Работа посвящена исследованию качественного поведения оптимальных решений задачи управления на бесконечном промежутке времени. Постановка задачи основана на двухфакторной модели экономического роста. Анализируется чувствительность оптимальных траекторий к изменениям параметров модели, в частности к параметрам производственной функции и дисконтирующему множителю. Показано, что для достаточно широкого диапазона допустимых значений параметров системы, гамильтонова динамика имеет стационарную точку типа седло или фокус, при этом ровно половина собственных значений системы обладает строго отрицательной действительной частью, а другая половина - строго положительной. Данный факт позволяет говорить о существовании нелинейного регулятора, стабилизирующего гамильтонову систему вблизи установившегося состояния. Стабилизированные решения позволяют оценить поведение оптимальных решений в окрестности положения равновесия с квадратичной точностью.
что в случае, когда стационарная точка является седлом, нелинейный регулятор существует, а стабилизированные решения аппроксимируют оптимальные траектории с квадратичной точностью. Используя решение стабилизированной системы в окрестности равновесия, в обратном времени осуществляется восстановление оптимальной траектории (см. [4, 9]).
В данной работе рассматривается Якобиан гамильтоновой системы, вычисленный в стационарной точке. Показано, что матрица Якоби представима в виде суммы гамильтоновой и диагональной матриц. Про гамильтонову матрицу известно, что ее собственные значения симметричны относительно мнимой оси и меньше на =2 собственных чисел Якобиана. Для различных параметров модели экономического роста экспериментально показано, что условия существования нелинейного регулятора выполняются, то есть ровно половина действительных частей собственных значений матрицы Якоби отрицательна, а другая половина положительна.
В первом разделе статьи описываются основные модельные переменные и осуществляется постановка задачи управления. Второй раздел посвящен исследованию задачи управления в рамках принципа максимума Понтрягина и построению гамильтоновой системы. В третьей части статьи проводится качественный анализ гамильтоновой системы и выписываются свойства матрицы Якоби. Полученные результаты применяются для задачи с производственной функцией типа Кобба–Дугласа. В последнем разделе приводятся результаты численного анализа характера равновесия гамильтоновой системы, указываются диапазоны значений параметров, при которых качественное поведение системы не меняется, то есть стационарная точка является либо седлом, либо фокусом. 2
Двухфакторная модель экономического роста Рассматривается задача оптимального управления, основанная на модели экономического роста, которая нацелена на анализ изменений внутреннего валового продукта (ВВП) Y страны в зависимости от таких производственных факторов, как основные фонды K; человеческий капитал L и полезная работа U . Понятие полезной работы U было введено в работе [2], оно по сути определяется как разница между природными ресурсами R и отходами от переработки природных ресурсов W : U = R W . В итоге, этот фактор есть объем переработанных природных ресурсов, используемых для дальнейшего производства. В данной версии модели этот параметр является экзогенным фактором.
Связь между ВВП Y и производственными факторами описывается производственной функцией F ( ):
Y = F (K; L; U ) Человеческий капитал L определяется как величина, пропорциональная общей численности работающего населения страны P (t) [7]. Таким образом, для человеческого капитала L справедливо соотношение L = EP; где положительный коэффициент пропорциональности E определяет эффективность труда.
Предполагается, что изменение основного капитала K зависит от объема сбережений S(t) и темпов обесценивания капитала :
K_ (t) = S(t)
K(t); K(0) = K0: Изменение человеческого капитала L(t) в момент времени t пропорционально инвестициям R(t); направленным на увеличение эффективности труда:
L_ (t) = bR(t); L(0) = L0: Относительно объемов инвестирования основного капитала и эффективности труда отметим, что суммарно они не превышают ВВП страны в момент времени t
Y (t) > S(t) + R(t) = (u1(t) + u2(t))Y (t) > 0 ) 0 6 u1(t) + u2(t) < 1: Ввиду неотрицательности величин u1(t) и u2(t); можно выбрать два таких числа a1 и a2, которые будут определять максимальные доли инвестиций, направленных в основной капитал K(t) и эффективность труда E(t) соответственно:
0 6 u1(t) 6 a1 < 1; 0 6 u2(t) 6 a2 < 1: Обозначим символом U = [0; a1] [0; a2] область, которой принадлежат инвестиционные составляющие u1; u2; а символом u вектор (u1; u2): Предполагается, что численность рабочей силы P (t) обладает экспоненциальной динамикой с темпом роста, равным постоянной положительной величине [7]:
P_ (t) = P (t): K(t)
P (t) Y (t)
P (t)
Исследование задачи оптимального управления 3.1 Гамильтониан задачи управления
Задача управления удовлетворяет всем условиям теоремы существования [3], а также условиям оптимальности как для задач с бесконечным горизонтом в рамках принципа максимума Понтрягина [1, Теорема 18.2, стр. 171].
Выпишем гамильтониан задачи оптимального управления
He (t; x; u; e) = e t ln (1 u1) + ln (1 u2) + ln f (x) + e1(u1f (x) ( + )x1) + e2(bu2f (x) x2): Сопряженные переменные e = ( e1; e2) определяют “теневую цену” капитала x1 и эффективности труда x2 соответственно.
Выпишем необходимые условия оптимальности согласно работе [1, Теорема 18.2, стр. 171] применительно к исследуемой задаче управления. Теорема 1 (Асеев С.М., Кряжимский А.В.). Пусть набор (x0; u0) = (x01; x02; u01; u0) обозначает опти2 мальный процесс. Тогда существует вектор сопряженных переменных e = (f1; f2), соответствующий процессу (x01; x02; u01; u02) и удовлетворяющий сопряженным уравнениям f_1 = @He (t; x0(t); u0(t); e(t)); f_2 = @He (t; x0(t); u0(t); e(t)); такой, что
@x1 @x2 1. Процесс (x0; u0) удовлетворяет условиям принципа максимума Понтрягина вместе с сопряженными переменными f1 и f2
He (t; x0(t); u0(t); e(t)) = max He (t; x0(t); u; e(t)); u 2 U 2. Процесс (x0; u0) и сопряженные переменные f1 и f2 удовлетворяют условию стационарности 3. Сопряженные переменные положительны: 4. Выполнено условие трансверсальности f1(t) > 0; f2(t) > 0;
8t > 0: limx!1 f1x1(t) + f2x2(t) = 0: Для дальнейшего описания удобно сделать замену переменных 1 = e t e1, 2 = e t e2 и Hb ( ) = e tHe ( ); которая избавит гамильтониан от явной зависимости от переменной времени t
Hb (x; u; ) = ln (1 u1) + ln (1 u2) + ln f (x) + 1(u1f (x) ( + )x1) + 2(bu2f (x)
x2):
(
H(x; ) = max Hb (x; u; ) = Hb (x; uij; ); ui0j = (u10i; u20j); (x; ) 2 Dij = i1 \ j2; (i; j = 1; 2; 3); u 2 U где множества i1 и j2 определяются следующим образом (здесь Ai = (1 ai) 1; i = 1; 2): 11 = f(x; ) : 1f (x) 6 1g; u1 = 0; 21 = f(x; ) : 1 6 1f (x) 6 A1g ; u10 = 1 31 = f(x; ) : 1f (x) > A1g ; u10 = a1;
1 1f (x) ; 12 = f(x; ) : b 2f (x) 6 1g; u2 = 0; 22 = f(x; ) : 1 6 b 2f (x) 6 A2g ; u20 = 1 32 = f(x; ) : b 2f (x) > A2g ; u20 = a2:
1 b 2f (x) ; P4. Максимизированный гамильтониан H(x; ) является строго вогнутой функцией по фазовым переменным при положительных значениях сопряженных переменных 1 > 0; 2 > 0 во всех областях своего определения Dij; i; j = 1; 2; 3, кроме области переменного управления D22: В области переменного управления D22 для строгой вогнутости максимизированного гамильтониана H(x; ) требуется отрицательная определенность матрицы @f 0 f x01 (x) f x002 (x) @ f x02 (x) f x001x2 (x) 1
f x02 (x) 1 f x001x2 (x) C f x002 (x) A 2 8 (x; ) 2 D22; 1 > 0; 2 > 0: Перечисленные свойства максимизированной гамильтоновой функции H(x; ); обеспечивающие гладкость по переменным (x; ) и строгую вогнутость по фазовым переменным x = (x1; x2) для всех положительных значений компонент сопряженного вектора = ( 1; 2); гарантируют, что необходимые условия оптимальности принципа максимума Понтрягина являются достаточными [4]. 3.2
Гамильтонова система
Для исследования качественного поведения оптимальных траекторий необходимо построить
гамильтонову систему, которая вычисляется согласно формулам
x_ i(t) =
(
+ u10(t) 1(t) + bu20(t) 2(t) = G3(x(t); (t)); + u10(t) 1(t) + bu20(t) 2(t) = G4(x(t); (t)): Согласно результатам исследования, проведенного в работе [12], стационарная точка может существовать только в областях Dij с ненулевым режимом управления, i; j > 2: В этой связи, наиболее интересным представляется случай для области переменного управления D22; которая описывается соотношениями D22 = (x; ) : 1 6 1f (x) 6
; 1 6 b 2f (x) 6 1 1 a1
1
1
a2
:
Гамильтонова система в области D22 (
1 f (x(t)) 1 f (x(t)) 1(t) + b 2(t)
f x01 (x(t)) = G3(x(t); (t))
1(t) + b 2(t)
f x02 (x(t)) = G4(x(t); (t)):
Дальнейший анализ задачи управления состоит в исследовании гамильтоновой системы (
Качественный характер стационарного уровня
Частные производные правых частей Gi(x; ); (i = 1; : : : ; 4) системы (
1 B f 2(x ) @B f x02 bf x02 0 f x01
2 f x01 f x02 f x02 + 0 f x01 f x02 0 1
C 2 C
A 1 + b 2 f x002 (x )
1
f x001x2 (x )
(
PH1. Характеристический многочлен гамильтоновой матрицы M является четной функцией.
det(M E2n) = (
PH4. Если блоки M12 и M21 – положительно-определенные матрицы, то определитель гамильтоновой матрицы M отвечает неравенству (см. [11]) 2 =
M1T1: (12) Откуда следует, что матрица Якоби представима в виде J = M + =2E4. Утверждение 3 (PJ2). Собственные числа Якобиана и гамильтоновой матрицы M связаны равенством
J = M + =2: Доказательство. В силу свойства PJ1 характеристический многочлен якобиана можно записать det (J
J E) = det M + E 2
J E = det M
J E = det (M
M E): 2
E Следовательно, справедливо равенство M = J
=2, которое доказывает свойство. Утверждение 4 (PJ3). Гамильтонова матрица M (12) не имеет чисто мнимых собственных значений. Доказательство. Опираясь на свойство PH3, необходимо обосновать положительную определенность подматриц M12 и M21. Матрица M12 положительно определена, так как является диагональной, с положительными элементами на своей диагонали.
M12 =
1 Последняя матрица положительно определенная, так как является отрицательным гессианом максимизированного гамильтониана, который, в свою очередь, в силу вогнутости функции H(x; ) по векторной переменной x отрицательно определен. Таким образом, свойство доказано.
На основе вышеперечисленных утверждений, можно сформулировать теорему.
Теорема 2. Характеристический многочлен det(J E4) = 0 матрицы Якоби (
1 < 0; a4 = (2a22 trM4) = det M > 0: 4 (13) Более того, если дискриминант уравнения (13) неотрицателен, то есть a22 > 4a4, то оба корня 1 и 2 будут положительны и характеристические числа якобиана найдутся из соотношений 1;2 = p 1;2 + =2;
3;4 = p 1;2 + =2:
1;2;3;4 = pr
cos
Численный анализ чувствительности типа стационарной точки к изменениям параметров модели был
проведен для производственной функции Кобба–Дугласа y = f (x1; x2) = x1 x2 ; > 0; ; 2 (0; 1);
которая удовлетворяет всем требованиям PF1 и PF2. Для выполнения условий P1 P4 коэффициенты
эластичности должны лежать в интервалах 0 < < 0:5; 0 < < 0:5; 0 < + < 0:5:
Стационарная точка (x ; ) гамильтоновой системы (
Рис. 1. Дискриминант D как функция параметров и Рис. 2. Корни 1;2 как функции параметров и Для определения типа стационарной точки достаточно исследовать знак дискриминанта D( ), который в силу (13) записывается в виде D( ) = a22( ) 4a4( ), и сравнить действительные части корней (13) с 2=4: D(α), ρ = 0.18
D(α)
D = 0 Рис. 3. Зависимость дискриминанта D от параметра при = 0:05 Рис. 4. Зависимость дискриминанта D от параметра при = 0:18 На рисунках графически изображены поверхности, отвечающие дискриминанту D( ) многочлена (13) и действительным значениям его корней как функций от параметров модели , b и .
Графики дискриминанта D как функции переменных и (pис. 1, 3, 4) показывают, что для достаточно широкого спектра значений параметров величина D( ; ) остается положительной, что влечет седловой характер равновесия. Однако есть область (располагающаяся ниже уровня D = 0, отмеченной черным цветом на pис. 1), в которой дискриминант отрицателен, что свидетельствует о наличии критических значений параметров, когда стационарная точка становится типа фокус. Как видно из pис. 3 и 4, дискриминант будет отрицателен при = 0:05 и 2 (0:075; 0:165) или при 2 (0:03; 0:045) для = 0:18. Рис. 5. Зависимость дискриминанта D от параметров и b при 0 < 6 0:06 Рис. 6. Зависимость дискриминанта D от параметров и b при > 0:06 Аналогичный анализ был проведен для пары параметров (b; ): Из графиков (рис. 5, 6) видно, что параметр b не оказывает влияния на знак дискриминанта. Значения параметра дисконтирования , лежащие в диапазоне (0:015; 0:06), приводят к отрицательному дискриминанту, а при больших значениях параметра ( > 0:06) дискриминант будет положителен.
Важно отметить, что при любых значениях параметров , b, действительная часть корней уравнения (13) превосходит величину 2=4 (рис. 2, 7, 8). Это гарантирует выполнение условий существования нелинейного регулятора [8, 9, 10].
Рис. 7. Корни 1;2( ; b) при 0 <
В работе рассмотрены свойства матрицы Якоби гамильтоновой системы принципа максимума Понтрягина для задачи оптимального управления, основанной на двухсекторной модели экономического роста. Показано, что для задач рассматриваемого типа якобиан обладает рядом свойств, позволяющих понизить порядок характеристического многочлена в два раза. Проведенный анализ дает возможность численно оценить критические значения параметров модели, при которых качественное поведение оптимальБлагодарности Список литературы
Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект №15-11-10018). ных траекторий меняется, в частности, могут появляться циклы, когда дискриминант характеристического уравнения становится отрицательным. Численные эксперименты также обосновывают существование нелинейного регулятора, стабилизирующего гамильтонову систему вблизи установившегося состояния, для достаточно широкого спектра параметров модели. [12] A.A. Usova. Studying the properties of Hamiltonian systems and functions price in dynamic models of growth. Candidate’s thesis, 2012 (in Russian). = А.А. Усова. Изучение свойств гамильтоновых систем и функций цены в динамических моделях роста. Диссертация на соискание степени кандидата физ.-мат. наук, 2012.
Sensitivity of the qualitative behavior of the Hamiltonian tra jectories with respect to growth model parameters
Olga V. Russkikh2, Anastasya A. Usova1, Aleksandr M. Tarasyev1 1 – Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics (Yekaterinburg, Russia) 2 – Ural Federal University (Yekaterinburg, Russia) Keywords: optimal control problem, sensitivity analysis, growth models, Hamiltonian trajectories.
The paper is devoted to analysis of the qualitative behavior of optimal solutions in control problems with infinite time interval. The optimal control problem is based on the two-sector economic growth model. Sensitivity of the optimal trajectories with respect to the model parameters is analyzed. In particular, the case of the production function parameters and the discount factor is considered. It is shown that, for the wide range of admissible values of model parameters, the Hamiltonian dynamics has the steady state with the type of saddle or focus. Moreover, a half of eigenvalues has negative real parts, and another half of eigenvalues has strictly positive real parts. This fact confirms the existence of the nonlinear regulator stabilizing the Hamiltonian dynamics at the steady state neighborhood. Stabilized solutions of the Hamiltonian system approximate optimal trajectories in a vicinity of the equilibrium with the quadratic accuracy.