Чувствительность качественных характеристик гамильтоновой системы к изменениям параметров модели роста О.В. Русских2 А.А. Усова1 А.М. Тарасьев1 olga9696@mail.ru anastasy.ousova@gmail.com tam@imm.uran.ru 1 – ИММ УрО РАН (Екатеринбург) 2 – УрФУ (Екатеринбург) Аннотация Работа посвящена исследованию качественного поведения опти- мальных решений задачи управления на бесконечном промежутке времени. Постановка задачи основана на двухфакторной модели экономического роста. Анализируется чувствительность оптималь- ных траекторий к изменениям параметров модели, в частности к параметрам производственной функции и дисконтирующему мно- жителю. Показано, что для достаточно широкого диапазона до- пустимых значений параметров системы, гамильтонова динамика имеет стационарную точку типа седло или фокус, при этом ровно половина собственных значений системы обладает строго отрица- тельной действительной частью, а другая половина – строго по- ложительной. Данный факт позволяет говорить о существовании нелинейного регулятора, стабилизирующего гамильтонову систему вблизи установившегося состояния. Стабилизированные решения позволяют оценить поведение оптимальных решений в окрестно- сти положения равновесия с квадратичной точностью. 1 Введение Работа посвящена исследованию качественного поведения оптимальных траекторий задачи управления на бесконечном промежутке времени. Основу задачи составляет модель экономического роста, в которой за счет перераспределения инвестиционных потоков, направленных в производственные факторы, происхо- дит регулирование общего объема выпуска и оптимизация функционала качества. Общий объем выпуска зависит от факторов производства, эта связь описывается функцией Кобба–Дугласа. Функционал каче- ства процесса управления определяется интегральным индексом потребления, дисконтированным на бес- конечном промежутке времени. Параметр дисконтирования ρ играет важную роль в вопросе определения качественного поведения оптимальных траекторий. Характер равновесия гамильтоновой системы, возникающей вследствие применения принципа макси- мума Понтрягина [6] для задач на бесконечном промежутке времени [1], важен с точки зрения построения оптимальных траекторий. А именно, от типа стационарной точки зависит вопрос существования нелиней- ного регулятора, стабилизирующего гамильтонову систему вблизи равновесия. В работе [9, 10] доказано, Copyright c by the paper’s authors. Copying permitted for private and academic purposes. In: A.A. Makhnev, S.F. Pravdin (eds.): Proceedings of the 47th International Youth School-conference “Modern Problems in Mathematics and its Applications”, Yekaterinburg, Russia, 02-Feb-2016, published at http://ceur-ws.org 110 что в случае, когда стационарная точка является седлом, нелинейный регулятор существует, а стабили- зированные решения аппроксимируют оптимальные траектории с квадратичной точностью. Используя решение стабилизированной системы в окрестности равновесия, в обратном времени осуществляется вос- становление оптимальной траектории (см. [4, 9]). В данной работе рассматривается Якобиан гамильтоновой системы, вычисленный в стационарной точке. Показано, что матрица Якоби представима в виде суммы гамильтоновой и диагональной матриц. Про гамильтонову матрицу известно, что ее собственные значения симметричны относительно мнимой оси и меньше на ρ/2 собственных чисел Якобиана. Для различных параметров модели экономического роста экспериментально показано, что условия существования нелинейного регулятора выполняются, то есть ровно половина действительных частей собственных значений матрицы Якоби отрицательна, а другая половина — положительна. В первом разделе статьи описываются основные модельные переменные и осуществляется постановка задачи управления. Второй раздел посвящен исследованию задачи управления в рамках принципа макси- мума Понтрягина и построению гамильтоновой системы. В третьей части статьи проводится качественный анализ гамильтоновой системы и выписываются свойства матрицы Якоби. Полученные результаты приме- няются для задачи с производственной функцией типа Кобба–Дугласа. В последнем разделе приводятся результаты численного анализа характера равновесия гамильтоновой системы, указываются диапазоны значений параметров, при которых качественное поведение системы не меняется, то есть стационарная точка является либо седлом, либо фокусом. 2 Двухфакторная модель экономического роста Рассматривается задача оптимального управления, основанная на модели экономического роста, ко- торая нацелена на анализ изменений внутреннего валового продукта (ВВП) Y страны в зависимости от таких производственных факторов, как основные фонды K, человеческий капитал L и полезная работа U . Понятие полезной работы U было введено в работе [2], оно по сути определяется как разница между природными ресурсами R и отходами от переработки природных ресурсов W : U = R − W . В итоге, этот фактор есть объем переработанных природных ресурсов, используемых для дальнейшего производства. В данной версии модели этот параметр является экзогенным фактором. Связь между ВВП Y и производственными факторами описывается производственной функцией F (·): Y = F (K, L, U ) Человеческий капитал L определяется как величина, пропорциональная общей численности работаю- щего населения страны P (t) [7]. Таким образом, для человеческого капитала L справедливо соотношение L = EP, где положительный коэффициент пропорциональности E определяет эффективность труда. Предполагается, что изменение основного капитала K зависит от объема сбережений S(t) и темпов обесценивания капитала δ: K̇(t) = S(t) − δK(t), K(0) = K0 . Изменение человеческого капитала L(t) в момент времени t пропорционально инвестициям R(t), направ- ленным на увеличение эффективности труда: L̇(t) = bR(t), L(0) = L0 . Относительно объемов инвестирования основного капитала и эффективности труда отметим, что суммарно они не превышают ВВП страны в момент времени t Y (t) > S(t) + R(t) = (u1 (t) + u2 (t))Y (t) > 0 ⇒ 0 6 u1 (t) + u2 (t) < 1. Ввиду неотрицательности величин u1 (t) и u2 (t), можно выбрать два таких числа a1 и a2 , которые будут определять максимальные доли инвестиций, направленных в основной капитал K(t) и эффективность труда E(t) соответственно: 0 6 u1 (t) 6 a1 < 1, 0 6 u2 (t) 6 a2 < 1. Обозначим символом U = [0, a1 ] × [0, a2 ] область, которой принадлежат инвестиционные составляющие u1 , u2 , а символом u — вектор (u1 , u2 ). 111 Предполагается, что численность рабочей силы P (t) обладает экспоненциальной динамикой с темпом роста, равным постоянной положительной величине γ [7]: Ṗ (t) = γP (t). Введем величины y(t), x1 (t), x2 (t), v(t), определяющие в момент времени t ВВП Y (t), человеческий ка- питал L(t) и полезную работу U (t) [2], отнесенные к численности работающего населения P (t) страны соответственно: Y (t) K(t) L(t) U (t) y(t) = , x1 (t) = , x2 (t) = , v(t) = . P (t) P (t) P (t) P (t) Благодаря свойству положительной однородности производственной функции, в новых переменных она может быть записана в виде Y (t) y(t) = = F (x1 (t), x2 (t), v(t)). P (t) Динамика основного капитала x1 (t), отнесенного к численности рабочей силы, и эффективность труда x2 (t) изменяются согласно уравнениям ẋ1 (t) = u1 (t)y(t) − (δ + γ)x1 (t), x1 (t0 ) = x01 . (1) ẋ2 (t) = bu2 (t)y(t) − γx2 (t), x2 (t0 ) = x02 . (2) Полезная работа U (t) здесь рассматривается как экзогенный параметр. Предполагается, что относи- тельный уровень полезной работы v(t) = U (t)/P (t) есть постоянная величина v̄, определяемая среднеста- тистическим значением. Таким образом, производственная функция может быть записана в виде y = F (x1 , x2 , v̄) = f (x1 , x2 ) = f (x). Предполагается, что функция f (x) для x = (x1 , x2 ), где x1 > 0 и x2 > 0, удовлетворяет условиям PF1. Возрастания по переменным x1 и x2 , то есть fx0 1 (x) > 0 и fx0 2 (x) > 0; PF2. Строгой вогнутости, то есть матрица Гёссе является отрицательно определенной: ! fx002 (x) fx001 x2 (x) Hf = 1 < 0. fx001 x2 (x) fx002 (x) 2 В силу замкнутости экономической системы, уровень потребления C(t) определяется равенством C(t) = Y (t)(1 − u1 (t) − u2 (t)), которое может быт переписано в относительных величинах следующим образом: C(t) c(t) = = y(t)(1 − u1 (t) − u2 (t)) ≈ y(t)(1 − u1 (t))(1 − u2 (t)). P (t) Последнее равенство получено в предположении, что произведение u1 (t)u2 (t) имеет больший порядок ма- лости, нежели его составляющие u1 (t) и u2 (t). Функция полезности рассматривается в виде интеграла от логарифмического индекса потребления, дис- контированного на бесконечном промежутке времени: +∞ Z J(·) = e−ρt (ln (1 − u1 (t)) + ln (1 − u2 (t)) + ln f (x(t))) dt, ρ > 0. (3) 0 Положительный параметр ρ является дисконтирующим множителем. Описанная модель развития экономики за счет перераспределения инвестиционных потоков в различные факторы производства приводит к следующей постановке задачи оптимального управления на бесконечном промежутке времени. Задача. Требуется найти такие инвестиционные стратегии u0 (t) = (u01 (t), u02 (t)) ∈ U, которые мак- симизируют функционал J(·) (3) на траекториях динамической системы (1), (2). 112 3 Исследование задачи оптимального управления 3.1 Гамильтониан задачи управления Задача управления удовлетворяет всем условиям теоремы существования [3], а также условиям опти- мальности как для задач с бесконечным горизонтом в рамках принципа максимума Понтрягина [1, Теорема 18.2, стр. 171]. Выпишем гамильтониан задачи оптимального управления e = e−ρt ln (1 − u1 ) + ln (1 − u2 ) + ln f (x) + ψe1 (u1 f (x) − (δ + γ)x1 ) + ψe2 (bu2 f (x) − γx2 ).  H(t, e x, u, ψ) Сопряженные переменные ψe = (ψe1 , ψe2 ) определяют “теневую цену” капитала x1 и эффективности труда x2 соответственно. Выпишем необходимые условия оптимальности согласно работе [1, Теорема 18.2, стр. 171] применительно к исследуемой задаче управления. Теорема 1 (Асеев С.М., Кряжимский А.В.). Пусть набор (x0 , u0 ) = (x01 , x02 ; u01 , u02 ) обозначает опти- мальный процесс. Тогда существует вектор сопряженных переменных ψe = (ψ f1 , ψ f2 ), соответствующий процессу (x01 , x02 ; u01 , u02 ) и удовлетворяющий сопряженным уравнениям ˙ ∂He ˙ ∂He ψ f 1 =− (t, x0 (t); u0 (t), ψ(t)), e ψ f 2 =− (t, x0 (t); u0 (t), ψ(t)), e такой, что ∂x1 ∂x2 1. Процесс (x0 , u0 ) удовлетворяет условиям принципа максимума Понтрягина вместе с сопряженными переменными ψ f1 и ψ f2 e x0 (t); u0 (t), ψ(t)) H(t, e e x0 (t); u, ψ(t)), = max H(t, e u∈U 0 0 2. Процесс (x , u ) и сопряженные переменные ψ f1 и ψ f2 удовлетворяют условию стационарности +∞ Z e x0 (t); u0 (t), ψ(t)) e−ρτ ln (1 − u01 (τ )) + ln (1 − u02 (τ )) + ln f (x0 (τ )) dτ ,  H(t, e =ρ t 3. Сопряженные переменные положительны: ψ f1 (t) > 0,  ψ f2 (t) > 0,  ∀t > 0. 4. Выполнено условие трансверсальности limx→∞ ψ1 x1 (t) + ψ2 x2 (t) = 0. f f Для дальнейшего описания удобно сделать замену переменных ψ1 = eρt ψe1 , ψ2 = eρt ψe2 и H(·) b = eρt H(·), e которая избавит гамильтониан от явной зависимости от переменной времени t H(x, b u, ψ) = ln (1 − u1 ) + ln (1 − u2 ) + ln f (x) + ψ1 (u1 f (x) − (δ + γ)x1 ) + ψ2 (bu2 f (x) − γx2 ). (4) Известно [12], что гамильтонова функция H(x, b u, ψ) (4) задачи управления обладает свойствами. P1. Гамильтониан H(x, u, ψ) (4) строго вогнут по переменным управления u1 и u2 . b P2. Максимизированный гамильтониан задачи управления H(x, ψ) строится в соответствии с прави- лом H(x, ψ) = max H(x, b u, ψ) = H(x, b uij , ψ), u0ij = (u01i , u02j ), (x, ψ) ∈ Dij = ∆i1 ∩ ∆j2 , (i, j = 1, 2, 3), u∈U где множества ∆i1 и ∆j2 определяются следующим образом (здесь Ai = (1 − ai )−1 , i = 1, 2): ∆11 = {(x, ψ) : ψ1 f (x) 6 1}, u1 = 0; ∆12 = {(x, ψ) : bψ2 f (x) 6 1}, u2 = 0; 1 1 ∆21 = {(x, ψ) : 1 6 ψ1 f (x) 6 A1 } , u01 = 1 − ; ∆22 = {(x, ψ) : 1 6 bψ2 f (x) 6 A2 } , u02 = 1 − ; ψ1 f (x) bψ2 f (x) ∆31 = {(x, ψ) : ψ1 f (x) > A1 } , u01 = a1 ; ∆32 = {(x, ψ) : bψ2 f (x) > A2 } , u02 = a2 . Таким образом, максимизированный гамильтониан H(x, ψ) склеивается из 9 ветвей Hij (x, ψ), каждая из которых определена на области Dij , где действует пара управлений (u01i , u02j ), i, j = 1, 2, 3. P3. Максимизированный гамильтониан H(x, ψ) есть гладкая функция своих переменных x1 , x2 , ψ1 , ψ2 . 113 P4. Максимизированный гамильтониан H(x, ψ) является строго вогнутой функцией по фазовым пе- ременным при положительных значениях сопряженных переменных ψ1 > 0, ψ2 > 0 во всех областях своего определения Dij , i, j = 1, 2, 3, кроме области переменного управления D22 . В области перемен- ного управления D22 для строгой вогнутости максимизированного гамильтониана H(x, ψ) требуется отрицательная определенность матрицы ∂f   −f (x) fx0 1 (x) fx0 2 (x)  0 fx002 (x) fx001 x2 (x)  ∂f (x) =  fx1 (x) 1  ∀ (x, ψ) ∈ D22 , ψ1 > 0, ψ2 > 0. (5) fx0 2 (x) fx001 x2 (x) fx002 (x) 2 Перечисленные свойства максимизированной гамильтоновой функции H(x, ψ), обеспечивающие глад- кость по переменным (x, ψ) и строгую вогнутость по фазовым переменным x = (x1 , x2 ) для всех положи- тельных значений компонент сопряженного вектора ψ = (ψ1 , ψ2 ), гарантируют, что необходимые условия оптимальности принципа максимума Понтрягина являются достаточными [4]. 3.2 Гамильтонова система Для исследования качественного поведения оптимальных траекторий необходимо построить гамильто- нову систему, которая вычисляется согласно формулам ∂H(x(t), ψ(t)) ∂H(x(t), ψ(t)) ẋi (t) = , ψ̇i (t) = ρψi (t) − , i = 1, 2, 3. (6) ∂ψi ∂xi Согласно этим соотношениям, гамильтонова система имеет вид    ẋ1 (t) = u01 (t)f (x(t)) − (δ + γ)x1 (t) = G1 (x(t), ψ(t)), ẋ2 (t) = bu02 (t)f (x(t)) − γx2 (t) = G2 (x(t), ψ(t)),        0 1 0 0 ψ̇1 (t) = (δ + γ + ρ)ψ1 (t) − fx1 (x(t)) + u1 (t)ψ1 (t) + bu2 (t)ψ2 (t) = G3 (x(t), ψ(t)),    f (x(t))    0 1 0 0  ψ̇2 (t) = (γ + ρ)ψ2 (t) − fx2 (x(t)) + u1 (t)ψ1 (t) + bu2 (t)ψ2 (t) = G4 (x(t), ψ(t)).   f (x(t)) Согласно результатам исследования, проведенного в работе [12], стационарная точка может существовать только в областях Dij с ненулевым режимом управления, i, j > 2. В этой связи, наиболее интересным представляется случай для области переменного управления D22 , которая описывается соотношениями   1 1 D22 = (x, ψ) : 1 6 ψ1 f (x) 6 , 1 6 bψ2 f (x) 6 . (7) 1 − a1 1 − a2 Гамильтонова система в области D22 (7) принимает вид  1  ẋ1 (t) = f (x(t)) − (δ + γ)x1 (t) − = G1 (x(t), ψ(t)) ψ1 (t)    1     ẋ2 (t)   = bf (x(t)) − γx2 (t) − = G2 (x(t), ψ(t)) ψ2 (t)  (8) 1   ψ̇ 1 (t) = (δ + γ + ρ)ψ 1 (t) − ψ1 (t) + bψ2 (t) − fx0 1 (x(t)) = G3 (x(t), ψ(t))     f (x(t))  1    ψ̇1 (t) = (γ + ρ)ψ2 (t) − ψ1 (t) + bψ2 (t) − fx0 2 (x(t)) = G4 (x(t), ψ(t)).   f (x(t)) Дальнейший анализ задачи управления состоит в исследовании гамильтоновой системы (8). Известно [4, 9, 10], что если гамильтонова система (8) обладает стационарной точкой, являющейся седлом или фо- кусом, то существует нелинейный регулятор, стабилизирующий динамическую систему (8) в окрестности установившегося состояния. Стабилизированные решения позволяют оценить асимптотическое поведение оптимальных решений с квадратичной точностью. Данное обстоятельство также играет ключевую роль в алгоритме построения оптимальных решений [4, 9]. 114 4 Качественный характер стационарного уровня Для дальнейшего анализа будем предполагать, что стационарная точка системы (8) существует и един- ственна. В случае с производственной функцией типа Кобба–Дугласа это предположение выполняется (см. [12]). Более того, можно сформулировать достаточные условия принадлежности стационарной точки (x∗ , ψ ∗ ) системы уравнений (8) области переменного управления D22 (7). Утверждение 1. Пусть система (8) обладает единственной стационарной точкой (x∗ , ψ ∗ ) и выполнены неравенства δ+γ ac 6 a1 < 1, ac 6 a2 < 1, где ac = . (9) δ+γ+ρ Тогда стационарная точка (x∗ , ψ ∗ ) лежит в области переменных управляющих воздействий D22 (7). Отметим, что стационарная точка x∗ и соответствующие этому состоянию управления (u∗1 , u∗2 ), которые (в условиях Утверждения 1 ) находятся по формулам x∗1 γ x∗2 u∗1 = (δ + γ) , u ∗ 2 = , f (x∗ ) b f (x∗ ) является равновесным решением задачи управления. Следующим шагом необходимо определить характер установившегося состояния. 4.1 Качественное поведение решений гамильтоновой системы вблизи стационарной точки Для определения качественного поведения оптимальных решений вблизи стационарного уровня (x∗ , ψ ∗ ), который, будем предполагать, существует, необходимо вычислить собственные числа матрицы Якоби J. 2 2 ∂G1x ∂G1ψ ∂Gi (x∗ , ψ ∗ ) ∂Gi (x∗ , ψ ∗ )     1 1 J= , где ∂Gx = , ∂Gψ = , (10) ∂G2x ∂G2ψ ∂xj i,j=1 ∂ψj i,j=1 2 2 ∂G2+i (x∗ , ψ ∗ ) ∂G2+i (x∗ , ψ ∗ )   2 2 ∂Gx = , ∂Gψ = . ∂xj i,j=1 ∂ψj i,j=1 Частные производные правых частей Gi (x, ψ), (i = 1, . . . , 4) системы (8) находятся по формулам, в которых все выражения вычисляются в стационарной точке x∗ :  0 −2 fx0 2     ∗ 1 fx1 δ+γ 0 1 ψ1 0 T ∂Gx = − , ∂Gψ = , ∂G2ψ = − ∂G1x + ρE2 , bfx0 1 bfx0 2 0 γ 0 ψ2∗   2  f 0 f 0 f 0 ! (11) fx002 (x∗ ) fx001 x2 (x∗ ) x1 x1 x2    2 1  ∗ ∗ 1 ∂Gx = − 2 ∗  − ψ + bψ − 1 . fx001 x2 (x∗ ) fx002 (x∗ ) 2   1 2 f (x∗ )   f (x )  0 0 fx1 fx2 fx0 2 2 Якобиан (11) обладает рядом свойств, позволяющих оценить его собственные значения. Для описания этих свойств потребуется понятие гамильтоновой матрицы.   M11 M12 Определение 1. Рассмотрим блочную квадратную матрицу M = . Матрица M M21 M22 2n×2n называется гамильтоновой, если ее блоки M12 и M21 являются симметрическими матрицами и выполнено T равенство M11 + M22 = On , где On — нулевая матрица порядка n. Перечислим наиболее значимые свойства гамильтоновых матриц. PH1. Характеристический многочлен гамильтоновой матрицы M является четной функцией. Доказательство. Для любой гамильтоновой   матрицы M  справедливо равенство, легко проверяемое непосред- 1 On En T On −En ственным умножением , M = −M, при помощи которого получим требуемое: −E On E On  n  n   2n On En T On −En det(M − λE2n ) = (−1) det M + λE2n = det (M T + λE2n ) = det (M + λE2n ).  −En On En On PH2. Собственные значения гамильтоновой матрицы M симметричны относительно мнимой оси.2 1 Здесь и далее E — единичная матрица порядка n. n 2 Является следствием Свойства PH1. 115 PH3. Если блоки M12 и M21 – положительно-определенные матрицы, то гамильтонова матрица M не имеет чисто мнимых собственных значений (см. [5]). PH4. Если блоки M12 и M21 – положительно-определенные матрицы, то определитель гамильтоновой матрицы M отвечает неравенству (см. [11]) (−1)n det M > det M12 det M21 > 0. Используя понятие гамильтоновой матрицы, исследуем якобиан J (10)-(11) исходной задачи управления. Утверждение 2 (PJ1). Якобиан (10), (11) гамильтоновой системы (8) представим в виде суммы га- мильтоновой и диагональной матриц J = M + ρ/2E4 . Доказательство. В силу формул (11), определяющих блоки якобиана, имеем ρ T ρ M11 = ∂G1x − , M12 = ∂G1ψ , M21 = ∂G2x , M22 = − ∂G1x + = −M11 T . (12) 2 2 Откуда следует, что матрица Якоби представима в виде J = M + ρ/2E4 .  Утверждение 3 (PJ2). Собственные числа Якобиана и гамильтоновой матрицы M связаны равенством λJ = λM + ρ/2. Доказательство. В силу свойства PJ1 характеристический многочлен якобиана можно записать  ρ    ρ  det (J − λJ E) = det M + E − λJ E = det M − λJ E − E = det (M − λM E). 2 2 Следовательно, справедливо равенство λM = λJ − ρ/2, которое доказывает свойство.  Утверждение 4 (PJ3). Гамильтонова матрица M (12) не имеет чисто мнимых собственных значений. Доказательство. Опираясь на свойство PH3, необходимо обосновать положительную определенность подматриц M12 и M21 . Матрица M12 положительно определена, так как является диагональной, с поло- жительными элементами на своей диагонали. 1/(ψ1∗ )2   0 M12 = > 0. 0 1/(ψ2∗ )2 Положительная определенность матрицы M21 следует из свойств P3 и P4 максимизированного гамиль- тониана. В силу того, что H(x, ψ) есть гладкая и строго вогнутая функция по векторной переменной x = (x1 , x2 ), а также формул (6) имеем  0  0    ∂H(x∗ , ψ ∗ ) ∂H(x∗ , ψ ∗ ) 2 ∗ ∗ 2 ∗ ∗  ρψ1 − ρψ1 −   ∂ H(x , ψ ) ∂ H(x , ψ )  2  ∂x 1 x ∂x 1 x   ∂x21 ∂x1 ∂x2  M21 = ∂Gx =  1 2  = − . 0 0  ∂H(x∗ , ψ ∗ ) ∂H(x∗ , ψ ∗ )  ∂ 2 H(x∗ , ψ ∗ ) ∂ 2 H(x∗ , ψ ∗ )          ρψ2 − ρψ2 − ∂x2 x1 ∂x2 x2 ∂x2 ∂x1 ∂x22 Последняя матрица положительно определенная, так как является отрицательным гессианом максими- зированного гамильтониана, который, в свою очередь, в силу вогнутости функции H(x, ψ) по векторной переменной x отрицательно определен. Таким образом, свойство доказано.  На основе вышеперечисленных утверждений, можно сформулировать теорему. Теорема 2. Характеристический многочлен det(J − λE4 ) = 0 матрицы Якоби (10), вычисленный в стационарной точке, заменой τ = (λ − ρ/2)2 приводится к виду trM2 1 τ 2 + a2 τ + a4 = 0, a2 = − < 0, a4 = (2a22 − trM4 ) = det M > 0. (13) 2 4 Более того, если дискриминант уравнения (13) неотрицателен, то есть a22 > 4a4 , то оба корня τ1 и τ2 будут положительны и характеристические числа якобиана найдутся из соотношений √ √ λ1,2 = − τ1,2 + ρ/2, λ3,4 = τ1,2 + ρ/2. 116 Если дискриминант уравнения (13) отрицателен (a22 < 4a4 ), то корни этого уравнения представимы в виде τ1,2 = r(cos ϕ ± i sin ϕ) и собственные числа матрицы Якоби отвечают формулам s √  ϕ ϕ ρ √ 4a4 λ1,2,3,4 = r ± cos ± i sin + , r = a4 , ϕ = arctan − 1. 2 2 2 a22 Замечание. Напомним, что условия существования нелинейного регулятора [8, 9, 10] требуют, чтобы ровно половина действительных частей собственных чисел якобиана была отрицательна, а другая половина — положительна. Для выполнения этого условия необходимо и достаточно, чтобы корни уравнения (13) удовлетворяли неравенству Re(τ1,2 ) > ρ2 /4. Аналитически проверить выполнение указанного условия не удается ввиду большого количества пара- метров модели. Поэтому в следующем разделе приводятся результаты численных экспериментов, подтвер- ждающих выполнение этого условия, что гарантирует (для исследуемого диапазона параметров эластич- ности производственной функции Кобба–Дугласа и величин ρ, b) существование нелинейного регулятора. 4.2 Численные эксперименты Численный анализ чувствительности типа стационарной точки к изменениям параметров модели был β проведен для производственной функции Кобба–Дугласа y = f (x1 , x2 ) = µxα 1 x2 , µ > 0, α, β ∈ (0, 1), которая удовлетворяет всем требованиям PF1 и PF2. Для выполнения условий P1 — P4 коэффициенты эластичности должны лежать в интервалах 0 < α < 0.5, 0 < β < 0.5, 0 < α + β < 0.5. Стационар- ная точка (x∗ , ψ ∗ ) гамильтоновой системы (8) с производственной функцией Кобба–Дугласа может быть найдена аналитически [12]. Рис. 1. Дискриминант D как функция Рис. 2. Корни τ1,2 как функции параметров α и ρ параметров α и ρ Для определения типа стационарной точки достаточно исследовать знак дискриминанта D(·), который в силу (13) записывается в виде D(·) = a22 (·) − 4a4 (·), и сравнить действительные части корней (13) с ρ2 /4. D(α), ρ = 0.18 12 10 8 D(α) 6 D=0 4 2 0 -2 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 Рис. 3. Зависимость дискриминанта D Рис. 4. Зависимость дискриминанта D от параметра α при ρ = 0.05 от параметра α при ρ = 0.18 117 На рисунках графически изображены поверхности, отвечающие дискриминанту D(·) многочлена (13) и действительным значениям его корней как функций от параметров модели ρ, b и α. Графики дискриминанта D как функции переменных α и ρ (pис. 1, 3, 4) показывают, что для до- статочно широкого спектра значений параметров величина D(α, ρ) остается положительной, что влечет седловой характер равновесия. Однако есть область (располагающаяся ниже уровня D = 0, отмеченной черным цветом на pис. 1), в которой дискриминант отрицателен, что свидетельствует о наличии крити- ческих значений параметров, когда стационарная точка становится типа фокус. Как видно из pис. 3 и 4, дискриминант будет отрицателен при ρ = 0.05 и α ∈ (0.075; 0.165) или при α ∈ (0.03; 0.045) для ρ = 0.18. Рис. 5. Зависимость дискриминанта D Рис. 6. Зависимость дискриминанта D от параметров ρ и b при 0 < ρ 6 0.06 от параметров ρ и b при ρ > 0.06 Аналогичный анализ был проведен для пары параметров (b, ρ). Из графиков (рис. 5, 6) видно, что пара- метр b не оказывает влияния на знак дискриминанта. Значения параметра дисконтирования ρ, лежащие в диапазоне (0.015, 0.06), приводят к отрицательному дискриминанту, а при больших значениях параметра ρ (ρ > 0.06) дискриминант будет положителен. Важно отметить, что при любых значениях параметров α, b, ρ действительная часть корней уравне- ния (13) превосходит величину ρ2 /4 (рис. 2, 7, 8). Это гарантирует выполнение условий существования нелинейного регулятора [8, 9, 10]. Рис. 7. Корни τ1,2 (ρ, b) при 0 < ρ 6 0.06 Рис. 8. Корни τ1,2 (ρ, b) при ρ > 0.06 5 Заключение В работе рассмотрены свойства матрицы Якоби гамильтоновой системы принципа максимума Понтря- гина для задачи оптимального управления, основанной на двухсекторной модели экономического роста. Показано, что для задач рассматриваемого типа якобиан обладает рядом свойств, позволяющих пони- зить порядок характеристического многочлена в два раза. Проведенный анализ дает возможность чис- ленно оценить критические значения параметров модели, при которых качественное поведение оптималь- 118 ных траекторий меняется, в частности, могут появляться циклы, когда дискриминант характеристическо- го уравнения становится отрицательным. Численные эксперименты также обосновывают существование нелинейного регулятора, стабилизирующего гамильтонову систему вблизи установившегося состояния, для достаточно широкого спектра параметров модели. Благодарности Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект №15-11-10018). Список литературы [1] S.M. Aseev, A.V. Kryazhimskiy. The Pontryagin maximum principle and optimal economic growth problems Pontryagin’s maximum principle and optimal economic growth problems. Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 257(1):1–255, 2007. = С.М. Асеев, А. В. Кряжимский. Принцип максимума Понтрягина и задачи оптимального экономического роста. Тр. МИАН, М.: Наука, 257:3—271, 2007. [2] R.U. Ayres, B. Warr. The Economic Growth Engine: How Energy and Work Drive Material Prosperity. Edward Elgar Publishing, Cheltenham UK, 2009. [3] E.J. Balder. An existence result for optimal economic growth problems. J. Math. Anal. Appl., 95:195–2013, 1983. [4] A. Krasovskii, A. Tarasyev. Conjugation of Hamiltonian Systems in Optimal Control Problems. Proceedings of the 17th IFAC World Congress, COEX, South Korea, 17(1):7784–7789, 2008. [5] C. Paige, C. van Loan. A Schur decomposition for Hamiltonian matrices. Linear Algebra and its Applications, 41:11–32, 1981. [6] L.S. Pontryagin. Ordinary differential equations. Addison-Wesley; Pergamon, 1962. = Л.С. Понтрягин. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1974. [7] W.C. Sanderson. The SEDIM Model: Version 0.1. IIASA Interim Report IR–04–041, 2009. [8] A.M. Tarasyev, A.A. Usova. Construction of a regulator for the Hamiltonian system in a two-sector economic growth model. Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 271(1):265–285, 2010. = А.М. Тарасьев, А.А. Усова. Построение регулятора для гамильтоновой системы двухсекторной модели экономического роста. Тр. МИАН, 271:278–298, 2010. [9] A.M. Tarasyev, A.A. Usova. Stabilizing the Hamiltonian system for constructing optimal trajectories. Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 277(1):248–265, 2012. = А.М. Тарасьев, А.А. Усова. Стабилизация гамильтоновой системы для построения оптимальных траекторий. Тр. МИАН, 277:257– 274, 2012. [10] A.M. Tarasyev, A.A. Usova. The sensitivity of the phase portrait of Hamiltonian systems for the growth of resource economy model. Proc. of the Int. conf. “Systems dynamics and control processes”, IMM UbRAS, 317–324, 2015 (in Russian). = А.М. Тарасьев, А.А. Усова. Чувствительность фазовых портретов гамиль- тоновых систем для модели роста ресурсозависимой экономики Труды междунар. конф. к 90-летию со дня рождения акад. Н.Н. Красовского «Динамика систем и процессы управления», ИММ УрО РАН, 317–324, 2015. [11] A.M. Tarasyev, A.A. Usova. Structure of the Jacobian in economic growth models. Proceedings of the 16th IFAC Workshop, CAO’2015, Garmisch-Partenkirchen, Germany, 2015. [12] A.A. Usova. Studying the properties of Hamiltonian systems and functions price in dynamic models of growth. Candidate’s thesis, 2012 (in Russian). = А.А. Усова. Изучение свойств гамильтоновых систем и функций цены в динамических моделях роста. Диссертация на соискание степени кандидата физ.-мат. наук, 2012. 119 Sensitivity of the qualitative behavior of the Hamiltonian trajectories with respect to growth model parameters Olga V. Russkikh2 , Anastasya A. Usova1 , Aleksandr M. Tarasyev1 1 – Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics (Yekaterinburg, Russia) 2 – Ural Federal University (Yekaterinburg, Russia) Keywords: optimal control problem, sensitivity analysis, growth models, Hamiltonian trajectories. The paper is devoted to analysis of the qualitative behavior of optimal solutions in control problems with infinite time interval. The optimal control problem is based on the two-sector economic growth model. Sensitivity of the optimal trajectories with respect to the model parameters is analyzed. In particular, the case of the production function parameters and the discount factor is considered. It is shown that, for the wide range of admissible values of model parameters, the Hamiltonian dynamics has the steady state with the type of saddle or focus. Moreover, a half of eigenvalues has negative real parts, and another half of eigenvalues has strictly positive real parts. This fact confirms the existence of the nonlinear regulator stabilizing the Hamiltonian dynamics at the steady state neighborhood. Stabilized solutions of the Hamiltonian system approximate optimal trajectories in a vicinity of the equilibrium with the quadratic accuracy. 120