=Paper=
{{Paper
|id=Vol-1662/top3
|storemode=property
|title=О выпуклых соединениях правильногранных пирамид(About convex connections of regular-faced pyramids)
|pdfUrl=https://ceur-ws.org/Vol-1662/top3.pdf
|volume=Vol-1662
|authors=Egor V. Poltanov,Darya N. Sudak,Aleksei V. Timofeenko,Aleksandra V. Yakusheva
}}
==О выпуклых соединениях правильногранных пирамид(About convex connections of regular-faced pyramids)==
https://ceur-ws.org/Vol-1662/top3.pdf
О выпуклыx соединенияx правильногранных пирамид
Е.В. Полтанов1 Д.Н. Судак2 А.В. Тимофеенко2
cozdatel.007@mail.ru dashe4ka-93@mail.ru A.V.Timofeenko62@mail.ru
А.В. Якушева1
yaps1980@yandex.ru
1 – МОУ школа 149 (Красноярск) 2 – СФУ (Красноярск)
Аннотация
Выпуклый многогранник с рёбрами длины один или два составлен
из не более четырнадцати правильногранных пирамид с единичны-
ми рёбрами тогда и только тогда, когда он является одним из 57
многогранников. Каждый из них представлен формулой или про-
екциями.
Введение
Известно, что с точностью до подобия существует ровно три правильногранные пирамиды. При класси-
фикации выпуклых правильногранных тел [1] они получили обозначения M1 , M2 , M3 , которым в указанном
порядке соответствуют тетраэдр и пирамиды с квадратным и пятиугольным основаниями. Несколько лет
назад доказано, что кроме бесконечных серий призм и антипризм, существует только 186 выпуклых мно-
гогранников, каждая грань которых составлена из одного или нескольких правильных многоугольников
так, что каждая вершина этого многоугольника является и вершиной многогранника. Из этих 186 тел 78
обладают неправильными гранями. Все пять таких граней получены соединением треугольника, квадрата
и пятиугольника с треугольником, а также квадрата и пятиугольника с двумя треугольниками. Они слу-
жат примерами паркетных многоугольников, все 23 типа которых были перечислены Ю. А. Пряхиным [2],
а полнота списка доказана в работе [3].
Более четырёх десятилетий назад было замечено [2], что найти все типы выпуклых многогранников с
паркетными гранями можно по схеме, которой придерживались авторы теоремы о классификации выпук-
лых многогранников с правильными гранями [1]. Понятно также, что реализация этой схемы встречает
гораздо больший, чем в работе [1], объём вычислений. Видимо поэтому до сих пор известно только, что
кроме четырех бесконечных серий несоставных многогранников с паркетными гранями, существует лишь
конечное число типов таких тел. В настоящей работе описаны те вычисления, которые невозможно обойти
при реализации схемы из [1]. Они привели к нахождению каждого составленного из не более 14 правильно-
гранных пирамид с единичными рёбрами выпуклого многогранника, длины рёбер которого не превосходят
числа два. Описаны также все разбиения такого многогранника на тела с паркетными гранями.
Словосочетание «многогранник P составлен из правильногранных пирамид» в настоящей работе озна-
чает, что до каждой такой пирамиды можно добраться за несколько шагов, рассекая на каждом шаге
тело P плоскостью на два выпуклых многогранника, каждый из которых составлен из правильногранных
пирамид. О других разбиениях будет рассказано в следующей работе.
Copyright c by the paper’s authors. Copying permitted for private and academic purposes.
In: A.A. Makhnev, S.F. Pravdin (eds.): Proceedings of the 47th International Youth School-conference “Modern Problems in
Mathematics and its Applications”, Yekaterinburg, Russia, 02-Feb-2016, published at http://ceur-ws.org
148
1 Выпуклые соединения не более 14 правильногранных пирамид
Из 57 многогранников теоремы только тринадцать не помечены кружком, который указывает на попа-
дающие внутрь ребра или грани вершины правильных многоугольников, из которых составлены некоторые
грани. Даже если к этим тринадцати добавить несколько тел, для которых в теореме есть подобный или
равнотипный многогранник, то всё равно очевидно кратное увеличение вычислений в сравнении с класси-
фикацией выпуклых правильногранников [1, 4, 5].
Теорема. Выпуклый многогранник с рёбрами длины один или два составлен из не более четырнадцати
правильногранных пирамид с единичными рёбрами тогда и только тогда, когда он является одним из
следующих тел:
M1 , M 2 , M 3 , (1)
S1,1 + M1 , S1,1 + M2 , S1,2 + M2 , S1,3 + M3 , (2)
◦ ◦
S2,2 + M1 , S2,2 + M2 , S2,2 + M20 , (3)
◦ ◦
S3,1 + M2 , S3,1 + M20 , S3,2 + M1 , S2,2 + S2,2 , 0
S2,2 + S2,2 , ◦ 00
S2,2 + S2,2 , (4)
◦ ◦
S4,1 + M1 , S4,4 + M2 , (5)
◦ ◦ ◦ ◦ ◦
S5,1 + M1 , S5,2 + M1 , S5,2 + M2 , S3,1 + S3,1 , S3,1 + S3,3 , (6)
◦ ◦
S6,2 + M1 , S6,5 + M2 , S4,6 + S3,1 , (7)
◦ ◦ ◦ ◦ ◦
S7,1 + M1 , S7,2 + M1 , S7,3 + M2 , S6,2 + S2,2 , S6,5 + S2,2 , S5,1 + S3,1 , (8)
◦ ◦ ◦
S8,3 + M2 , S6,5 + S3,1 , S6,5 + S3,3 , (9)
◦ ◦ ◦ ◦ ◦
S9,1 + M1 , S9,1 + M2 , S9,3 + M2 , S8,3 + S2,2 , S5,1 + S5,1 , (10)
◦ ◦ ◦
S10,1 + M2 , S10,4 + M2 , S10,5 + M1 , (11)
◦ ◦ ◦ 0 ◦
S11,2 + M1 , S11,3 + M1 , S9,1 + S3,1 , S9,1 + S3,1 , S9,3 + S3,1 , (12)
◦ ◦ ◦
S12,3 + M2 , S12,4 + M1 , S10,4 + S3,1 , (13)
◦ ◦ ◦ ◦ 0
S13,1 + M1 , S13,1 + M2 , S13,3 + M2 , S12,3 + S2,2 , S7,3 + S7,3 , S7,3 + S7,3 , (14)
причём многогранник Si,j расположен в списке (i) на j-м месте:
0
S1,1 = M1 , S1,2 = M2 , S1,3 = M3 , S2,1 = S1,1 + M1 , ..., S14,6 = S7,3 + S7,3 ;
штрих указывает на различие многогранников, составленных из двух одинаковых тел, кружком поме-
чены тела с фиктивными вершинами.
Отметим совпадение некоторых многогранников теоремы с известными, ставшими классическими те-
лами, обозначения которых можно найти в работе [4], см. также Атласы R. Tupelo-Schneck (http://tupelo-
schneck.org/polyhedra/) и E. Weisstein (http://mathworld.wolfram.com/JohnsonSolid.html): треугольная би-
пирамида P2,21 = J12 = S2,1 , скошенная треугольная призма P2,22 = S2,2 , октаэдр [34 ] = S2,3 , пяти-
угольная бипирамида P2,27 = J13 = S2,4 , наращённый октаэдр P3,33 = S3,2 , дважды наращённый октаэдр
P4,11 = S4,3 , скошенный куб P4,30 = S4,4 , двойная наращённая 4-угольная пирамида P4,31 = S4,5 , тетраэдр
149
2
M1 = S6,1 = S5,1 + M1 с двойными рёбрами, трёхскатный купол M4 = S7,3 = J3 = S4,6 + S3,1 , наращён-
ный трёхскатный купол P2,25 = S8,3 , усечённая пирамида M2a = S9,3 = S6,5 + S3,3 , 4-угольная пирамида
2
M2 = S10,3 c двойными рёбрами, наклонная призма Q1 = S12,3 с шестиугольными основаниями, трёхскат-
ный прямой бикупол S14,5 = P2,35 = M4 + M4 = J27 , кубооктаэдр S14,6 = P2,36 = M4 + M40 = [3, 4, 3, 4].
О разбиении на правильногранные пирамиды архимедовых тел M4 и M10 см. [6], а о том, как разбить на
такие пирамиды многограник Иванова Q1 , см. [7].
Доказательство. По каждой правильногранной пирамиде и каждому соединению этих пирамид будем
строить модель, в которой закрашены только фундаментальные грани, т.е. такие взятые в минимальном
количестве грани многогранника, действуя на которые симметриями этого тела, получаем все его грани.
Например, на рис. 1 многогранник S4,1 закрашен в спектральном порядке согласно его обозначению ◦ S3,1 +
M2 =◦ ((M1 + M2 ) + M1 ) + M2 в теореме. Другими словами, красным цветом закрашен тетраэдр M1 ,
присоединённая к нему пирамида M2 закрашена оранжевым цветом, соединённый с призмой M1 + M2
тетраэдр окрашен жёлтым цветом и зелёным — 4-угольная пирамида M2 , соединённая с телом ◦ (M1 +
M2 ) + M1 .
Если любые две грани многогранника различны, то множество его фундаментальных граней совпадает
с множеством всех граней этого тела. Если же есть хотя бы две одинаковые грани, то список фундамен-
тальных граней может быть меньше списка всех граней. Он действительно будет меньше, если существует
симметрия, то есть совмещающее с собой многогранник движение, которое одну его грань отображает на
другую.
Следовательно, если многогранник – будем обозначать его P – обладает одинаковыми гранями, то
требуется искать симметрии этого многогранника, точнее группу симметрий тела P , за которой закре-
пим обозначение Aut P . Все повороты, совмещающие с собой P , образуют подгруппу, которую обозначим
Aut+ P .
Как найти все повороты группы Aut+ P ?
Прежде всего заметим, если такой поворот существует, то его ось проходит через вершину, или центр
грани, или середину ребра. Это значит, что, выяснив для каждой вершины, каждого центра грани и каждой
середины ребра, лежат ли они на оси поворота группы Aut+ P , получим ответ на поставленный вопрос.
Однако на практике необходимых для рассмотрения случаев будет гораздо меньше.
Например, многогранник S4,1 обладает единственным ребром длины 2, рис. 1. Поэтому поворот группы
Aut+ S4,1 отображает его на себя. Следовательно, существует не более одной оси поворота, совмещающего
с собой тело S4,1 . Очевидно, что такая ось существует и кроме середины общего ребра трапеций содержит
общую вершину ромбов. Следовательно, группа Aut+ S4,1 состоит из тождественного преобразования и
найденного поворота на 180◦ . Если подгруппа Aut+ P не совпадает с группой Aut P , то между поворотами
группы Aut+ P , и симметриями второго рода из разности Aut P \ Aut+ P существует взаимно-однозначное
соответствие. Поэтому необходимо либо доказать, что несобственных симметрий не существует, либо найти
еще две несобственные симметрии. Ими являются отражения от перпендикулярных плоскостей с общей,
рассмотренной выше, осью поворотов. Приходим к списку фундаментальных граней тела S4,1 : треугольник,
ромб, трапеция, рис. 2.
Рис. 1: Закраска тела S4,1 , отражающая Рис. 2: Фундаментальные грани много-
его сборку гранника S4,1
Тела S4,1 и S4,2 образуют в теореме одну из трёх пар, обозначения в которых отличаются лишь штрихом,
рис. 3, 4. Ниже будет представлена другая такая пара S4,4 и S4,5 , рис. 5, 6. Тела S14,5 и S14,6 упомянуты
150
выше и представлены в процитированных атласах.
Если выпуклый многогранник составлен из k правильногранных пирамид с единичными рёбрами, а реб-
ра самого́ многогранника имеют длину 1 или 2, то будем называть его k-составным, k = 1, 2, . . .. Каждый
k-составной многогранник будем получать всевозможными соединениями по одинаковым фундаменталь-
ным граням (k − m)-составного тела и m-составного многогранника, m = 1, 2, . . . , [k/2], где [k/2] — целая
часть числа k/2. Описанная схема реализована ниже и видна по названиям разделов. Каждый много-
гранник теоремы будет получен в виде соединения двух тел. После обозначения первого из них будут
перечислены его фундаментальные грани, а вслед за обозначением второго — те его фундаментальные
грани, которые есть у первого. Кроме того, вслед за названием фундаментальных граней второго много-
гранника записываются выпуклые соединения по этой грани, если такие соединения с рёбрами длины < 3
существуют.
1.1 2-составные тела
1. M1 , треугольник:
M1 , треугольник; S2,1 = M1 + M1 ;
M2 , треугольник; S2,2 = M1 + M2 .
2. M2 , треугольник, квадрат:
M2 , квадрат; S2,3 = M2 + M2 .
3. M3 , треугольник, пятиугольник:
M3 , пятиугольник; S2,4 = M3 + M3 .
У каждого треугольника тел S2,1 и S2,4 есть сторона, которой соответствует настолько большой дву-
гранный угол, что без нарушения выпуклости к этим телам невозможно присоединить составленные из
правильногранных пирамид выпуклые тела.
1.2 3-составные тела
1. S2,2 , 2 треугольника, ромб, квадрат:
M1 , треугольник; S3,1 =◦ S2,2 + M1 ;
M2 , квадрат; S3,2 = S2,2 + M2 ;
M2 , треугольник; S3,3 =◦ S2,2 + M20 .
2. S2,3 , треугольник:
M1 , треугольник; S2,3 + M1 = S3,2 .
1.3 4-составные тела
1.3.1 Соединения 3-составного и 1-составного тел
1. S3,1 , треугольник, квадрат, трапеция:
M2 , квадрат; S4,1 =◦ S3,1 + M2 ;
M2 , треугольник; S4,2 =◦ S3,1 + M20 .
2. S3,2 , 2 треугольника, ромб:
M1 , треугольник; S4,3 = S3,2 + M1 .
3. S3,3 , треугольник, трапеция, прямоугольник:
M1 , треугольник; S3,3 + M1 = S4,2 .
151
Рис. 3: Закраска тела S4,1 , отражающая Рис. 4: Закраска тела S4,2 , отражающая
его сборку его сборку
1.3.2 Соединения 2-составного и 2-составного тел
S2,2 , 2 треугольника, ромб, квадрат:
000
S2,2 , треугольник; S2,2 + S2,2 = S4,2 ;
iv
S2,2 , квадрат; S2,2 + S2,2 = S4,3 .
Поскольку группа симметрий ромба, не переворачивающих его, есть четверная группа Клейна, порож-
денная отражениями от перпендикулярных ромбу и содержащих его диагонали плоскостей, то существует
четыре соединения наклонных призм S2,2 ромбическими гранями. Из них выпуклыми являются 3 следу-
ющих тела:
0
S4,4 = S2,2 + S2,2 , S4,5 = S2,2 + S2,2 , S4,6 =◦ S2,2 + S2,2
00
.
Рис. 5: S4,4 = P4,3 Рис. 6: S4,5 = P4,31 Рис. 7: Тело S4,6
1.4 5-составные тела
1.4.1 Соединения 4-составного и 1-составного тел
1. S4,1 , треугольник, ромб, трапеция:
M1 , треугольник; S5,1 =◦ S4,1 + M1 ;
2. S4,4 , квадрат, ромб:
M2 , квадрат; S5,2 =◦ S4,4 + M2 .
1.5 6-составные тела
1.5.1 Соединения 5-составного и 1-составного тел
1. S5,1 , 2 треугольника, трапеция:
M1 , треугольник; S6,1 =◦ S5,1 + M1 .
2. S5,2 , треугольник, квадрат, ромб, трапеция:
M1 , треугольник; S6,2 =◦ S5,2 + M1 ;
M2 , квадрат; S6,3 =◦ S5,2 + M2 .
152
1.5.2 Соединения 3-составного и 3-составного тел
S3,1 , треугольник, квадрат, трапеция:
S3,1 , трапеция; S6,4 =◦ S3,1 + S3,1 ;
S3,3 , трапеция; S6,5 =◦ S3,1 + S3,3 .
1.6 7-составные тела
1.6.1 Соединения 6-составного и 1-составного тел
1. S6,2 , квадрат, ромб, параллелограмм, трапеция:
M1 , треугольник; S7,1 =◦ S6,2 + M1 .
2. S6,5 , квадрат, ромб, прямоугольник, 2 трапеции:
M2 , квадрат; S7,2 =◦ S6,5 + M2 .
1.6.2 Соединения 4-составного и 3-составного тел
S4,6 , треугольник, квадрат, трапеция:
S3,1 , трапеция; S6,4 = S4,6 + S3,1 .
1.7 8-составные тела
1.7.1 Соединения 7-составного и 1-составного тел
1. S7,1 , 2 треугольника, ромб, параллелограмм, трапеция:
M1 , треугольник; S8,1 =◦ S7,1 + M1 .
2. S7,2 , 2 треугольника, прямоугольник, 2 трапеции:
M1 , треугольник; S8,2 =◦ S7,2 + M1 .
3. S7,3 , 2 треугольника, квадрат, шестиугольник:
M2 , квадрат; S8,3 = S7,3 + M2 .
1.7.2 Соединения 6-составного и 2-составного тел
1. S6,2 , квадрат, ромб, параллелограмм, трапеция:
S2,2 , ромб; S8,4 =◦ S6,2 + S2,2 .
2. S6,5 квадрат, ромб, прямоугольник, 2 трапеции:
S2,2 , ромб; S8,5 =◦ S6,5 + S2,2 .
1.7.3 Соединения 5-составного и 3-составного тел
S5,1 , 2 треугольника, трапеция:
S3,1 , трапеция; S8,6 =◦ S5,1 + S3,1 .
1.8 9-составные тела
1.8.1 Соединения 8-составного и 1-составного тел
S8,3 , 2 треугольника, квадрат, ромб, шестиугольник:
M2 , квадрат; S9,1 =◦ S8,3 + M2 .
1.8.2 Соединения 6-составного и 3-составного тел
S6,5 , квадрат, ромб, прямоугольник, 2 трапеции:
S3,1 , трапеция; S9,2 =◦ S6,5 + S3,1 ;
S3,3 , трапеция; S9,3 =◦ S6,5 + S3,3 .
153
1.9 10-составные тела
1.9.1 Соединения 9-составного и 1-составного тел
1. S9,1 , треугольник, квадрат, ромб, шестиугольник, 2 трапеции:
M1 , треугольник; S10,1 =◦ S9,1 + M1 ;
M2 , квадрат; S10,2 =◦ S9,1 + M2 .
2. S9,3 , 2 квадрата, трапеция:
M2 , квадрат; S10,3 =◦ S9,3 + M2 .
1.9.2 Соединения 8-составного и 2-составного тел
S8,3 , 2 треугольника, квадрат, ромб, шестиугольник:
S2,2 , ромб; S10,4 =◦ S8,3 + S2,2 .
1.9.3 Соединения 5-составного и 5-составного тел
S5,1 , 2 треугольника, трапеция:
S5,1 , треугольник; S10,5 =◦ S5,1 + S5,1 .
1.10 11-составные тела
1.10.1 Соединения 10-составного и 1-составного тел
1. S10,1 , треугольник, квадрат, ромб, шестиугольник, 2 трапеции:
M2 , квадрат; S11,1 =◦ S10,1 + M2 .
2. S10,4 , треугольник, квадрат, прямоугольник, ромб, шестиугольник, 2 трапеции:
M2 , квадрат; S11,2 =◦ S10,4 + M2 .
3. S10,5 , треугольник, трапеция:
M1 , треугольник; S11,3 =◦ S10,5 + M1 .
1.11 12-составные тела
1.11.1 Соединения 11-составного и 1-составного тел
1. S11,2 , треугольник, параллелограмм, прямоугольник, ромб, шестиугольник, 2 трапеции:
M1 , треугольник; S12,1 =◦ S11,2 + M1 .
2. S11,3 , 2 треугольника, трапеция:
M1 , треугольник; S12,2 =◦ S11,3 + M1 .
1.11.2 Соединения 9-составного и 3-составного тел
1. S9,1 , треугольник, квадрат, ромб, шестиугольник, 2 трапеции:
S3,1 , трапеция; S12,3 = S9,1 + S3,1 ;
S3,1 , трапеция; S12,4 =◦ S9,1 + S3,1
0
;
2. S9,3 , 2 квадрата, трапеция:
S3,1 , трапеция; S12,5 =◦ S9,3 + S3,1 .
154
Рис. 8: S12,3 = Q1 = S9,1 + S3,1 Рис. 9: S12,4 =◦ S9,1 + S3,1
0
1.12 13-составные тела
1.12.1 Соединения 12-составного и 1-составного тел
1. S12,3 , квадрат, ромб, шестиугольник:
M2 , квадрат; S13,1 =◦ S12,3 + M2 .
2. S12,4 , треугольник, прямоугольник, трапеция, шестиугольник:
M1 , треугольник; S13,2 =◦ S12,4 + M1 .
1.12.2 Соединения 10-составного и 3-составного тел
S10,4 , треугольник, квадрат, прямоугольник, ромб, шестиугольник, 2 трапеции:
S3,1 , трапеция; S13,3 =◦ S10,4 + S3,1 .
1.13 14-составные тела
1.13.1 Соединения 13-составного и 1-составного тел
1. S13,1 , треугольник, квадрат, трапеция, ромб, пятиугольник, шестиугольник:
M1 , треугольник; S14,1 =◦ S13,1 + M1 ;
M2 , квадрат; S14,2 =◦ S13,1 + M2 .
2. S13,3 , треугольник, квадрат, 2 трапеции, прямоугольник, шестиугольник:
M2 , квадрат; S14,3 =◦ S13,3 + M2 .
1.13.2 Соединения 12-составных и 2-составных тел
S12,3 , квадрат, ромб, шестиугольник:
S2,2 , ромб; S14,4 =◦ S12,3 + S2,2 .
1.13.3 Соединения 7-составных и 7-составных тел
S7,3 , 2 треугольника, квадрат, шестиугольник:
S7,3 , шестиугольник; S14,5 = S7,3 + S7,3 ;
0
S7,3 , шестиугольник; S14,6 = S7,3 + S7,3 .
2 Следствие теоремы и замечания о её модификации
2.1 О разбиениях многогранников теоремы
В предложенном выше доказательстве опущены описания соединений, которые приводили к постро-
енным ранее многогранникам. Такая информация о разбиениях многогранников теоремы представлена
ниже:
S3,2 = S2,3 +M1 , S4,1 = S3,2 +M10 = S2,2 +S2,2000 iv
, S4,2 = S2,2 +S2,2 v
, S4,3 = S2,2 +S2,2 0
, S6,1 = S3,1 +S3,1 , S10,1 =
S6,2 +S4,1 = S6,5 +S4,2 = S5,1 +S5,2 , S10,4 = S6,2 +S4,2 , S10,4 = S6,2 +S4,6 , S10,2 = S6,3 +S4,1 ,S11,1 = S10,2 +M1 =
155
S8,2 + S3,3 = S7,1 + S4,1 = S7,2 + S4,2 = S6,3 + S5,1 , S11,2 = S9,1 + S2,2 = S7,1 + S4,2 = S7,2 + S4,1 = S6,2 + S5,2 ,
S11,3 = S6,1 + S5,1 , S12,1 = S10,1 + S2,2 = S10,4 + S2,2 = S8,1 + S4,2 = S8,5 + S4,2 = S6,2 + S6,2 , S12,2 = S6,1 + S6,1 ,
0
S12,4 = S9,2 + S3,3 , S12,3 = S6,2 + S6,2 = S6,5 + S6,5 , S13,2 = S10,1 + S3,3 = S10,4 + S3,3 = S9,2 + S4,2 =
0
S8,2 + S5,1 = S7,2 + S6,1 , S13,1 = S9,1 + S4,1 = S7,1 + S6,2 , S14,1 = S12,3 + S2,2 = S9,1 + S5,1 = S8,1 + S6,2 =
S8,2 + S6,5 , S14,2 = S11,2 + S3,3 = S10,2 + S4,1 = S7,1 + S7,1 = S7,2 + S7,2 , S14,3 = S10,1 + S4,6 = S10,4 + S4,2 ,
S14,4 = S11,2 + S3,1 = S10,1 + S4,2 = S8,2 + S6,2 = S8,5 + S6,5 .
2.2 Приспособление доказательства теоремы для его автоматизации. Обобщения теоремы
Уже в существующем виде доказательство теоремы частично автоматизировано, потому что, во-первых,
алгебраическая модель каждого многогранника теоремы представлена в системах компьютерной алгебры
GAP и Maple. Во-вторых, процесс соединения нетрудно алгоритмизировать: 1) упорядочить списки фун-
даментальных граней каждой фигуры и образы каждой такой грани при действии не переворачивающими
ее симметриями, которые, в свою очередь, не являются симметриями присоединяемого по этой грани тела;
2) выяснить существование построенного многогранника среди ранее созданных.
Описанное выше доказательство опирается на то, что угол между смежными гранями многогранника
теоремы получен соединением двугранных углов, образованных смежными гранями правильногранных
пирамид. В общем случае, при добавлении к правильногранным пирамидам других выпуклыx многогран-
ников с паркетными гранями, число таких двугранных углов и их комбинаций заметно увеличится [1].
Благодарности
Отметим вклад лиц, участвовавших в доказательстве теоремы. Студенты Сибирского федерального и
Красноярского государственного педагогического университетов построили компьютерные модели некото-
рых составленных из не более 7 пирамид многогранников теоремы. Особенно активной среди них была
Т. А. Омельчук. Авторы выражают благодарность всем названным участникам исследования.
Авторы благодарны организаторам 47-й Международной молодежной школы-конференции «Современ-
ные проблемы математики и её приложений» за прекрасные условия представления и оформления резуль-
татов настоящей работы. Особо благодарим рецензента, поскольку устранение замеченных им недоработок
позволило улучшить качество статьи.
А.В. Тимофеенко поддержан РФФИ, грант №15-01-04897.
Список литературы
[1] V. A. Zalgaller. Convex polyhedra with regular faces. Semin. Steklov Math. Inst. Leningrad, 2. New York,
Consultants Bureau, 1969.
[2] J. A. Prjakhin. Convex polyhedra with faces having equal angles or constructed of these ones Zap. Nauchn.
Sem. LOMI. 45: 111–112 (1974)(in Russian). = Ю. А. Пряхин. Выпуклые многогранники, грани которых
равноугольны или сложены из равноугольных. Зап. науч. семинаров ЛОМИ, Т. 45: 111–112, 1974.
[3] A. V. Timofeenko, O. A. Tabinova. Concerning classification of parquet polygons. Vestnik Krasnoyarskogo
gosudarstvennogo pedagogicheskogo Universiteta imeni V. P. Astafieva. 1(23): 216–219, 2013 (in Russian). =
А. В. Тимофеенко, О. А. Табинова. О классификации паркетных многоугольников. Вестник Красно-
ярского государственного педагогического университета им. В. П. Астафьева, 1(23): 216–219, 2013.
[4] A. V. Timofeenko. To the list of Convex Regular-Hedron. Sovremenniiye problemi matematiki i mekhaniki.
Vol. VI(3). K 100-letiyu so dnya rojdenija N. V. Efimova. Pod redak. I. Kh. Sabitova i V. N. Chubarikova.
– Moscow, Izdat. Mosk. un-ta: 155–170, 2011 (in Russian). = А. В. Тимофеенко. К перечню выпук-
лых правильногранников. Современные проблемы математики и механики. Том VI. Выпуск 3. К
100-летию со дня рождения Н. В. Ефимова / Под ред. И. Х. Сабитова и В. Н. Чубарикова. – М.:
Издательство Моск. ун-та: 155–170, 2011.
[5] A. M. Gurin, V. A. Zalgaller. To history of studying convex polyhedra with regular faces and faces composed
of regular ones. Trudi matematicheskogo obschestva Sankt-Peterburga, 14: 215–294, 2008 (in Russian). =
А. М. Гурин, В. А. Залгаллер. К истории изучения выпуклых многогранников с правильными гранями
и гранями, составленными из правильных. Труды Математического Общества Санкт-Петербурга.
Т. 14: 215–294, 2008.
156
[6] E. G. Abubakirova. Partition of Archimedean solid M10 and Truncated tetrahedron M4 into convex
polyhedra with parquet faces. Molodjoz i nauka: XVI Molodjoznii forum studentov, aspirantov i molodyikh
uchyonih: materiali nauchno-prakticheskoi konferentsii, Krasnoyarsk: 191–196, 2015 (in Russian). =
Е. Г. Абубакирова. Разбиение архимедова тела M10 и усеченного тетраэдра M4 на выпуклые мно-
гогранники с паркетными гранями. Молодёжь и наука: XVI Молодежный форум студентов, ас-
пирантов и молодых ученых: материалы научно-практической конференции, Красноярск, 191–196,
2015.
[7] E. S. Okladnikova. Partition of Ivanov solid Q1 into piramids with regular faces. Molodjoz i nauka XXI
veka: materiali XIV Mejdunarodnoi nauchno-prakticheskoi konferentsii studentov, aspirantov i molodyikh
uchyonih: v 5 t., Krasnoyarsk: 130–131, 2013 (in Russian). = Е. С. Окладникова. Разбиение многогран-
ника Иванова Q1 на правильногранные пирамиды. Молодежь и наука XXI века: материалы XIV
Международной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых: в 5
т. Красноярск, 130–131, 2013.
157
About convex connections of regular-faced pyramids
Egor V. Poltanov1 , Darya N. Sudak2 , Aleksei V. Timofeenko2 , Aleksandra V. Yakusheva1
1 – School 149 (Krasnoyarsk, Russia)
2 – Siberian Federal University (Krasnoyarsk, Russia)
Keywords: parquet polygon, convex polyhedron, regular-faced pyramid, symmetry group.
A convex polyhedron with edges of length one or two is composed of no more than fourteen regular-faced
pyramids with single edges if and only if it is one of 57 polyhedra. Each of them is represented by formula or
projections.
158