невязка имеет порядок hpxx + hypy + p , если существует константа C такая, что p ) для всех i = 1; : : : ; Nx; k = 1; : : : ; Ny; j = 0; : : : ; M 1: 4hx 1 4 x = ahx ; y = ahy ; x > 0; y > 0; A : Ayj = (uj1;1 uj0;1; : : : ; uij;k uij 1;k; : : : ; ujNx;Ny ujNx 1;Ny ); B : Byj = (uj1;1 uj1;0; : : : ; uij;k uij;k 1; : : : ; ujNx;Ny ujNx;Ny 1); C : Cyj = (uj1;1 uj0;0; : : : ; uij;k uij 1;k 1; : : : ; ujNx;Ny ujNx 1;Ny 1), Тогда наш метод (4) в векторной форме может быть записан как Лемма 1. Если все частные производные для точного решения задачи (1) – (3) существуют и непрерывны вплоть до 3 порядка включительно, то метод (4) имеет порядок невязки без интерполяции O(h2x + h2y + 2).
Лемма 1 может быть доказана при помощи формулы Тейлора для каждого узла uij;k на сетке. Сведем схему к общей схеме, рассмотренной в [5]. Без ограничения общности, будем рассматривать нулевые граничные условия. Введем следующие обозначения: yj = (uj1;1; uj2;1; : : : ; ujNx;1; uj1;2; uj2;2; : : : ; ujNx;2; : : : ; ujNx;Ny ) 2 Y = RNxNy , 2yj
Ayj (2yj 1
Ayj 1 + yj
Byj yj 1 + Byj 1 + yj
Cyj yj 1 + Cyj 1) + (Ayj + Ayj 1
Byj + Cyj
Byj 1 + Cyj 1) + (Byj
Ayj + Cyj + Byj 1
Ayj
1 + Cyj 1) = a 4hy = Fj( ( )); BBBBBB 0...
B 1
0 0 : : : 0 : : : 1 : : : ... ... 0 : : : 0 : : : 0 : : : ... ... 0 : : :
Nx + 2 0 0 0 . . . 0 0 1 . . . 0
Nx : : : 01 : : : 0 ::: :::...... ::: 000......CCCCCCCCCCCA NNxxN++x 12 : : : 1 0 1
0 BBB ...
B B 0 B B 1 B B 0 BB@ ...
0
BBBB0 1+ x1+ y 1+ 0x1+ y 1+ 00x1+ y ::: ::: ::: 000 000 CCCC1 BB: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :CC B@:: :: :: :: :: :: :: :: :: :: :: ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: : :1: +:: :x1:+: :y: 1+ 0x1+ y AC yj+1 = Syj + ( ( )); (7) Таким образом, схема (6) может быть представлена в виде: где матрица S: 0 1 x y 1+ x+ y
0 1 x y 1+ x+ y BBBB 11+ 0xx+ yy :: :: :: 00 00 00 CCCC BB: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :CC BB@:: :: :: :: :: :: :: :: :: :: :: :: :: :: :: :: ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: : :11:+: : :xx:+: :yy: 11+ 0xx+ yy CAC 0 : : : 0 0 0 1 Пусть невязка в смысле (5) имеет порядок q + hpxx + hypy , функции Fij;k липшицевы, оператор интерполяции-экстраполяции I имеет порядок погрешности p0 на точном решении. Тогда невязка с интерполяцией в смысле общей схемы [4] имеет порядок погрешности minfp0;qg + hpxx + hypy : Определим невязку с интерполяцией как сеточную функцию dn = (zn+1 Szn)= (tn; I(zin); ); n = 0; : : : ; M 1:
Лемма 3. Пусть выполняются условия Леммы 1. Если используется двойная кусочно-линейная интерполяция с экстраполяцией продолжением, то невязка с интерполяцией в общей схеме имеет порядок O( 2 + h2x + h2y) Метод сходится с порядком p1 + hpx2 + hyp3 , если существует константа C: kzj
yjkY 6 C( p1 + hpx2 + hyp3 ) для всех j = m; : : : ; M .
Будем использовать следующий результат.
Теорема о сходимости в общей схеме [4]. Пусть метод устойчив, функция липшицева по второму аргументу, оператор интерполяции I удовлетворяет условию липшицевости, погрешность апроксимации с интерполяцией имеет порядок p1 +hpx2 +hyp3 , где p1 > 0; p2 > 0; p3 > 0, тогда метод сходится с порядком, не меньшим p1 + hpx2 + hyp3 . Таким образом, доказана следующая
Теорема. Метод (4) сходится с порядком O( 2 + h2x + h2y). 5
Пример Проверим устойчивость и сходимость на следующем примере. = (1 + )(sin x + cos y) + a t(cos x sin y) + u(x; y; t ) u(x; y; t); где x 2 [0; 2]; y 2 [0; 2]; t 2 [0; 3]; a = 1;
= 14 с начальным и граничными условиями u(x; y; t) = t(sin x + cos y); x 2 [0; 2]; y 2 [0; 2]; t 2 [ ; 0]; u(0; y; t) = t cos y; t 2 [0; 3]; y 2 [0; 2]: u(x; 0; t) = t sin x; t 2 [0; 3]; x 2 [0; 2]: Это уравнение имеет точное решение: u(x; y; t) = t(sin x + cos y).
Максимум абсолютной погрешности подсчитан для различного количества шагов по x; y и t: Nx = 5; 10; 15; :::; 100, Ny = Nx; K = T = 5; 10; 15; :::; 100. Результаты экспериментов можно видеть на рис. 2-4. Список литературы [1] J. Wu. Theory and Application of Partial Functional Differential Equations. New York: Springer-Verlag, 1996. [2] N. N. Kalitkin. Numerical methods. Second edition. Sankt-Peterburg: BHV-Pererburg, 2011 (in Russian).
= Н. Н. Калиткин. Численные методы. 2-е издание. Санкт-Петербург: БХВ-Петербург, 2011. [3] A. A. Samarsky. Theory of differencial schemes. Third edition. M.: Nauka, 1989 (in Russian). = А. А. Самарский. Теория разностных схем. 3-е издание. М.: Наука, 1989. [4] V. G. Pimenov, A. B. Lozhnikov. Differencial schemes for numerical solution of a heat equation with delay.
Trudy IMM, 17(1):178–189, 2011 (in Russian). = В. Г. Пименов, А. Б. Ложников. Разностные схемы численного решения уравнений теплопроводности с последействием. Труды ИММ, 17(1):178–189, 2011. [5] V. G. Pimenov. Differencial methods for solution of functional equations with delay. Ekaterinburg: Izdatelstvo uralskogo universiteta. 2014 (in Russian). = В. Г. Пименов. Разностные методы решения уравнений в частных производных с наследственностью. Екатеринбург: Издательство уральского университета. 2014. Рис. 2: Максимум абсолютной погрешности для рассмотренного примера для различных значений шагов (Nx = 5; :::; 100; Ny = Nx; K = 5; :::; 100) [6] S. V. Sviridov. Investigation of the scheme with symmetrized derivatives for numerical solution of an advection equation with delay. Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya: Estestvennie i tehnicheskie nauki, 20(5):1420 1421, 2015 (in Russian). = С. В. Свиридов. Исследование схемы с симметризованными производными для численного решения уравнения переноса с запаздыванием. Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки, 20(5):1420 1421, 2015. Рис. 3: Максимум абсолютной погрешности для рассмотренного примера для различных значений шагов (Nx = 15; :::; 100; Ny = Nx; K = 15; :::; 100)
Investigation of the scheme of symmetrized derivatives for numerical solution of an advection equation with delay and 2-dimensional spatial variable
Sergey V. Sviridov Ural Federal University (Yekaterinburg, Russia) Keywords: advection equation, delay, grid schemes, interpolation, extrapolation, stability, convergence order.
We consider an equation in partial derivatives of the second order by space variable with delay. For such equation, based on the principle of separation of finite-dimensional and infinite-dimensional parts of state, we construct a grid method with symmetrized derivative. The piecewise linear two-dimensional and double interpolation and extrapolation by continuation are applied to the accounting of effect of heredity. It is proved that the considered method has order of a local error O(hx2 + hy2 + 2), where hx; hy are steps of discretization of the space variables, is a step of discretization of the time variable. Properties of double piecewise linear interpolation, conditions of stability and convergence are investigated by using the general theory of differential schemes. A test example is given.