Об одном свойстве плотности в пространствах слабо абсолютно непрерывных мер А.П. Бакланов baklanov@iiasa.ac.at Международный институт прикладного системного анализа (Лаксенберг, Австрия) ИММ УрО РАН (Екатеринбург) УрФУ (Екатеринбург) Аннотация Показана возможность погружения некоторых множеств ступен- чатых функций и множеств равномерных пределов упомянутых функций в компактные в ∗-слабой топологии подмножества мно- жества всех ограниченных конечно-аддитивных (к.-а.) мер в ви- де всюду плотного множества; измеримая структура определяется алгеброй множеств. В частности, рассматривается множество всех ступенчатых функций, интеграл модуля которых по неотрицатель- ной к.-а. мере λ равен единице. Для таких множеств установлена возможность упомянутого погружения в случаях, когда λ являет- ся неатомической мерой или мерой с конечным множеством значе- ний. В случае с неатомической мерой λ показано, что упомянутые множества функций допускают погружение в единичный шар (в сильной норме-вариации) пространства слабо абсолютно непрерыв- ных к.-а. мер относительно λ в виде всюду плотного множества. В случае меры λ с конечным множеством значений такие множества функций допускают погружение в единичную сферу пространства слабо абсолютно непрерывных к.-а. мер относительно λ в виде всю- ду плотного множества. В этом случае упомянутая сфера являет- ся замкнутой в ∗-слабой топологии. Полученный результат может иметь интерпретацию с точки зрения одной конструкции расшире- ния линейных задач управления в классе к.-а. мер. 1 Введение В прикладных задачах управления распространенными являются различные ограничения на расход топлива, а управления полагаются кусочно-постоянными (к.-п.) или кусочно-непрерывными (к.-н.), что от- вечает их физической реализуемости. При подходящей измеримой структуре такие управления естественно отождествлять со ступенчатыми и ярусными функциями (равномерные пределы ступенчатых функций), а топливные ограничения идеализированно задавать в виде неравенства на интеграл от функции. Пусть λ — неотрицательная конечно-аддитивная мера. Тогда, например, можно положить, что допустимыми яв- ляются к.-п. или к.-н. управления f , которые на заданном промежутке времени E удовлетворяют одному Copyright c by the paper’s authors. Copying permitted for private and academic purposes. In: A.A. Makhnev, S.F. Pravdin (eds.): Proceedings of the 47th International Youth School-conference “Modern Problems in Mathematics and its Applications”, Yekaterinburg, Russia, 02-Feb-2016, published at http://ceur-ws.org 62 из условий: Z f dλ = 1, где f — неотрицательная функция; (1) E Z f dλ 6 1, где f — неотрицательная функция; (2) E Z |f | dλ 6 1; (3) E Z |f | dλ = 1. (4) E Условие (1) может отвечать требованию на полный расход топлива управляемым объектом с нереверси- руемым двигателем, условие (2) ослабляет это требование, определяя лишь запас топлива. Условия (3) и (4) задают ограничение на доступное количество топлива и требование на его полный расход в случае управляемого объекта с реверсируемым двигателем. Отметим также, что условие (1) естественным образом появляется в задачах, связанных с использованием плотностей вероятностей (см., например, [1]). Известно, что во многих задачах при использовании «обычных управлений» оптимальный результат не достигается, а область достижимости не является замкнутым множеством. Это мотивирует расширение класса «обычных управлений» до обобщенных управлений. Впервые расширение линейных задач управ- ления с импульсным ограничением было предложено Н.Н. Красовским [2]. Для задач с геометрическими ограничениями были предложены конструкции расширения в классе мерозначных функций [3,4] и в классе стратегических мер [5]. В линейных задачах с импульсным ограничением и разрывным коэффициентом при управляющем воздействии свою эффективность доказало расширение в классе конечно-аддитивных (к.-а.) мер [6–8]. Для последнего класса задач процедура расширения заключается в погружении множеств допустимых управлений (1)–(4) в компактные в *-слабой топологии подмножества множества всех к.-а. мер ограниченной вариации в виде всюду плотного множества. Отметим, что в работах [6, 7], [8, (15.37), (15.41), Proposition 15.3] для ограничений (1)–(3) были указаны компакты, дающие возможность такого погружения. Мы же изучаем возможность упомянутого погружения для множества всех управлений, удо- влетворяющих (4). Исследование данного вопроса было начато автором в работе [9], где мера λ полагалась неатомической. На примере было показано, что важную роль играет факт наличия атомов у упомянутой «базовой» меры λ; при ограничениях (1)–(3) это не имело значения при компактификации. В этой связи в данной работе исследуется «полярный» случай: случай меры с конечным множеством значений. Мы так- же намечаем путь для интерпретации работы с точки зрения одной известной конструкции расширения линейных задач управления в классе к.-а. мер (см. теорему 2). Один из основных результатов работы, теорема 2, указывает на то, что во многих линейных задачах с импульсными управлениями и разрывными коэффициентами при управляющем воздействии мы можем не различать ограничения (3) и (4) при исследовании асимптотических аналогов областей достижимости (множеств притяжения, см. [6–8]) и асимптотики значений максиминов (в русле работ [10–12]). То есть имеется эквивалентность по результату в случаях различных множеств программных управлений (отвеча- ющих (3), (4)). Упомянутая эквивалентность обусловлена совпадением множеств обобщенных управлений для различных множеств «обычных управлений» в (практически интересном) случае неатомической меры λ. В случае меры λ с конечным множеством значений подобная эквивалентность не имеет места. Отметим, что в работе мы не будем ставить задачу управления и приводить конструкции расширения в классе к.-а. мер, подобный материал уже достаточно подробно изложен ранее (см. [6–8]). Мы сосредо- точимся лишь на абстрактном исследовании возможности погружения множеств ступенчатых и ярусных функций (удовлетворяющих (4)), определенных на алгебре, в компактные в *-слабой топологии подмно- жества множества всех к.-а. мер ограниченной вариации в виде всюду плотного множества. 2 Основные обозначения и определения 4 Мы используем кванторы, пропозициональные связки, а также принимаем аксиому выбора. Через = обо- значаем равенство по определению. Семейством будем называть множество, все элементы которого сами являются множествами. Если S — множество, то через P(S) обозначаем семейство всех подмножеств мно- 4 4 жества S. Пусть R — вещественная прямая, N = {1; 2; . . .} — натуральный ряд и 1, s = {i ∈ N | i 6 s} ∀s ∈ N. 63 В дальнейшем линейные операции, умножение и порядок в пространствах вещественнозначных (в/з) функ- ций определяем поточечно. Если s ∈ N, то через Rs обозначаем множество всех кортежей (xi )i∈1,s : 1, s → R, получая фактически s-мерное арифметические пространство; τR есть обычная | · |-топология R. Если (X, τ ) — топологическое пространство (ТП) и A ∈ P(X), то cl(A, τ ) есть по определению замыкание 4 множества A в ТП (X, τ ), а τ |A = {A ∩ G : G ∈ τ } — топология множества A, индуцированная из ТП (X, τ ). 4 Если же (X, τ ) — ТП и x ∈ X, то полагаем Nτ0 (x) = {G ∈ τ | x ∈ G}, 4  Nτ (x) = Y ∈ P(X) ∃G ∈ Nτ0 (x) : G ⊂ Y , (5) получая в (5) фильтр [13, гл. I] окрестностей x в ТП (X, τ ). Направленностью [14, гл. 2] в множестве H называется всякий триплет (D, , f ), где (D, ) — непустое направленное множество [14, гл. 2], а f — отображение из D в H. Если (D, , f ) есть направленность в H, оснащенном топологией τ, и h ∈ H, то сходимость (D, , f ) к h определяется следующим образом: τ  def  (D, , f ) → h ⇐⇒ ∀S ∈ Nτ (h) ∃d ∈ D ∀δ ∈ D (d  δ) ⇒ (f (δ) ∈ S) . (6) Фиксируем непустое множество E и алгебру [13, гл. I] L подмножеств E. Через (add)+ [L] обозначаем конус всевозможных неотрицательных в/з к.-а. мер на L, а через A(L) — линейное пространство (всех) в/з к.-а. мер на L, имеющих  ограниченную  вариацию. Мера µ ∈ (add)+ [L] называется (0,1)-мерой на L, если µ(E) = 1 и µ(L) = 0 или µ(L) = 1 ∀L ∈ L. Если η ∈ A(L), то по определению vη есть вариация η как функция множеств (см. [15, гл. III, §1]) и 4 L[η] = {L ∈ L | η(L) 6= 0}. Через B0 (E, L) обозначим множество всех ступенчатых, в смысле (E, L), в/з функций на множестве E [16, гл. 2]), а через B(E, L) — замыкание B0 (E, L) в топологии sup-нормы || · ||E (см. [15, гл. IV, §2]) пространства B(E) всех ограниченных в/з функций на E; функции из B(E, L) называют ярусными (в смысле (E, L)). Отметим, что в общем случае измеримого пространства (E, L) имеем, что B(E, L), как подпространство (B(E), || · ||E ), является банаховым пространством, причем пространство B ∗ (E, L), топо- логически сопряженное к B(E, L), изометрически изоморфно A(L) в сильной норме, определяемой как полная вариация, в этой связи см. [16, §3.6]. Конкретный изометрический изоморфизм A(L) на B ∗ (E, L) определяется простейшей операцией интегрирования [16, § 3.3], используемой ниже без дополнительных пояснений. Итак, (B(E, L), A(L)) есть двойственность, что позволяет оснащать A(L) стандартной *-слабой топологией τ∗ (L) (см. [15, гл. 5]). Через τ0 (L) обозначим топологию тихоновской степени пространства (R, τ∂ ) с индексным множеством L, где τ∂ – дискретная топология R. Отметим, что для любого ограниченного (в смысле нормы-вариации) множества H, H ⊂ A(L), выполняется: τ∗ (L)|H ⊂ τ0 (L)|H . (7) Через Fin(X) обозначим семейство всех конечных подмножеств X. Приведем далее описание фундамен- тальной системы окрестностей для ν ∈ A(L) в ТП (A(L), τ0 (L)) и (A(L), τ∗ (L)): (∂) 4  NL (ν) = {η ∈ A(L) | ν(L) = η(L) ∀L ∈ K} : K ∈ Fin(L) ; (8) n Z Z o ∗ 4  NL (ν) = η ∈ A(L) | f dη − f dν| < ε ∀f ∈ K : ε > 0, K ∈ Fin(B(E, L)) . (9) E E Подробно о топологиях τ∗ (L), τ0 (L) см. в [7, § 2.6, 4.6], [6, с. 41–46], [8, с. 1113–1115]. Если µ ∈ (add)+ [L], то по определению 4   Aµ [L] = ν ∈ A(L) ∀L ∈ L (µ(L) = 0) ⇒ (ν(L) = 0) . (10) В (10) определено множество мер ограниченной вариации слабо абсолютно непрерывных относительно µ. Если Y — непустое множество, то через 1Y обозначим индикатор Y ; 1Y ∈ B0 (E, L) ∀Y ∈ L. Для ярусной функции f ∈ B(I, L) и меры µ ∈ A(L) введем f ∗ µ ∈ A(L), R что отвечает R неопределенному µ-интегралу f (см., например, [16, определение 3.7.1]). Отметим, что E gf dµ = E g d(f ∗ µ) ∀g ∈ B(I, L). 64 Напомним определение полной вариации меры произвольной к.-а. меры ν, ν ∈ A(L) : k X  vν (E) = sup {ξ ∈ [0, ∞[ | k ∈ N, Yi∈1,k — произвольное L-разбиение E, |ν(Yi )| = ξ} . (11) i=1 Через D обозначим множество всех (неупорядоченных) конечных разбиений (см. [6, (3.6.10)]) E эле- ментами L; {E} ∈ D. Множество D оснастим естественным направлением, характеризуемым свойством вписанности одного разбиения в другое: ∀Z ∈ D ∀R ∈ D (Z ≺ R) ⇐⇒ (∀R ∈ R ∃Z ∈ Z : R ⊂ Z). Таким образом, (D, ≺) есть непустое направленное множество (см. [8, (15.24)]). Значит, для любых раз- биений K1 , K2 из D существует их мажоранта в направленном множестве (D, ≺), которую мы обозначим через K1 ∨ K2 . 3 Случай неатомической меры В этом разделе мы исследуем возможность погружения множеств ступенчатых и ярусных функций (удовлетворяющих (4)) в случае, когда слабая абсолютная непрерывность определяется относительно неа- томической неотрицательной к.-а. меры. Далее нам понадобится Определение 1 (см. [17, Definition 5.1.2] ) Неотрицательную к.-а. меру ν будем называть неато- мической, если ∀L ∈ L[ν] ∃L∗ ∈ L[ν] : (L∗ ⊂ L)&(ν(L∗ ) < ν(L)). Эквивалентно, неотрицательная к.- а. мера ν на алгебре L является неатомической тогда и только тогда, когда ∀L ∈ L[ν] ∃L∗ ∈ L[ν] : (L∗ ⊂ L)&(L \ L∗ ∈ L[ν]). Если λ ∈ (add)+ [L], то по определению (см. определение полной вариации в (11)) n Z o n Z o 4 4 F̂λ = f ∗ λ : f ∈ B0 (E, L), |f | dλ = 1 , Fλ = f ∗ λ : f ∈ B(E, L), |f | dλ = 1 , E E 4  4  Sλ = µ ∈ Aλ (L) vµ (E) = 1 , Bλ = µ ∈ Aλ (L) vµ (E) 6 1 . Два последних множества являются сферой и шаром пространства слабо абсолютно непрерывных мер соответственно. Теорема 1 Если λ — неатомическая неотрицательная к.-а. мера на алгебре L, то cl(F̂λ , τ ) = cl(Fλ , τ ) = cl(Sλ , τ ) = Bλ ∀τ ∈ {τ∗ (L); τ0 (L)}. Д о к а з а т е л ь с т в о. Имеем очевидную цепочку F̂λ ⊂ Fλ ⊂ Sλ ⊂ Bλ . (12) Из теоремы Алаоглу и (7) имеем, что Bλ = cl(Bλ , τ ) ∀τ ∈ {τ∗ (L); τ0 (L)}. Как следствие, cl(F̂λ , τ ) ⊂ ⊂ cl(Fλ , τ ) ⊂ cl(Sλ , τ ) ⊂ Bλ ∀τ ∈ {τ∗ (L); τ0 (L)}. Следовательно, cl(F̂λ , τ0 (L)) ⊂ cl(F̂λ , τ∗ (L)) ⊂ cl(Fλ , τ∗ (L)) ⊂ cl(Sλ , τ∗ (L)) ⊂ Bλ , (13) cl(F̂λ , τ0 (L)) ⊂ cl(Fλ , τ0 (L)) ⊂ cl(Sλ , τ0 (L)) ⊂ Bλ . (14) Теперь покажем, что Bλ ⊂ cl(F̂λ , τ0 (L)). Зафиксируем произвольную меру µ ∈ Bλ , vµ (E) 6 1. Исполь- зуем далее определение неатомической меры λ. Пусть функция pµ действует по правилу 1 − vµ (E) K 7−→ : D → R. 2 {L ∈ K | L ∈ L[λ]} 65 Далее нам потребуется функция множеств, которая бы осуществляла в некотором смысле «хорошее» раз- биение произвольного множества из L[λ]. Пусть c : L[λ] → L[λ] × L[λ] есть некоторая функция, которая удовлетворяет свойству: ∀L ∈ L[λ] 4 c(L) = (L∗ , L \ L∗ ), где (L∗ , L \ L∗ ∈ L[λ])&(L∗ ⊂ L); существование такой функции следует из аксиомы выбора. Пусть L ∈ L[λ], тогда для удобства обо- значим первую компоненту упорядоченной пары c(L) через c1 (L), а вторую – через c2 (L); значит c(L) = (c1 (L), c2 (L)). Если K ∈ D, то функцию Φµ [K] : E → R полагаем такой, что ∀K ∈ K, x ∈ K : 4 (λ(K) = 0) ⇒ (Φµ [K](x) = 0),  4 µ(K) (λ(K) 6= 0) ⇒ Φµ [K](x) = 1c (K) (x)+ λ(c1 (K)) 1 pµ (K) pµ (K)  +  1c1 (c2 (K)) (x) −  1c2 (c2 (K)) (x) ; λ c1 (c2 (K)) λ c2 (c2 (K)) Очевидно, что Φµ [K] ∈ B0 (E, L) ∀K ∈ D. Остановимся подробнее на Φµ [K]. На множестве K, K ∈ K, λ(K) 6= 0, функция «состоит из трех ступенек». Первая отвечает за аппроксимацию µ, то есть (Φµ [K] ∗ λ)(K) = µ(K). Вторая и третья «ступеньки» являются «фиктивными», Z они не влияют на значе- ние (Φµ [K] ∗ λ)(K). Их роль заключается в обеспечении равенства |Φµ [K]| dλ = 1 ∀K ∈ D. E 4 Пусть Φµ [·] ∗ λ = (Φµ [K] ∗ λ)K∈D . Обратимся теперь к определению сходимости направленности (см. (∂) (6)) и определению фундаментальной системы окрестностей топологии τ0 (L) (см. (8)). Пусть T ∈ NL (µ), тогда существует семейство K∗ , которое порождает T (см. (8)). По построению функции Φµ [·] имеем, что ∀K ∈ D ∀K ∈ K∗  K∗ ≺ K ⇒ (Φµ [K]  ∗ λ)(K) = (Φµ [K∗ ] ∗ λ)(K) = µ(K) . Последнее означает, что ∀K ∈ D K∗ ≺ K ⇒ Φµ [K] ∗ λ ∈ T . Согласно (6), направленность (D, ≺, Φµ [·] ∗ λ) сходится к µ в (A(L), τ0 (L)). Следовательно, µ ∈ cl(F̂λ , τ0 (L)). В силу произвольности выбора µ ∈ Bλ , мы получили, что Bλ ⊂ cl(F̂λ , τ0 (L)). Комбинируя это с (13) и (14), мы завершаем доказательство.  Теорема 2 Если λ — неатомическая неотрицательная к.-а. мера на алгебре L, то Z   Sλ ⊂ cl(F̂λ , τ ) = cl(Fλ , τ ) = cl(Sλ , τ ) = Bλ = cl f ∗ λ : f ∈ B0 (E, L), |f | dλ 6 1 , τ = E Z   = cl f ∗ λ : f ∈ B(E, L), |f | dλ 6 1 , τ ∀τ ∈ {τ∗ (L); τ0 (L)}. E Доказательство теоремы получается комбинацией теоремы 1 и [8, (15.37)]. Пример 1 Отметим существенность требования неатомичности меры в теореме 2. Пусть E = [0, 1[, S nSn o L = [ai , bi [ : (ai )i∈1,n , (bi )i∈1,n ∈ [0, 1]n . Тогда L — наименьшая алгебра, порожденная полуал- n∈N i=1 геброй всевозможных открытых справа промежутков E = [0, 1[. Через λ обозначим n след меры Дирака, o сосредоточенной в точке 12 , на L. Пусть µ = 12 λ. Легко проверить, что µ ∈ Bλ = η ∈ Aλ (L) | vη (E) 6 1 . Пусть Z   4  n 1 o F = f ∈ B0 (E, L) |f | dλ = 1 = f ∈ B0 (E, L) f =1 . E 2 4 Выделим одну окрестность меры µ в ∗-слабой топологии (см. (9)): M = {η ∈ A(L) | E 1E dη − E 1E dµ| < 41 }. Легко A(L) |η(E) − µ(E)| < 14 }. Отметим, что R R  видеть, что M = {η ∈ 1 ∀u ∈ F выполняется: |(u ∗ λ) E | = 1; при этом µ(E) = 2 . Очевидно, что не существует функции f из множества F такой, что f ∗ λ ∈ M. Значит, невозможно построить направленность, которая бы сходилась к µ. Пример показывает, что для меры с атомами теорема 2 не верна. 66 Отметим, что случай неатомической меры λ является естественным в задачах управления. В таких случаях множества F̂λ и Fλ отвечают условию (4) на полный расход топлива для системы с реверсируе- мым двигателем (при этом λ есть мера Лебега). Подобное условие является достаточно частым в задачах космической навигации. 4 Случай меры с конечным множеством значений Пример мотивирует исследовать случай, когда мера, относительно которой определяется непрерыв- ность, имеет атомы. В этой главе мы исследуем замыкание сферы пространства слабо абсолютно непре- рывных к.-а. мер относительно неотрицательной меры с конечным множеством значений. Отметим, что у такой меры обязательно есть атомы. Определение 2 (см. [17, §11.1] ) Мера µ, µ ∈ A(L), называется мерой с конечным множеством зна- чений, если {µ(L) : L ∈ L} есть конечное множество. Обозначим множество таких мер через (f r)[L]. Лемма 1 (см. [17, Lemma 11.1.3]) Если λ ∈ (f r)[L], то найдутся попарно дизъюнктные множе- ства L1 , L2 , . . . , Lm из L, ненулевые действительные коэффициенты Pm α1 , α2 , . . . , αm и к.-а.(0, 1)-меры λ1 , λ2 , . . . , λm на L такие, что λi (Li ) = 1 при i = 1, 2, . . . , m и λ = i=1 αi λi . Доказательство леммы 1 использует важный в дальнейшем объект, который мы определим следующим образом: ∀µ ∈ (f r)[L] ∀k ∈ N 4  (dis)[µ, k] = (Li )i∈1,k ∈ L[µ]k Li ∩ Lj = ∅ ∀i ∈ 1, k ∀j ∈ 1, k \ {i} . При доказательстве леммы [17, Lemma 11.1.3] показано, что для меры µ ∈ (f r)[L] существует наибольшее натуральное число, обозначим его через k[µ], такое, что (dis)[µ, k[µ]] 6= ∅; очевидно, что k[µ] 6 |{µ(L) : L ∈ L}|. Более того, именно число k[µ] совпадает с числом слагаемых в представлении, указанном в лемме 1. Отметим два важных далее свойства, использованных при доказательстве [17, Lemma 11.1.3]: ∀µ ∈ (f r)[L] (a) ∀(Li )i∈1,k[µ] ∈ (dis)[µ, k[µ]] ∀i ∈ 1, k[µ] если для T ∈ L выполняется T ⊂ Li , то верно одно из двух: µ(T ) = 0 или µ(T ) = µ(Li ). (b) ∀T ∈ L ∀(Li )i∈1,k[µ] ∈ (dis)[µ, k[µ]] справедлива импликация   k[µ] [ T ⊂ E \ Li  ⇒ (µ(T ) = 0). i=1 Для удобства зафиксируем произвольную меру λ, λ ∈ (add)+ [L] ∩ (f r)[L]. Пусть m = k[λ]. Будем по- лагать, что для данной меры заданы также наборы коэффициентов (αi )i∈1,m и к.-а. (0,1)-мер (λi )i∈1,m , корректно задающих представление меры λ, отвечающее лемме 1. Лемма 2 Для множества всех слабо абсолютно непрерывных к.-а. мер относительно λ выполняется: m nX o Aλ (L) = κi λi : (κi )i∈1,m ∈ Rm . (15) i=1 Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим множество в правой части (15) через Ω. Очевидно, что Ω ⊂ Aλ (L) по определению слабой абсолютной непрерывности и в силу неотрицательности λ. 4 Pm Докажем теперь, что Aλ (L) ⊂ Ω. Пусть µ ∈ Aλ (L). Введем в рассмотрение меру ω : ω = i=1 µ(Li )λi , где (Li )i∈1,m ∈ (dis)[λ, m]; ω ∈ Ω Покажем, что µ = ω. Пусть J ∈ L. Возможны два варианта: (1) J ∈ / L[λ]. В силу слабой абсолютной непрерывности меры ω, µ относительно λ имеем, что ω(J) = µ(J) = λ(J) = 0. (2) J ∈ L[λ]. Далее используем процедуру, цель которой — построить конечное разбиение множества J таким образом, чтобы значения мер ω, µ на элементах разбиения совпадали; тогда из конечной ад- дитивности ω, µ будет вытекать равенство ω(J) = µ(J). Из J ∈ L[λ] очевидным образом следует, что ∃i1 ∈ 1, m ∃(Li )i∈1,m ∈ (dis)[λ, m] : Li1 ⊂ J. Если при этом J \ Li1 ∈ / L[λ], то процедуру построения 67 конечного L-разбиения множества J останавливаем; J = (J \ Li1 ) ∪ Li1 и ω(J) = 0 + µ(Li1 ) = µ(J). Ес- ли при этом J \ Li1 ∈ L[λ], то тогда ∃i2 ∈ 1, m \ {i1 } ∃(L bi ) i∈1,m ∈ (dis)[λ, m] : Li2 ⊂ J \ Li1 . Если при b этом J \ (Li1 ∪ L bi ) ∈ 2 / L[λ], то процедуру построения конечного L-разбиения множества J останавливаем; J = (J \ (Li1 ∪ L b i )) ∪ Li ∪ L 2 1 2 1 b i ) = µ(J). Если при этом J \ (Li ∪ L b i и ω(J) = 0 + µ(Li ) + µ(L 2 1 b i ) ∈ L[λ], 2 то проводим третий шаг процедуры. Отметим, что если на первом шаге процедуры мы бы имели s0 мер λi из разложения (s0 6 m), для которых можно было бы найти измеримые подмножества J, на которых меры имеют ненулевое значение, то на втором шаге процедуры множество J \ Li1 имеет s0 − 1 мер λi из разложения, для которых можно найти подмножества J, на которых меры имеют ненулевое значение. Сле- довательно, данная процедура потребует не больше m шагов в силу представления меры λ как конечной суммы (0,1)-мер из m слагаемых. По окончании процедуры мы получим такое конечное L-разбиение множества J, что на каждом эле- менте разбиения либо мера λ (следовательно, ω и µ) равна нулю, либо их меры ω и µ совпадают. Имеем, что ω(J) = µ(J) и в этом случае. Поскольку выбор J ∈ L был произвольным, установлено, что ω = µ. Поскольку выбор µ ∈ Aλ (L) был произвольным, установлено, что Aλ (L) ⊂ Ω.  Следующем объектом исследования является полная вариация произвольной меры с конечным множе- ством значений. В этой связи мы приводим следующее Предложение 1 (см. [17, PropositionPn 11.1.4]) Пусть µ ∈ (f r)[L] имеет следующее представление (согласованное с леммой 1): µ = j=1 tj µj , где (µj )i∈1,n есть последовательность к.-а. (0,1)-мер, а (tj )i∈1,n – последовательность ненулевых действительных чисел. Тогда множество значений меры µ совпадает с множеством: k nX o {0} ∪ tij : {i1 , i2 , . . . , ik } ⊂ 1, n and 1 6 k 6 n . i=1 Следствие Pn 1 Пусть µ ∈ (f r)[L] имеет следующее представление (согласованное с леммой 1): µ = j=1 tj µj , где (µj )i∈1,n есть последовательность к.-а. (0,1)-мер, а (tj )i∈1,n – последовательность ненулевых действительных чисел. Тогда для полной вариации меры µ выполняется: n X vµ (E) 6 |tj |. i=1 Предложение Pn 2 Пусть µ ∈ (f r)[L] имеет следующее представление (согласованное с леммой 1): µ = j=1 tj µj , где (µj )i∈1,n есть последовательность к.-а. (0,1)-мер, а (tj )i∈1,n – последовательность ненулевых действительных чисел. Тогда для полной вариации меры µ выполняется: n X vµ (E) = |tj |. i=1 Доказательство является комбинацией следствия 1 и свойств (a), (b). Последние два свойства позволяют показать, что ∀(Li )i∈1,n ∈ (dis)[µ, n] n [ n X vµ (E) > |µ(L1 )| + |µ(L2 )| + . . . + |µ(Ln )| + |µ(E \ Li )| = |tj |. i=1 i=1 Лемма 3 Для единичной сферы и шара пространства всех слабо абсолютно непрерывных к.-а. мер от- носительно λ выполняется: m nX m m m  X o nX  X o Sλ = κi λi (κi )i∈1,m ∈ Rm & |κi | = 1 , Bλ = κi λi (κi )i∈1,m ∈ Rm & |κi | 6 1 . (16) i=1 i=1 i=1 i=1 Доказательство получено при использовании предложения 2 и леммы 2. Отметим, что согласно [6, Proposition 4.9.4] Aµ [L] = cl(Aµ [L], τ∗ (L)) = cl(Aµ [L], τ0 (L)) ∀µ ∈ (add)+ [L]. (17) Напомним, что операция ∨ введена в последнем абзаце раздела 2. 68 Лемма 4 Если λ ∈ (add)+ [L] ∩ (f r)[L], ν ∈ Aλ (L), (Lj )j∈1,k[λ] ∈ (dis)[λ, k[λ]], а G и K — L-разбиения множества E, то   [   X  K = G ∨ L1 ; L2 ; . . . ; Lk[λ] ; E \ Li ⇒ vν (E) = |ν(K)| . i∈1,k[λ] K∈K Доказательство основано на следующем факте: ∀K ∈ K Pлибо ∃!i ∈ 1, k[λ] : (λi (K) 6= 0)&(ν(K) = κi ), либо ν(K) = λ(K) = 0; мы используем представление ν = i∈1,k[λ] κi λi (см. лемму 2). Теорема 3 Для λ, к.-а. меры с конечным множеством значений, выполняется цепочка равенств:     cl(F̂λ , τ∗ (L) = cl(Fλ , τ∗ (L) = cl(F̂λ , τ0 (L) = cl(Fλ , τ0 (L) = Sλ . (18) Д о к а з а т е л ь с т в о. Очевидно, что     cl F̂λ , τ0 (L) ⊂ cl F̂λ , τ∗ (L) ⊂ cl Fλ , τ∗ (L) ⊂ cl Sλ , τ∗ (L) . Дальнейшее доказательство состоит  из двух шагов.  (1) Покажем, что cl Sλ ,τ∗ (L) = cl Sλ , τ0 (L) = Sλ . m Pm µ∗ ∈ cl Sλ , τ∗ (L) . В силу (17), имеем µ∗ ∈ Aλ (L), а тогда, согласно лемме 2, ∃(βi )i∈m ∈ R : Пусть µ∗ = i=1 βi λi . Более того, для некоторой направленности (D, ≺, (µd )d∈D ) со значениями в Sλ выполняется τ∗ (L) (D, ≺, (µd )d∈D ) → µ∗ . Из этого вытекает, что для семейства (Li )i∈1,m ∈ (dis)[λ, m] должны выполняться свойства сходимости: τR (D, ≺, (µd (Li ))d∈D ) → µ∗ (Li ) ∀i ∈ 1, m. (19) Так как µd ∈ Sλ ∀d ∈ D, то, согласно лемме 3, для каждого значения направленности также имеется (d) представление в виде суммы (0,1)-мер: ∀d ∈ D ∃(αi )i∈1,m ∈ Rm : m ! m ! (d) (d) X X µd = αi λi & |αi | = 1 . i=1 i=1 (d) τ Так как µ∗ (Li ) = βi λi (Li ) = βi , то (19) можно интерпретировать как (D, ≺, (αi )d∈D ) → R βi ∀i ∈ 1, m. Сле- довательно, мы имеем дело со покоординатной сходимостью на единичной m-сфере (в норме «сумма моду- Pm лей»). Учитывая, что конечномерная сфера в таком случае является замкнутой, мы получаем |βi | = 1.   i=1  Значит (см. лемму 3), µ∗ ∈ Sλ . Следовательно,  cl Sλ , τ∗ (L) = Sλ . Но Sλ ⊂ cl Sλ , τ0 (L) ⊂ cl Sλ , τ∗ (L) . Следовательно, Sλ = cl Sλ , τ0 (L) = cl Sλ , τ∗ (L) .  (2) Требуется доказать, что Sλ ⊂ cl F̂λ , τ0 (L) . Используем далее направленное множество (D, ≺) из теоремы 1. Итак, зафиксируем произвольную меру µ ∈ Sλ , для которой мы далее построим аппроксимирующую направленность. Определим функцию θ+ [µ] : L → [0, ∞[ по следующему правилу: 4 µ(L)  4    θ+ [µ](L) = 0 ∀L ∈ L : λ(L) = 0 & θ+ [µ](L) = ∀L ∈ L[λ] . λ(L) Приведем основное свойство такой функции: µ(L) = λ(L)θ+ [µ](L) ∀L ∈ L. Введем далее оператор, «улучшающий» в некотором смысле семейства из D, используя (произвольный) элемент (Li )i∈1,k[λ] из (dis)[λ, k[λ]]. Определим функцию i : D → D следующим образом: ∀K ∈ D  [ i(K) = K ∨ L1 ; L2 ; . . . ; Lk[λ] ; E \ Li . i∈1,k[λ] Предназначение i — осуществить «измельчение» разбиения K, применив (Li )i∈1,k[λ] . Легко показать (см. (12) и лемму 4), что для любой меры η из F̂λ ее полная вариация vη (E) совпадает с суммой модулей значений меры на элементах разбиения i(K) ∀K ∈ D. 69 Если K ∈ D, то ступенчатую функцию Θ+ µ [K] : E → R полагаем такой, что ∀K ∈ K, x ∈ K : 4 Θ+ µ [K](x) = θ+ [µ](K). 4 Пусть Θ+ + + µ [·] = (Θµ [K])K∈D и f ◦ g обозначает суперпозицию функций f, g. Тогда ∀K ∈ D (Θµ [·] ◦ i)(K) ∈ B0 (E, L). Более того, выполняется: ∀K ∈ K ∀K b ∈ i(K) Z Z Z Θ+ µ [K] dλ = µ(K), (Θ + µ [·] ◦ i)(K) dλ = µ(K), b (Θ+ µ [·] ◦ i)(K) dλ = µ(K). K K b K Oтметим, что |(Θ+ µ [·] ◦ i)(K)| ∗ λ ∈ Aλ (L) ∀K ∈ D. Учитывая это и лемму 4, имеем цепочку равенств: Z X |(Θ+ |(Θ+  µ [·] ◦ i)(K)| dλ = µ [·] ◦ i)(K)| ∗ λ (K) = v|(Θ+ µ [·]◦i)(K)|∗λ (E) ∀K ∈ D. E K∈i(K) С другой стороны, X X |(Θ+  µ [·] ◦ i)(K)| ∗ λ (K) = |µ(K)| = vµ (E) = 1 ∀K ∈ D. K∈i(K) K∈i(K) Значит, E |(Θ+ + R µ [·] ◦ i)(K)| dλ = 1 ∀K ∈ D, а тогда (Θµ [·] ◦ i)(K) ∗ λ ∈ F̂λ ∀K ∈ D. Легко получить следующее: ∀K1 , K2 ∈ D ∀K ∈ K1   (K1 ≺ K2 ) ⇒ (Θ+ +   µ [·] ◦ i)(K1 ) ∗ λ (K) = (Θµ [·] ◦ i)(K2 ) ∗ λ (K) . (20) 4 Пусть (Θ+ + µ [·] ◦ i)(·) ∗ λ = ((Θµ [·] ◦ i)(K) ∗ λ)K∈D . Легко убедиться (см. (6), (8), (20)), что направленность  (D, ≺, (Θ+ µ [·] ◦ i)(·) ∗ λ), со значениями в F̂λ , сходится к µ в ТП (A(L), τ0 (L)). Тогда µ ∈ cl F̂λ , τ0 (L) ; в силу  произвольности выбора µ ∈ Sλ получаем, что Sλ ⊂ cl F̂λ , τ0 (L) .  Отметим, что Z   cl(F̂λ , τ ) = cl(Fλ , τ ) = cl(Sλ , τ ) = Sλ 6= Bλ = cl f ∗ λ : f ∈ B0 (E, L), |f | dλ 6 1 , τ = E Z   = cl f ∗ λ : f ∈ B(E, L), |f | dλ 6 1 , τ ∀τ ∈ {τ∗ (L); τ0 (L)}. E Следовательно, аналог теоремы 2 не имеет места в случае, когда слабая абсолютная непрерывность опре- деляется относительно меры с конечным множеством значений. Однако остается открытым вопрос: а что, если «базовая» мера содержит атомы, но не является мерой с конечным множеством значений. В этой связи интерес представляет теорема Собчика–Хаммера [18], указывающая на возможность разложения любой к.-а. меры в сумму двух к.-а. мер, одна из которых непрерывна, а вторая является счетной суммой (0,1)-мер. Отметим, что теоремы 1–3 являются логическим завершением исследований [6–8], касающихся возможности погружения множеств управлений, удовлетворяющих (1)–(3), в компакты. Благодарности Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта No 16-31-00177 мол_а. Список литературы [1] A.G. Chentsov. Correct expansion of some unstable problems of statistical information processing, Cybernetics and Systems Analysis, 2: 235–250, 2001. [2] N.N. Krasovskii. Theory of Motion Control. Nauka, Moscow, 1968 (in Russian). = Н.Н. Красовский. Теория управления движением. М.: Наука, 1968. 70 [3] R.V. Gamkrelidze. Principles of optimal control theory. New York: Plenum Press, 1978. [4] J. Warga. Optimal Control of Differential and Functional Equations. New York, Academic Press, 1972. [5] A.I. Subbotin, A.G. Chentsov. Optimization of Guarantee in Control Problems. Moscow: Nauka, 1981 (in Russian). = А.И. Субботин, А.Г. Ченцов. Оптимизация гарантии в задачах управления. М.: Наука, 1981. [6] A.G. Chentsov. Asymptotic attainability. Dordrecht–Boston–London: Kluwer, 1997. [7] A.G. Chentsov, S.I. Morina. Extensions and Relaxations. Dordrecht–Boston–London: Kluwer, 2002. [8] A.G. Chentsov. Finitely additive measures and extensions of abstract control problems. Journal of Mathematical Sciences, 133(2): 1045–1206, 2006. [9] A. Baklanov. A Density Property of Finitely Additive Measures. Int. Journal of Math. Analysis, 8(7): 301–305, 2014. [10] A.P. Baklanov. A game problem with asymptotic impulse control. Vestn. Udmurt. Univ. Mat. Mekh. Komp’yut. Nauki, 3: 3–14, 2011 (in Russian). = А.П. Бакланов. Об одной игровой задаче асимптотически импульсного управления. Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки, 3: 3–14, 2011. [11] A.G. Chentsov. About presentation of maximin in the game problem with constraints of asymptotic character. Vestn. Udmurtsk. Univ. Mat. Mekh. Komp. Nauki, 3: 104–119, 2010 (in Russian). = А.Г. Ченцов. О представлении максимина в игровой задаче с ограничениями асимптотического характера. Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки, 3: 104–119, 2010. [12] A.P. Baklanov. On the representation of maximin of an impulse control problem. Differential Equations and Control Processes, 3: 49–69, 2012 (in Russian). = А.П. Бакланов. К вопросу о представлении максимина в одной задаче импульсного управления. Дифференц. уравнения и процессы управления, 3: 49–69, 2012. [13] N. Bourbaki. General Topology. Paris: Hermann, 1940. [14] J.L. Kelley. General topology. New York: Van Nostrand, 1955. [15] N. Dunford, J.T. Schwartz. Linear Operators. Part 1: General Theory. New York: Interscience, 1958. [16] A.G. Chentsov. Theory of finitely additive measures.I. Ekaterinburg: RIO UGTU–UPI, 2008 (in Russian). = А.Г. Ченцов. Элементы конечно-аддитивной теории меры. I. Екатеринбург: РИО УГТУ–УПИ, 2008. [17] Rao K. P. S. Bhaskara, Rao M. Bhaskara. Theory of Charges. A Study of Finitely Additive Measures. New York: Academic Press, 1983. [18] A. Sobczyk, P. C. Hammer. A decomposition of additive set functions. Duke Math. J., 11: 839–846, 1944. 71 On density properties of weakly absolutely continuous measures Artem P. Baklanov International Institute for Applied Systems Analysis (Laxenburg, Austria) Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics (Yekaterinburg, Russia) Ural Federal University (Yekaterinburg, Russia) Keywords: finitely additive measures, weak absolute continuity, weak-star topology, non-atomic or atomless measures. It is shown that some set of all step functions (and the set of all uniform limits of ones) allows an embedding into some compact subset (with respect to weak-star topology) of the set of all finitely additive measures of bounded variation in the form of an everywhere dense subset. Precisely, we considered the set of all step functions (the set of all uniform limits of such functions) such that integral of absolute value of the functions with respect to non-negative finitely additive measure λ is equal to the unit. For these sets, the possibility of the embedding is proved for the cases of non-atomic and finite range measure λ; in the cases the compacts do not coincide. Namely, in the nonatomic measure case, it is shown that the mentioned sets of functions allow the embedding into the unit ball (in the strong norm-variation) of weakly absolutely continuous measures with respect to λ in the form of a everywhere dense subset. In the finite range measure case, it is shown that the mentioned sets of functions allow the embedding into the unit sphere of weakly absolutely continuous measures with respect to λ in the form of a everywhere dense subset. In the last case the sphere is closed in the weak-star topology. An interpretation of these results is given in terms of an approach connected with an extension of linear control problems in the class of finitely additive measures. 72