Численные методы для дробного уравнения диффузии с наследственностью

Abstract

В работе рассматривается методика построения разностных схем для уравнений в частных производных дробного порядка с эффектом запаздывания по времени. Для уравнения диффузии с двусторонней дробной производной по пространству и функциональным последействием по времени сконструирован неявный численный метод и получен порядок его сходимости. Метод является аналогом схемы Кранка-Никольсон, также в нем используются интерполяция и экстраполяция предыстории модели по времени. Теоретические результаты сопровождаются вычислительным примером.

-

2

Постановка задачи Рассмотрим начально-граничную задачу с функциональным запаздыванием для уравнения диффузии дробного порядка 1 < 6 2 : ( 1 ) где x 2 [0; X]; t 2 [t0; T ]; c+(x) > 0; c (x) > 0; ut(x; ) = fu(x; t + s);

> 0 величина запаздывания, с начальными условиями 6 s < 0g предыстория функции, и с граничными условиями Левосторонняя и правосторонняя производные определены в смысле Римана–Лиувилля u(x; t) = '(x; t); x 2 [0; X]; t 2 [t0 Будем предполагать, что функции '(x; t); c+(x); c (x) и функционал f таковы, что эта задача имеет единственное решение u(x; t). Кроме того, будем предполагать, что функционал f (x; t; u; v( )); определенный на [0; X] [t0; T ] R Q; липшицев по двум последним аргументам. Здесь через Q = Q[ ; 0) обозначено пространство функций u( ), кусочно-непрерывных на [ ; 0) с конечным числом точек разрыва первого рода, в точках разрыва непрерывных справа, определим в Q норму функций соотношением k u( ) kQ= sups2[ ;0) ju(s)j: 3

Дискретизация задачи Пусть h = X=N; = (T t0)=M; где N; M положительные целые числа (предполагаем без ограничения общности, что = = m положительное целое), введем xi = ih; i = 0; : : : ; N; и tj = t0 + j ; j = 0; : : : ; M: Обозначим через uij приближения значений функции u(xi; tj) в узлах.

Для каждого фиксированного i = 0; : : : ; N введем дискретную предысторию к моменту времени tj; j = 0; : : : ; M : fuikgj = fuik; j m 6 k 6 jg: Отображение I : fuikgj ! vi(t); t 2 [tj ; tj + =2] будем называть оператором интерполяции-экстраполяции дискретной предыстории. Мы будем использовать кусочно-линейную интерполяцию с экстраполяцией продолжением

8 1 (uli(t tl 1) + uli 1(tl t)); tl 1 6 t 6 tl; 1 6 l 6 j; vi(t) = < 1 (uij(t tj 1) + uij 1(tj t)); tj 6 t 6 tj + =2;

: '(xi; t); t0 6 t 6 t0: Мы будем использовать приближения, основанные на определении Летникова–Грюнвальда сдвинутых левосторонней и правосторонней производных, соответственно,

1 N+ = lim X g ;ku(x (k 1) x);

N+!1 ( x+) k=0

1 N = lim X g ;ku(x + (k + 1) x);

N !1 ( x ) k=0 где N+; N положительные целые числа, x+ = (x)=N+; x = (X x)=N и нормализованные веса Грюнвальда определяются соотношениями g ;0 = 1; g ;k = ( 1 )k ( 1 )::k:(! k+1) для k = 1; 2; 3; ::: : При использовании полученных на основе этих определений сдвинутых формул численного дифференцирования для дробных производный, а также используя обычную аппроксимацию производной по времени, с использованием интерполяции и экстраполяции дискретной предыстории, дискретизация уравнения ( 1 ) в узлах (xi; tj+1=2) дает аналог метода Кранка–Никольсон:

i uj+1 uij = 1 h

i+1 ci+ X g ;suij+s1+=21 + ci s=0

s=0 N i+1

X g ;suij++s1=21 + fji+ 21 ; 2 2 ci+ = c+(xi); ci = c (xi); uij+1=2 = 21 (uij + uj+1);

i с соответствующими начальными и граничными условиями ui0 = '(xi; t0); i = 0; : : : ; N; vji (t) = '(xi; t); t < t0; i = 0; : : : ; N; uj0 = 0; ujN = 0; j = 0; : : : ; M: fji+ 12 = f (xi; tj + ; vi(tj +

); vtij+ 2 ( )); i = 1; : : : ; N Обозначим

s=0 тогда ( 2 ) можем переписать в следующем виде +;xuij := ci+ Xi+1 g ;suij s+1; h ;xuij :=

s=0 ci NXi+1 g ;suij+s 1; h i uj+1 uij = 1 2 +;xuij + +;xuij+1 + ;xuij + ;xuj+1 + fji+ 21 : i 1; j = 0; : : : ; M 1; ( 2 ) ( 3 ) Если = 2; c(x) = c+(x) + c (x); мы получаем схему Кранка–Никольсон для уравнения теплопроводности с переменными коэффициентами и с функциональным запаздыванием, так как 2;xuij = +;xuij + ;xuij = ui 1 j 2uij + uij+1 h2 : 4

Исследование локальной погрешности Обозначим через "ij = u(xi; tj) uij погрешность метода в узлах. Будем говорить, что метод сходится с порядком hp + q; если существует постоянная C; не зависящая от h и ; такая, что j"ijj 6 C(hp + q) для всех i = 0; 1; : : : ; N и j = 0; 1; : : : ; M: Для нахождения порядка сходимости исследуем порядок локальной погрешности (невязки).

Невязкой (без интерполяции) метода ( 3 ) назовем выражение ji = u(xi; tj+1) u(xi; tj+1) 1 ^+;xu(xi; tj) + ^+;xu(xi; tj+1)+ 2 +^ ;xu(xi; tj) + ^ ;xu(xi; tj+1) f^ji+ 12 ; ^+;xu(xi; tj) = ci i+1 + X g ;su(xi s+1; tj); h s=0 ^ ;xu(xi; tj) =

s=0 hci NXi+1 g ;su(xi+s 1; tj); f^ji+ 12 = f (xi; tj+ 21 ; u(xi; tj+ 21 ); utj+ 12 (xi; )): Для каждого фиксированного i = 0; : : : ; N введем дискретную предысторию точного решения в точках разбиения по времени tj; j = 0; : : : ; M : fu(xi; tk)gj = fu(xi; tk); j m 6 k 6 jg: Мы будем использовать 8 1 (u(xi; tl)(t tl 1) + u(xi; tl 1)(tl t)); wi(t) = < 1 (u(xi; tj)(t tj 1) + u(xi; tj 1)(tj t)); : '(xi; t); tl 1 6 t 6 tl; 1 6 l 6 j; tj 6 t 6 tj + =2; t0 6 t 6 t0: ji = u(xi; tj+1) u(xi; tj+1)

+^;xu(xi; tj) + +^;xu(xi; tj+1) + ^;xu(xi; tj)+ + ^;xu(xi; tj+1)

fji+ 12 ; fji+ 21 = f xi; tj+ 12 ; wi tj + 2 ; wtij+ 2 ( ) Лемма 1. Пусть в своих областях определения точное решение задачи u(x; t) дважды непрерывно дифференцируемо по t и четырежды непрерывно дифференцируемо по x, а также дробные производные @ u и @ u(x;t) дважды непрерывно дифференцируемы по x. Тогда невязка (без интерполяции) метода @+x @ x имеет порядок 2 + h.

Доказательство проводится с помощью тейлоровского разложения невязки в окрестности точки (xiЛ;tjе+м12м).а 2. Пусть выполняются условия леммы 1, тогда невязка метода с кусочно-линейной интерполяцией и экстраполяцией продолжением имеет порядок 2 + h.

Результат следует из предыдущей леммы с учетом того, что оператор кусочно-линейной интерполяции с экстраполяцией продолжением имеет второй порядок [19, 22], 5 Сведение к общей разностной схеме с наследственностью Перепишем метод ( 3 ) в виде 1 2 ( +;x + ;x) uj+1 = 1 + 2 i ( +;x + ;x) uij + fji+ 12 : Для того чтобы свести метод к общей схеме [19, 25], введем вектора yj = (uj1; uj2; ; ujN 1) 2 Y; k yj kY = max16i6N 1 juijj: Тогда метод ( 4 ) может быть переписан в виде S = (E + A) 1(E A); (tj; I(fykgj)) = (E + A) 1Fj+ 12 ; I экстраполяцией продолжением.

Лемма 4. [10]. Если 1 < модулю меньше единицы.

Из этой леммы следует, что найдется такая константа S^, что оператор кусочно-линейной интерполяции с < 2; то все собственные значения матрицы S = (E + A) 1(E A) по где элементы матрицы A размера (N 1) (N

1) имеют вид E

i единичная матрица, i = c2+h ;

i i = c2h ; Fj+ 21 = (fj1+ 21 ; fj2+ 21 ; ; fjN+ 211): Лемма 3. [10]. Матрица E + A обратима. Так как матрица E + A обратима, уравнение ( 5 ) может быть переписано в виде ( 4 ) ( 5 ) ( 6 ) ( 7 ) для всех натуральных n: Это означает, что метод ( 6 ) устойчив.

Теорема сходимости. При условиях леммы 1 (достаточная гладкость решения) и леммы 4 (1 < < 2) метод ( 3 ) с кусочно-линейной интерполяцией и экстраполяцией продолжением сходится с порядком 2 + h. Теорема вытекает из вложения в общую схему [19, 25] с учетом утверждений лемм 2 и 4. (E + A)yj+1 = (E

A)yj + Fj+ 21 ; 8 > > > > Aij = < > > > > : ( i + i)g ;1 ( ig ;2 + ig ;0) ( ig ;0 + ig ;2) ig ;i j+1 ig ;j i+1 j = i; j = i 1; j = i + 1; j < i 1; j > i + 1; yj+1 = Syj +

(tj; I(fykgj)); kSnk 6 S^

h = (x 1=2) + (3=2

x) 1=2)4(3=2 x)4 + 3(6( 6 )) (x 1=2)5(3=2

x)5 Список литературы [26] V. G. Pimenov, A. S. Hendy. Numerical methods for the equation with fractional derivative on state and with functional delay on time. Bulletin of the Tambov university. Series: Natural and technical science. 20( 5 ): 1358–1361, 2015. Numerical methods for the fractional diffusion equation with heredity Vladimir G. Pimenov1;2, Ahmed S. Hendy1;3 1 – Ural Federal University (Yekaterinburg, Russia) 2 – Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics (Yekaterinburg, Russia) 3 – Banha University (Egypt)

In this paper, we consider the technique of creation of differential schemes for the equations in partial derivatives of a fractional order with effect of delay on time. For the two sided space fractional diffusion equation with the time functional after-effect, an implicit numerical method is constructed and the order of its convergence is obtained. The method is a fractional analogue of the Crank–Nicholson method. It also uses interpolation and extrapolation of the prehistory of model with respect to time. Numerical experiments are carried out to support the obtained theoretical results.

References

[1] S. G. Samko , A. A. Kilbas , O. I. Marichev. Fractional Integrals and Derivatives: Theory and Applications . Boca Raton: CRC Press, 1993 .

[2] K. Miller , B. Ross . An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations . New York: Wiley, 1993 .

[3] I. Podlubny . Fractional differential equations . San Diego: Acad. Press, 1999 .

[4] A. V. Pskhu . The equations in partial derivatives of a fractional order . Moscow: Nauka, 2005 (in Russian). = А. В. Псху . Уравнения в частных производных дробного порядка . Москва: Наука , 2005 .

[5] K. Diethelm . The Analysis of Fractional differential equations . Berlin: Springer, 2010 .

[6] A. M. Nakhushev . Equations of mathematical biology . Moscow: Vysshaya shkola, 1995 (in Russian). = А. М. Нахушев . Уравнения математической биологии . Москва: Высшая школа , 1995 .

[7] V. V. Vasilyev , Л. A. Simak . Fractional calculation and approximating methods in modeling of dynamic system . Kiev: NAN of Ukraine , 2008 (in Russian). = В. В. Васильев , Л. А. Симак. Дробное исчисление и аппроксимационные методы в моделировании динамических систем . Киев: НАН Украины , 2008 .

[8] V. E. Tarasov . Fractional dinamics: Applicaions of Fractional Calculus to dinamics of Particles, Fields and Media . Berlin: Springer, 2010 .

[9] C. Tadjeran , M. M. Meerschaert , H. P. Scheffler . A second-order accurate numerical approximation for the fractional diffusion equation . Journal of Computational Physics . 213 : 205 - 214 , 2006 .

[10] M. M. Meerschaert , C. Tadjeran . Finite difference approximations for two sided space fractional partial differential equations . Applied numerical mathematics. 65 : 80 - 90 , 2006 .

[11] F. Liu , M. M. Meerschaert . Numerical methods for solving the multy-term time-fractional wave diffusion equation . Fractional Calculus and Applied Analysis . 16 ( 1 ): 9 - 25 , 2013 .

[12] A. Alikhanov . A new difference for the time-fractional diffusion equation . Journal of Computational Physics . 280 : 424 - 438 , 2015 .

[13] F. Liu , P. Zhuang , I. Turner , V. Anh , K. Burrage . A semi-alternating direction method fora 2-D fractional FitsHugh-Nagumo monodomain model on an approximate irregular domain . Journal of Computational Physics . 293 : 252 - 263 , 2015 .

[14] J. Wu . Theory and Applications of Partial Functional Differential Equations . New York: Springer-Verlag, 1996 .

[15] B. Zhang , Y. Zhou . Qualitative Analysis of Delay Partial Difference Equations . Vol. 4 . New York: Hindawi Publishing Corporation, 2007 .

[16] B. Zubik-Kowal . The method of lines for parabolic differential-functional equations . IMA J. Numer. Anal . 17 : 103 - 123 , 1997 .

[17] K. Kropielnicka . Convergence of Implicit Difference Methods for Parabolic Functional Differential Equations . Int. Journal of Mat. Analysis . 1 ( 6 ): 257 - 277 , 2007 .

[18] P. Garcia , M. A. Castro , J. A. Martin , A. Sirvent . Covergence of two implicit numerical schemes for diffusion mathematical models with delay . Mathematical and Computer Modelling . 52 : 1279 - 1287 , 2010 .

[19] V. G. Pimenov , A. B. Lozhnikov . Difference Schemes for the Numerical Solution of the Heat Conduction Equation with Aftereffect . Proc. Steklov Inst. Math. 275(S. 1) : 137 - 148 , 2011 .

[20] A. A. Samarskii . The Theory of Difference Schemes . New York: Marcel Dekker, 2001 .

[21] V. G. Pimenov . General Linear Methods for Numerical Solving Functional Differential Equations . Differential Equations . 37 ( 1 ): 105 - 114 , 2001 .

[22] A. V. Kim , V. G. Pimenov. i -Smooth Analysis and Numerical Methods for Solving Functional Differential Equations . Moscow-Izhevsk: Regulyarn. Khaotichesk. Dinamika, 2004 (in Russian). = А. В. Ким , В. Г. Пименов. i-Гладкий анализ и численные методы решения функционально-дифференциальных уравнений . Москва-Ижевск: РХД , 2004 .

[23] V. G. Pimenov , E. E. Tashirova . Numerical methods for solving a hereditary equation of hyperbolic type . Proc. Steklov Inst. Math. 281(S. 1) : 126 - 136 , 2013 .

[24] V. G. Pimenov , A. V. Lekomtsev . Convergence of the Alternating Direction Methods for the Numerical Solution of a Heat Conduction Equation with Delay . Proc. Steklov Inst. Math. 272(S. 1) : 101 - 118 , 2011 .

[25] V. G. Pimenov . Difference methods for the solution of the equations in partial derivatives with heredity . Ekaterinburg: UrFU , 2014 (in Russian). = В. Г. Пименов . Разностные методы решения уравнений в частных производных с наследственностью . Екатеринбург: УрФУ , 2014 .