Построен численный метод для решения уравнения гиперболического типа с запаздыванием во второй производной по пространственной переменной и функциональным запаздыванием в неоднородности. Исследован порядок локальной погрешности метода. Получена теорема о порядке сходимости алгоритма с помощью вложения в общую схему численных методов для функциональнодифференциальных уравнений. Приводятся результаты расчетов для тестового примера.
) + f (x; t; u(x; t); ut(x; )) : t 2 [t0; T ]; x 2 [0; X] (1)
Численный метод Разобьем отрезок [0; X] на части с шагом h = X=N , где N некоторое целое число. Введем точки xi = ih; i = 0; 1 : : : ; N . Разобьем отрезок [t0; T ] на части с шагом . Будем считать, что m = = – целое число.
Введем точки tj = t0 + j , j = m; : : : ; M . Будем обозначать приближение точного решения u(xi; tj) i через uj. Введем дискретную предысторию к моменту tj при каждом фиксированном i: Оператором интерполяции-экстраполяции дискретной предыстории назовем отображение: fulgj = fuli : j i
m 6 l 6 jg:
I : fuligj ! vji( ) 2 Q[ ; ]: Будем говорить, что оператор интерполяции-экстраполяции имеет порядок погрешности p на точном решении, если существуют константы C1 и C2, такие, что для всех i = 0; : : : ; N; j = 0; : : : ; M и t 2 [tj ; tj+1] выполняется неравенство jvji(t tj) u(xi; t)j 6 C1 max ui j m6l6j j l u(xl; ti)j + C2 p: Например, кусочно-линейная интерполяция vji( ) = 1 ((tl tj )uli 1 + (tj + tl 1)uli); tl 1 6 tj + 6 tl; Будем говорить, что невязка имеет порядок hp1 + p2 , если существует такая константа C, что j ji j 6 C(hp1 + p2 ) для всех i = 1; : : : N 1, j = 0; : : : M 1: Рассмотрим метод (3), в которых функционал Fji определяется следующим образом: Fji(vji ( )) = f (tj; xi; uij; vbji ( )); (5) где vji ( ) 2 Q[ ; 0); vbji ( ) = vji ( ); b 6 ji = u(xi; tj+1) 2u(xi2; tj) + u(xi; tj 1) a2 u(xi 1; tj) 2u(xi; tj) + u(xi+1; tj) h2 f (tj; xi; u(xi; tj); utj (xi; )): Разложим функцию u(x; t) по формуле Тейлора в окрестности точек (xi; tj); (xi; tj m). Так как существуют и непрерывны все частные производные вплоть до 4-го порядка, получаем следующие равенства для значений функции в точках: u(xi; tj 1) = u(xi; tj)
u(xi 1; tj) = u(xi; tj) u(xi 1; tj m) = u(xi; tj m) Подставив эти соотношения в формулу для ji , получим: В силу уравнения (1)
ji = O( 2 + h2): 3
Исследование сходимости Обозначим величину погрешности метода в узлах через "ij = u(xi; tj) uij: Будем говорить, что метод снхеордаивтеснястсвопоjр"ijяjд6коCм(hhpp ++ qq,)едслляи всусещхеiст=ву0е;т: :т:а;кNая; jко=нс0т;а:н: т:аMC:, не зависящая от ; h, что выполняется Будем исследовать сходимость полученной схемы (3), используя общую дискретную схему с эффектом наследственности [5, 6, 7, 8].
Будем рассматривать задачи с однородными краевыми условиями:
u(0; t) = u(X; t) = 0; t0 6 t 6 T: 0 При каждом tj определим значения дискретной модели вектором ej = (uj0; uj1; uj2; : : : ujN 1; ujN )0 2 e, где знак транспонирования, e векторное пространство размерности N + 1 со скалярным произведением:
N 1 (e; !e) = X ei!eih; i=1 e = (e0; e1; : : : eN )0 2 e; !e = (!e0; !e1; : : : !eN )0 2 e: (6) Оператор A самосопряженный и положительный [9] в смысле скалярного произведения (6). Перепишем систему (1) в виде: ej+1
2e2j + ej 1 + Aej + c2Aej m = Fj(v( )); где Fj(v( )) = (Fj0(vj0( )); Fj1(vj1( )); : : : ; FjN 1(vjN 1( )); FjN (vjN ( )))0; v( ) = I(fekgj) 2 QN+1[ ; ]; QN+1[ ; ] пространство вектор-функций, каждая компонента которых принадлежит Q[ ; ]. Приведем уравнение (9) к явной форме ej+1 = (2E
A)ej ej 1 c2Aeej m + 2Fj(v( )): В пространстве e введем норму: Заметим, что норма оператора Ae (8), в отличие от нормы оператора A (7), не зависит от h и , а лишь от = a2 2=h2:
Введем вектор j = ( j0; j1; : : : ; jm+1)0 = (ej m; ej m+1; : : : ; ej)0 2 , где векторное пространство размерности q = (m + 1)(N + 1). Введем норму в пространстве e: kenke = p(Aen; en):
m k k2 = X k kk2 :
e k=0 j+1 = S j + (tj; I(f kgj); ); (8) (9) (10) (11) (12) (13) В пространстве e введем операторы A и Ae: A j = !j; !j = (!ej0; !ej1; : : : !ejN )0; !ji = 0 0 1 0 : : : 0 0 1 0 0 0 1 : : : 0 0 C ... ... ... ... ... CCC, (tj; I(f kgj); ) = BBB 0 0 0 : : : 0 1 CA @ c2Ae 0 0 : : : 1 2E Ae Определим функцию точных значений для схемы (13) соотношениями 0 . . .
0 Fj(I(fekgj))= 1 C C : C A zj = (zj0; zj1; : : : zjm+1)0 = (zej m; zej m+1; : : : ; zej)0; zej = (u(x0; tj); u(x1; tj); : : : ; u(xN 1; tj); u(xN ; tj))0: Стартовые значения модели (13) можно определить следующим образом: j = zj = (zej m; zej m+1; : : : ; zej)0; zej = ('(x0; tj); '(x1; tj); : : : ; '(xN ; tj))0; j = m; : : : ; 0: Будем говорить, что стартовые значения модели имеют порядок не зависящая от zj; yj; ; h, такая, что p1 + hp2 , если найдется константа C, kzj yjkY 6 C( p1 + hp2 ); j = m; : : : ; 0: Погрешность аппроксимация (невязка) с интерполяцией в общей разностной схеме [5, 6, 7, 8] определяется следующим образом: dn = (zn+1
Szn)= (tn; I(fzign m); ); n = 0; : : : ; M 1:
(14) Будем говорить, что метод имеет порядок погрешности аппроксимации с интерполяцией существует константа C, не зависящая от dn; ; h, такая, что Данное определение невязки отличается от введенного ранее определения невязки без интерполяции (4). Однако справедливо следующее утверждение. Теорема 2. Пусть невязка в смысле (4) имеет порядок p1 + hp2 , функции Fji липшицевы, оператор интерполяции-экстраполяции I имеет порядок погрешности p0 на точном решении, зафиксировано, тогда невязка с интерполяцией в смысле (14) имеет порядок, равный minfp0;p1g + hp2 . Доказательство. По определению нормы в
(12): Для k = 0; : : : ; m
1 выполнено Рассмотрим kdnmke.
m kdnk2 = X kdknk2e:
k=0 kdknk2e = k(znk+1 znk+1)= k2 = e zn m+k+1 e zn m+k+1 e 2 e = 0: Отсюда по определению оператора A (7) и нормы (11) kdnmk2e = (znm+1 + c2Azn0 + znm 1 (2
A)znm)= (F n(I(fzk2gn))) 2 = e = zen+1 + zen 1
2zen + 1 = 2 zen+1 (Aezen + c2Aezen m) (F n(I(fzekgn))) e 2 2zn + zen 1 + (Azn + c2Azn m) (F n(I(fzekgn)) : e2 e e e zen+1 2zn + zen 1 e2 + 1 2 (Aezen + c2Aezen m)
F n(I(fzekgn)) 2
= 2 e 6 i=1 6 1 2 kAeke
N 1 u(xi; tn+1) 2u(xi; tn) + u(xi; tn 1) X 2 a 2 u(xi+1; tn) 2u(xi; tn) + u(xi 1; tn) h2 c2a2 u(xi+1; tn m) 2u(xi; tn m) + u(xi 1; tn m) h2
2 Fni (I(fuikgn)) h: Оценим каждое слагаемое под знаком суммы в (15), используя предположения теоремы: u(xi; tn+1) 2u(xi; tn) + u(xi; tn 1) 2 a 2 u(xi+1; tn) 2u(xi; tn) + u(xi 1; tn)
h2 c2a2 u(xi+1; tn m) 2u(xi; tn m) + u(xi 1; tn m) h2
Fni (utn (xi; )) 6 6 j nij + jFni (utn (xi; ))
Fni (I(fuikgn))j 6 2 1 2 kAeke
N 1 X (C1( p1 + hp2 ) + LF C2 p0 )2h = kAeke(N i=1 1)(C1( p1 + hp2 ) + LF C2
p0 )2h 6 где C3 = kAekeX (C1 + LF C2); C4 = То есть справедлива оценка q kAekeX C1. kdnk 6 C3
minfp1;p0g + C4hp2 : kSk 2a2c2 e
et sin x p3e t sin x + u(x; t (t)); 0 6 t 6 3; 0 6 x 6 1 (17) при (t) = 4t=3; a = 1; c = 0:5 с начальными: и граничными условиями: u(x; t) = et sin x;
1 6 t 6 0; 0 6 x 6 1 u(0; t) = 0; u(1; t) = 0; 0 6 t 6 3: Уравнение имеет точное решение u(x; t) = et sin x.
На рис. 1 приведено приближенное решение этого уравнения методом (3), для которого Fji определяется соотношением (5), с кусочно-линейной интерполяцией (2) c числом точек разбиения по x, равным 15, по t – равным 60, на рис. 2 и 3 – разница между точным и приближенным решением.
Рассмотренный показывает, что при увеличении количества шагов погрешность метода уменьшается. Это подтвержает выводы теоремы 3 и следствия из нее. Благодарности
Исследования поддержаны Программой повышения конкурентоспособности ведущих университетов РФ (соглашение 02.А03.21.0006 от 27 августа 2013 г.) и проектом РНФ №14-35-00005. 0.02
0 -0.02 -0.04 -0.06 Time t 1 0.5 Distance x 1 Рис. 2: Разница между точным и приближенным решением при N = 15; M = 60 Список литературы [1] L. Luo, Y. Wang. Oscillation for nonlinear hyperbolic equations with influence of impulse and delay. Int.
J. Nonlinear Science, 14(1):60–64, 2012. [2] P. Garcia, M.A. Castro, J.A. Martin, A. Sirvent. Numerical solutions of diffusion mathematical models with delay. Mathematical and Computer Modelling, 50(5-6):860–868, 2009. [3] V.G. Pimenov. Numerical method for modeling controlled advection equation with delay in derivative with respect to time. Proceedings of international conference ¾System dynamics and control processes¿. Yekaterinburg: IMM UrO RAN. 2015, 272-278 (in Russian). = В.Г. Пименов. Численный метод моделирования управляемого уравнения переноса с запаздыванием в производной по времени. Труды международной конференции ¾Динамика систем и процессы управления (SDCP’14)¿. Екатеринбург: ИММ УрО РАН. 2015, 272-278. [4] V.G. Pimenov, E.E. Tashirova. Numerical methods for solving a hereditary equation of hyperbolic type.
Proc. Steklov Inst. Math. (Suppl.), 281(suppl. 1):126 136, 2013. [5] A.V. Kim, V.G. Pimenov. i-Smooth Analysis and Numerical Methods for Solving Functional Differential Equations. Regulyarn. Khaotichesk. Dinamika, Izhevsk, 2004 (in Russian). = А.В. Ким, В. Г. Пименов iГладкий анализ и численные методы решения функционально-дифференциальных уравнений. Ижевск: НИЦ Регулярная и хаотическая динамика, 2004. -10 -15 -20 3 2 0.5 Distance x 1 [6] V.G. Pimenov. General Linear Methods for the Numerical Solution of Functional-Differential Equations.
Differential Equations, 37(1):116–127, 2001. [7] V.G. Pimenov. Difference methods of solving partial differential equations with delay. Yekaterinburg: UrFU, 2014 (in Russian). = В.Г Пименов. Разностные методы решения уравнений в частных производных с наследственностью. Екатеринбург: УрФУ, 2014. [8] V.G. Pimenov, A. B. Lozhnikov Difference schemes for the numerical solution of the heat conduction equation with aftereffect. Proc. Steklov Inst. Math. (Suppl.), 275(suppl. 1):137 148, 2011. [9] A.A. Samarskii. The Theory of Difference Schemes. Nauka, Moscow, 1977; Marcel Dekker, New York, 2001. Grid schemes for solving hyperbolic equation with delay in derivative Ekaterina E. Tashirova Ural Federal University (Yekaterinburg, Russia) Keywords: numerical methods, hyperbolic equation, time delay, order of convergence.
A numerical method is constructed for solving equations of hyperbolic type with time delay in the second derivative with respect to space variable and functional delay in nonhomogeneity. The local error order of the algorithm is investigated. A theorem on the order of convergence of the algorithm is obtained by means of embedding it into a general scheme of difference methods for functional differential equations. Results of calculating a test example are presented.