=Paper=
{{Paper
|id=Vol-1732/paper8
|storemode=property
|title=
Компьютерное
моделирование
полуограниченной
модели Изинга
(Computer Simulation of Semi Infinit Ising Model)
|pdfUrl=https://ceur-ws.org/Vol-1732/paper8.pdf
|volume=Vol-1732
|authors=Sergey Belim,Igor Bychkov,Yuriy Rakickiy
}}
==
Компьютерное
моделирование
полуограниченной
модели Изинга
(Computer Simulation of Semi Infinit Ising Model)
==
https://ceur-ws.org/Vol-1732/paper8.pdf
Êîìïüþòåðíîå ìîäåëèðîâàíèå ïîëóîãðàíè÷åííîé
ìîäåëè Èçèíãà
1 2 1
Ñ.Â. Áåëèì È.Â. Áû÷êîâ Þ.Ñ. Ðàêèöêèé
belimsv@omsu.ru bychkov@csu.ru yrakitsky@gmail.com
1
Îìñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò èì. Ô.Ì. Äîñòîåâñêîãî, Îìñê, Ðîññèÿ
2
×åëÿáèíñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò, ×åëÿáèíñê, Ðîññèÿ
Àííîòàöèÿ
Ìîäåëèðóåòñÿ êðèòè÷åñêîå ïîâåäåíèå ïîëóîãðàíè÷åííîé ìîäåëè
Èçèíãà. Ñòðîèòñÿ ôàçîâàÿ äèàãðàììà ñèñòåìû. Äëÿ ïîâåðõíîñòíî-
ãî ôàçîâîãî ïåðåõîäà ïîëó÷åíû êðèòè÷åñêàÿ òåìïåðàòóðà è êðèòè-
÷åñêèå èíäåêñû. Ïîêàçàíà âîçìîæíîñòü ñóùåñòâîâàíèÿ íîâîé ôà-
çû.
Ââåäåíèå
 ïîñëåäíåå âðåìÿ íàáëþäàåòñÿ äîñòàòî÷íî âûñîêèé èíòåðåñ ê ÿâëåíèÿì ïîâåðõíîñòíîãî ìàãíåòèçìà, ñâÿ-
çàííûõ ñ óïîðÿäî÷åíèåì ñïèíîâ íà ïîâåðõíîñòè â îáëàñòè ôåððîìàãíèòíîãî ôàçîâîãî ïåðåõîäà.  ðàìêàõ
òåîðèè ñðåäíåãî ïîëÿ [1] áûëî ïîêàçàíî, ÷òî ïðè îòðèöàòåëüíûõ çíà÷åíèÿõ ïîâåðõíîñòíîé ìàãíèòíîé ýíåð-
ãèè ôàçîâûé ïåðåõîä íà ïîâåðõíîñòè íàáëþäàåòñÿ âûøå òî÷êè Êþðè. Íàìàãíè÷åííîñòü, ïðè ýòîì, óáûâàåò
âãëóáü îáðàçöà ïî ýêñïîíåíöèàëüíîìó çàêîíó. Ôàçîâîé äèàãðàììà ïîëóîãðàíè÷åííûõ ñèñòåì [2] âêëþ÷àåò
òðè ôàçû: íåóïîðÿäî÷åííóþ (SD/BD), ïîâåðõíîñòíî-óïîðÿäî÷åííóþ îáúåìíî-íåóïîðÿäî÷åííóþ (SO/BD)
è ïîâåðõíîñòíî-óïîðÿäî÷åííóþ îáúåìíî-óïîðÿäî÷åííóþ (SO/BO).  èòîãå íà ôàçîâîé äèàãðàììå ïðè-
ñóòñòâóåò òðè ëèíèè ôàçîâûõ ïåðåõîäîâ, ïåðåñåêàþùèåñÿ â òðèêðèòè÷åñêîé òî÷êå. Ïåðåõîä èç SD/BD â
SO/BD íîñèò íàçâàíèå ïîâåðõíîñòíîãî (surface) ôàçîâîãî ïåðåõîäà, èç SO/BD â SO/BO - ýêñòðàîðäèíàð-
íîãî (extraordinary) ôàçîâîãî ïåðåõîäà, èç SD/BD â SO/BO - îáû÷íîãî (ordinary) èëè îáúåìíîãî ôàçîâîãî
ïåðåõîäà. Ôàçîâûé ïåðåõîä â òðèêðèòè÷åñêîé òî÷êå ïåðåñå÷åíèÿ òðåõ ëèíèé ôàçîâûõ ïåðåõîäîâ ïðèíÿòî
íàçûâàòü ñïåöèàëüíûì (special) [3]. Âèä ôàçîâîé äèàãðàììû ïðåäñòàâëåí íà ðèñóíêå 1.
 ðàáîòå [4] ýêñïåðèìåíòàëüíî äëÿ ôåððîìàãíèòíûõ ìàòåðèàëîâ SrF e12 O19 è SrF e10.2 Al1.8 O19 áû-
ëà ïîêàçàíà âîçìîæíîñòü ñîñòîÿíèÿ, â êîòîðîì òåìïåðàòóðû îáúåìíîãî ïåðåõîäà ïðåâûøàåò òåìïåðà-
òóðó ïîâåðõíîñòíîãî ïåðåõîäà. Êàê ñëåäñòâèå, íà ôàçîâîé äèàãðàììå äîëæíà ïðèñóòñòâîâàòü îáúåìíî-
óïîðÿäî÷åííàÿ ïîâåðõíîñòíî-íåóïîðÿäî÷åííàÿ ôàçà (SD/BO). Íà ñåãîäíÿøíèé äåíü îòñóòñòâóþò òåîðåòè-
÷åñêèå îïèñàíèÿ äàííîé ôàçû è ôàçîâûõ ïåðåõîäîâ, ñâÿçàííûõ ñ íåé.
1 Îïèñàíèå ñèñòåìû
Ãàìèëüòîíèàí ïîëóîãðàíè÷åííîé ìîäåëè Èçèíãà èìååò ñëåäóþùèé âèä:
X X
H = JB Si Sj + JS Si Sj ,
Copyright c by the paper's authors. Copying permitted for private and academic purposes.
In: Sergey V. Belim, Nadezda F. Bogachenko (eds.): Proceedings of the Workshop on Data Analysis and Modelling (DAM 2016),
Omsk, Russia, October 2016, published at http://ceur-ws.org
Ðèñ. 1: Ôàçîâàÿ äèàãðàììà ïîëóîãðàíè÷åííîé ñèñòåìû, ïîñòðîåííàÿ íà îñíîâå òåîðèè ñðåäíåãî ïîëÿ è
êîìïüþòåðíûõ ýêñïåðèìåíòîâ.
ãäå Si çíà÷åíèÿ ñïèíà â i-îì óçëå (+1/2 èëè -1/2). Ñóììèðîâàíèå îñóùåñòâëÿåòñÿ òîëüêî ïî áëèæàéøèì
ñîñåäÿì. Âòîðàÿ ñóììà âêëþ÷àåò â ñåáÿ òîëüêî ïîâåðõíîñòíûå ñïèíû, ïåðâàÿ ñóììà âñå îñòàëüíûå. Ïî-
âåðõíîñòíûé (JS ) è îáúåìíûé (JB ) îáìåííûå èíòåãðàëû â áîëüøèíñòâå ðåàëüíûõ ñèñòåì èìåþò ðàçëè÷íûå
çíà÷åíèÿ. Ïðè÷åì JS ìîæåò èìåòü çíà÷åíèÿ êàê áîëüøå, òàê è ìåíüøå JB .
 äàííîé ðàáîòå èçó÷àëèñü òðåõìåðíûå ñèñòåìû ñ êóáè÷åñêîé ðåøåòêîé ëèíåéíûõ ðàçìåðîì L × L × 2L
ìåòîäîì Ìîíòå-Êàðëî ñ ïîìîùüþ àëãîðèòìà Ìåòðîïîëèñà. Ïëîñêîñòü ñâîáîäíîé ãðàíèöû çàäàâàëàñü óðàâ-
íåíèåì z = 0, ñèñòåìà ðàñïîëàãàëàñü â ïîëóïðîñòðàíñòâå z ≥ 0. Èñïîëüçîâàëèñü ïåðèîäè÷åñêèå ãðàíè÷íûå
óñëîâèÿ. Äëÿ ñïèíîâ, ðàñïîëîæåííûõ â ïëîñêîñòè z = 2L ñîñåäíèìè ñ÷èòàëèñü ñïèíû â ïëîñêîñòè z = L.
Äëÿ îïðåäåëåíèÿ òåìïåðàòóðû ôàçîâîãî ïåðåõîäà è êðèòè÷åñêèõ èíäåêñîâ èñïîëüçîâàëàñü òåîðèÿ êîíå÷íî
ðàçìåðíîãî ñêåéëèíãà.
Äëÿ ïîâûøåíèÿ ñêîðîñòè êîìïüþòåðíîãî ýêñïåðèìåíòà áûëî îñóùåñòâëåíî ðàñïàðàëëåëèâàíèå àëãî-
ðèòìà Ìåòðîïîëèñà äëÿ ãðàôè÷åñêîãî ïðîöåññîðà ñ èñïîëüçîâàíèåì òåõíîëîãèè CUDA. Äàííûé ïîäõîä
ïîçâîëèë îäíîâðåìåííî çàïóñêàòü äî 445 âû÷èñëèòåëüíûõ ïîòîêîâ. Ðàñïàðàëëåëèâàíèå îñóùåñòâëÿëîñü
íà ýòàïå ñáîðà ñòàòèñòè÷åñêèõ äàííûõ. Ïåðâîíà÷àëüíî ñèñòåìà ïðèâîäèëàñü â ðàâíîâåñíîå ñîñòîÿíèå íà
îáû÷íîì ïðîöåññîðå. Ïîñëå ýòîãî âñÿ òðåõìåðíàÿ ñèñòåìà ðàçáèâàëàñü íà îäèíàêîâûå áëîêè, êàæäîìó èç
êîòîðûõ ñîïîñòàâëÿëñÿ ñâîé âû÷èñëèòåëüíûé ïîòîê.  ðàìêàõ îäíîãî ïîòîêà ïðîèçâîäèëàñü ïîïûòêà ïå-
ðåâîðîòà êàæäîãî èç ñïèíîâ â îäíîì áëîêå. Íà ïåðâûé âçãëÿä òàêàÿ ïðîöåäóðà ñóùåñòâåííî îòëè÷àåòñÿ
îò êëàññè÷åñêîãî àëãîðèòìà Ìåòðîïîëèñà, â êîòîðîì âûáîð ïåðåâîðà÷èâàåìîãî ñïèíà ïðîèçâîäèòñÿ ñëó-
÷àéíûì îáðàçîì. Îäíàêî ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî ïåðåêëþ÷åíèå ìåæäó ïðîöåññàìè ïîä÷èíÿåòñÿ ñëó÷àéíîìó
çàêîíó ñ äîñòàòî÷íî õîðîøèìè õàðàêòåðèñòèêàìè, âûáîð ñëåäóþùåãî ñïèíà äëÿ ïåðåâîðîòà ïðîèñõîäèò
ïðîèçâîëüíî. Ïðè÷åì ïîëó÷àåìûé òàêèì îáðàçîì ãåíåðàòîð ñëó÷àéíûõ ÷èñåë íå ÿâëÿåòñÿ ïðîãðàììíî-
ïðåäîïðåäåëåííûì è âîñïðîèçâîäèìûì, ÷òî ñóùåñòâåííî ñêàçûâàåòñÿ íà ðåçóëüòàòàõ â ïîëîæèòåëüíóþ
ñòîðîíó. Êàê õîðîøî èçâåñòíî, ðåçóëüòàòû êîìïüþòåðíîå ìîäåëèðîâàíèÿ ìåòîäîì Ìîíòå-Êàðëî ñóùåñòâåí-
íî çàâèñÿò îò êà÷åñòâà ãåíåðàòîðà ïñåâäîñëó÷àéíûõ ÷èñåë.  ñèëó òîãî, ÷òî â íàøåé ðåàëèçàöèè èñïîëü-
çóåòñÿ ãåíåðàòîð ñëó÷àéíûé ÷èñåë, áëèçêèé ê èñòèííî ñëó÷àéíîìó, òî âîçíèêàåò âîçìîæíîñòü óìåíüøèòü
÷èñëî øàãîâ Ìîíòå-Êàðëî íà ñïèí. Òåñòèðîâàíèå ïðîãðàììû íà îáû÷íîé íåîãðàíè÷åííîé ìîäåëè Èçèíãà
ïîêàçàëî, ÷òî ñïóñòÿ 100 000 èòåðàöèé ïîñëå óñòàíîâëåíèÿ ðàâíîâåñèÿ ïîïðàâêè âíîñÿòñÿ òîëüêî â òðåòèé
çíàê ïîñëå çàïÿòîé. Òîãäà êàê îáùåïðèíÿòîé äëÿ êðèòè÷åñêèõ ÿâëåíèé ÿâëÿåòñÿ òî÷íîñòü äâà çíàêà ïîñëå
çàïÿòîé. Áîëüøàÿ òî÷íîñòü íå äîñòèæèìà íè â ðåàëüíîì ýêñïåðèìåíòå, íè â ðàìêàõ òåîðåòèêî-ïîëåâîãî
ïîäõîäà.  ñâÿçè ñ ÷åì ìîæíî îãðàíè÷èòñÿ 100 000 øàãîâ Ìîíòå-Êàðëî íà ñïèí. Òàêæå êîìïüþòåðíûå ýêñ-
ïåðèìåíòû ñ îáû÷íîé ìîäåëüþ Èçèíãà ïîêàçàëè, ÷òî óæå äëÿ ñèñòåì ðàçìåðîì L = 50 êóìóëÿíò Áèíäåðà
èçìåíÿåòñÿ îò ìàêñèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ 2/3 äî ìèíèìàëüíîãî íóëåâîãî çíà÷åíèÿ â èíòåðâàëå òåìïåðàòóð
øèðèíîé íå áîëåå 0.1. Âñëåäñòâèå ÷åãî, äëÿ îïðåäåëåíèÿ òåìïåðàòóðû ñ òî÷íîñòüþ äî âòîðîãî çíàêà ïî-
ñëå çàïÿòîé, äîñòàòî÷íî îãðàíè÷èòüñÿ ñèñòåìàìè, ðàçìåð êîòîðûõ íå ïðåâûøàåò L = 50.  êîíòðîëüíûõ
êîìïüþòåðíûõ ýêñïåðèìåíòàõ äëÿ êëàññè÷åñêîé òðåõìåðíîé ìîäåëè Èçèíãà, ïðè îïèñàííûõ îãðàíè÷åíèÿõ,
êðèòè÷åñêàÿ òåìïåðàòóðà ëîêàëèçîâàëàñü ñ âûñîêîé òî÷íîñòüþ.
Äëÿ íàáëþäåíèÿ çà ïîâåäåíèåì òåïëîåìêîñòè è âîñïðèèì÷èâîñòè â çàâèñèìîñòè îò òåìïåðàòóðû áûëè
èñïîëüçîâàíû ôëóêòóàöèîííûå ñîîòíîøåíèÿ:
C = N K 2 (hU 2 i − hU i2 ), χ = N K(hm2 i − hmi2 ),
K = |JB |/kB T , N = L3 ÷èñëî óçëîâ, U âíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿ, m íàìàãíè÷åííîñòü ñèñòåìû, óãëîâûå
ñêîáêè îçíà÷àþò òåðìîäèíàìè÷åñêîå óñðåäíåíèå.
Êðèòè÷åñêàÿ òåìïåðàòóðà ïåðåõîäà îïðåäåëÿëàñü ñ ïîìîùüþ êóììóëÿíòîâ Áèíäåðà ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà:
hm4 i
UL = 1 − .
(3hm2 i2 )
Äëÿ ñèñòåì ñ ðàçíûìè ðàçìåðàìè L êóìóëÿíòû ïåðåñåêàþòñÿ â êðèòè÷åñêîé òî÷êå. Îòäåëüíî âû÷èñëÿ-
ëèñü êóììóëÿíòû Áèíäåðà äëÿ âñåé ñèñòåìû â öåëîì (îáúåìíûå êóììóëÿíòû) è äëÿ äâóìåðíîé ðåøåòêè
ïîâåðõíîñòíûõ ñïèíîâ (ïîâåðõíîñòíûå êóììóëÿíòû). Ïî òî÷êå ïåðåñå÷åíèÿ îáúåìíûõ êóììóëÿíòîâ îïðå-
äåëÿëàñü òåìïåðàòóðà îáúåìíîãî ôàçîâîãî ïåðåõîäà Tc , ïî òî÷êå ïåðåñå÷åíèÿ ïîâåðõíîñòíûõ êóììóëÿíòîâ
òåìïåðàòóðà ïîâåðõíîñòíîãî ôàçîâîãî ïåðåõîäà Ts .
Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ñòàòè÷åñêèõ êðèòè÷åñêèõ èíäåêñîâ áûëà èñïîëüçîâàíà òåîðèÿ êîíå÷íîðàçìåðíîãî
ñêåéëèíãà. Ñîãëàñíî äàííîé òåîðèè âîñïðèèì÷èâîñòü è íàìàãíè÷åííîñòü óäîâëåòâîðÿþò ñëåäóþùèì ñîîò-
íîøåíèÿì:
χ ∼ L(γ/ν) , m ∼ L(−β/ν) .
Äëÿ ïîëó÷åíèÿ ñàìèõ êðèòè÷åñêèõ èíäåêñîâ èññëåäîâàëîñü ïîâåäåíèå âîñïðèèì÷èâîñòè îò òåìïåðàòóðû,
êîòîðîå äîëæíî óäîâëåòâîðÿòü ñîîòíîøåíèþ:
χ ∼ |T − Tc |γ .
Äàëåå âû÷èñëÿëñÿ èíäåêñ ν , à èç íåãî íàõîäèëñÿ èíäåêñ β .
Àíàëîãè÷íûå âû÷èñëåíèÿ, ñ òåìè æå ñîîòíîøåíèÿìè, ïðîâîäèëèñü äëÿ ïîâåðõíîñòíûõ ñïèíîâ.
2 Ðåçóëüòàòû êîìïüþòåðíîãî ìîäåëèðîâàíèÿ
Êîìïüþòåðíûé ýêñïåðèìåíò ïðîâîäèëñÿ äëÿ ñèñòåì ñ ëèíåéíûìè ðàçìåðàìè îò L = 25 äî L = 50 ñ øàãîì
L = 5 ñ èñïîëüçîâàíèåì âû÷èñëèòåëüíîãî êîìïëåêñà Tesla íà ãðàôè÷åñêèõ ïðîöåññîðàõ. Êîëè÷åñòâî øàãîâ
Ìîíòå-Êàðëî íà ñïèí áûëî ðàâíî 100 000. Çíà÷åíèå îòíîøåíèÿ îáìåííûõ èíòåãðàëîâ R = JS /JB ïðîáåãàëî
çíà÷åíèÿ îò 0.1 äî 1.8 ñ øàãîì 0.1. Äëÿ êàæäîãî çíà÷åíèÿ R îïðåäåëÿëèñü êðèòè÷åñêàÿ òåìïåðàòóðà
è êðèòè÷åñêèå èíäåêñû êàê ôàçîâîãî ïåðåõîäà íà ïîâåðõíîñòè ñèñòåìû, òàê è â îáúåìå ñèñòåìû. Ïðè
çíà÷åíèÿõ R ≥ 1 áûëè ïîëó÷åíû ðåçóëüòàòû, ñîãëàñóþùèåñÿ êàê ñ ïðåäñêàçàíèÿìè òåîðåòèêî-ïîëåâîãî
ïîäõîäà [5, 6], òàê è ñ ðåçóëüòàòàìè êîìïüþòåðíîãî ìîäåëèðîâàíèÿ, ïîëó÷åííûå â äðóãèõ ðàáîòàõ [7].
Ïðè îòíîøåíèè îáìåííûõ èíòåãðàëîâ R < 1 îáìåííîå âçàèìîäåéñòâèå ìåæäó ïîâåðõíîñòíûìè ñïèíàìè
èìååò ìåíüøóþ âåëè÷èíó â ñðàâíåíèè ñ îáúåìíûì îáìåííûì èíòåãðàëîì.  ðåçóëüòàòå òåïëîâîå äâèæå-
íèå ñèëüíåå âëèÿåò íà óïîðÿäî÷åííîñòü íàïðàâëåíèé ñïèíîâ, ÷òî, â ñâîþ î÷åðåäü, ïðèâîäèò ê ìåíüøåé
íàìàãíè÷åííîñòè ïîâåðõíîñòíîãî ñëîÿ ïî ñðàâíåíèþ ñ îáúåìíîé íàìàãíè÷åííîñòüþ.  èíòåðâàëå çíà÷åíèé
0.7 < R < 1 äëÿ îáúåìíîãî ôàçîâîãî ïåðåõîäà êðèòè÷åñêàÿ òåìïåðàòóðà èìååò çíà÷åíèå Tc = 4.51 ± 0.01,
äëÿ ïåðåõîäà íà ïîâåðõíîñòè Ts = 4.48 ± 0.01. Ïðè÷åì äàííûå çíà÷åíèÿ òåìïåðàòóð ïåðåõîäà â ïðåäåëàõ
ïîãðåøíîñòè íàáëþäàþòñÿ äëÿ âñåõ R. Êàê âèäèì, òåìïåðàòóðà ïîâåðõíîñòíîãî ïåðåõîäà íèæå òåìïåðà-
òóðû îáúåìíîãî ïåðåõîäà, ÷òî ñâèäåòåëüñòâóåò î íàëè÷èè ôàçû SD/BO õîòü è â î÷åíü óçêîì èíòåðâàëå
òåìïåðàòóð. Ñëåäóåò ó÷èòûâàòü, ÷òî îñíîâíîé îáúåì ñèñòåìû óæå íàõîäèòñÿ â ôåððîìàãíèòíîé ôàçå è ñî-
çäàåò íå íóëåâîå âíåøíåå ìàãíèòíîå ïîëå. Ïîýòîìó ïîâåðõíîñòíûé ñëîé â äàííîé ôàçå íàäî ðàññìàòðèâàòü
êàê ïàðàìàãíåòèê âî âíåøíåì ìàãíèòíîì ïîëå, ÷òî ñóùåñòâåííî âëèÿåò íà âåëè÷èíó åãî íàìàãíè÷åííîñòè.
Ïî-âèäèìîìó, ýòèì è îáúÿñíÿåòñÿ ìàëîå îòëè÷èå òåìïåðàòóðû ïîâåðõíîñòíîãî ïåðåõîäà îò òåìïåðàòóðû
îáúåìíîãî ïåðåõîäà.
Ïîâåäåíèå íàìàãíè÷åííîñòè âáëèçè ïîâåðõíîñòè ìîæåò ñ âûñîêîé òî÷íîñòüþ áûòü àïïðîêñèìèðîâàíî
ñòåïåííîé ôóíêöèåé:
M (d) = M (0)dλ .
ãäå (d) çíà÷åíèå íàìàãíè÷åííîñòè íà ðàññòîÿíèè d îò ñâîáîäíîé ïîâåðõíîñòè. Äëÿ R = 0.8 ïðè T = 4.51
ïîêàçàòåëü ñòåïåíè λ = 0.283 ± 0.002. Åñëè ñîñòîÿíèå ñèñòåìû íàõîäèòñÿ äîñòàòî÷íî äàëåêî îò ëèíèé
ôàçîâûõ ïåðåõîäîâ, òî ñèñòåìà íàìàãíè÷åíà ðàâíîìåðíî.
Ðàñ÷åò êðèòè÷åñêèõ èíäåêñîâ ïðè 0.7 < R < 1 ïîêàçàë, ÷òî îáúåìíûå êðèòè÷åñêèå èíäåêñû ñîâïàäàþò
ñî çíà÷åíèÿìè, íàáëþäàåìûìè äëÿ îáû÷íîãî ôàçîâîãî ïåðåõîäà. Ýòîò ðåçóëüòàò ÿâëÿåòñÿ îæèäàåìûì,
òàê êàê òîíêèé ïîâåðõíîñòíûé ñëîé, òîëùèíîé â îäèí ñïèí, íå ìîæåò îêàçûâàòü ñóùåñòâåííîãî âëèÿíèÿ
íà ñóùåñòâåííî áîëüøåå êîëè÷åñòâî ñïèíîâ â îáúåìå ñèñòåìû. Óìåíüøåíèå îáìåííîãî âçàèìîäåéñòâèÿ
ìåæäó ïîâåðõíîñòíûìè ñïèíàìè ïðèâîäèò ê çàìåòíîìó èçìåíåíèþ ïîâåðõíîñòíûõ êðèòè÷åñêèõ èíäåêñîâ.
Òàê ïðè R = 1 íàáëþäàþòñÿ êðèòè÷åñêèå èíäåêñû, õàðàêòåðíûå äëÿ îáû÷íîãî ôàçîâîãî ïåðåõîäà ñ ó÷åòîì
ïîãðåøíîñòåé (βord
s
= 0.82 ± 0.03, γord
s
= 0.74 ± 0.02). Ïðè çíà÷åíèè R = 0.7 ïîâåðõíîñòíûå êðèòè÷åñêèå
èíäåêñû áóäóò ðàâíû βord
s
= 1.29 ± 0.04, γord
s
= 0.34 ± 0.04. Òàêèì îáðàçîì, êàê è ñëåäîâàëî îæèäàòü,
èçìåíåíèå îáìåííîé ýíåðãèè âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó ñïèíàìè ïðèâîäèò ê èçìåíåíèþ ðåæèìà êðèòè÷åñêîãî
ïîâåäåíèÿ.
Ïðè R < 1 îáìåííîå âçàèìîäåéñòâèå ìåæäó ïîâåðõíîñòíûìè ñïèíàìè ìåíüøå, ÷åì ìåæäó îáúåìíûìè,
÷òî ïðèâîäèò ê áîëüøåìó âëèÿíèþ òåïëîâîãî äâèæåíèÿ è, êàê ñëåäñòâèå, ê ìåíüøåé óïîðÿäî÷åííîñòè
íàïðàâëåíèé ñïèíîâ. Ôèçè÷åñêè äàííîå ÿâëåíèå äîëæíî íàáëþäàòüñÿ êàê ìåíüøàÿ íàìàãíè÷åííîñòü ïî-
âåðõíîñòíîãî ñëîÿ ïî ñðàâíåíèþ ñ îáúåìíîé íàìàãíè÷åííîñòüþ. Ïðè÷åì ðàçóïîðÿäî÷èâàþùåå âëèÿíèå
ïîâåðõíîñòíîãî ñëîÿ äîëæíî ñêàçûâàòüñÿ è íà áëèçëåæàùèõ ñëîÿõ, òàê êàê íà êàæäûé ñïèí îêàçûâàþò
âëèÿíèå âñå îêðóæàþùèå åãî ñïèíû. Êîìïüþòåðíûé ýêñïåðèìåíò ïîäòâåðäèë äàííûå ðàññóæäåíèÿ. Íà
ðèñóíêå 2 ïðåäñòàâëåíà çàâèñèìîñòü ìàãíèòíîãî ìîìåíòà íà ñïèí â çàâèñèìîñòè îò ðàññòîÿíèÿ äî ïîâåðõ-
íîñòè ïðè òåìïåðàòóðå îáúåìíîãî ôàçîâîãî ïåðåõîäà Tc = 4.51.
Ðèñ. 2: Çàâèñèìîñòü íàìàãíè÷åííîñòè m îò ðàññòîÿíèÿ äî ïîâåðõíîñòè d äëÿ ñèñòåìû ñ L = 50 ïðè R = 0.8.
Åùå îäíî èçìåíåíèå ðåæèìà ôàçîâîãî ïåðåõîäà ïðîèñõîäèò ïðè R < 0.7.  ýòîì ñëó÷àå îïðåäåëåíèå
òåìïåðàòóðû ôàçîâîãî ïåðåõîäà íà ïîâåðõíîñòè ñèñòåìû Ts ñòàëêèâàåòñÿ ñ ðÿäîì òðóäíîñòåé. Äëÿ ñëó÷àÿ
R < 0.7 îòñóòñòâóåò ÿâíàÿ òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ïîâåðõíîñòíûõ êóìóëÿíòîâ Áèíäåðà. Ó÷èòûâàÿ îáùóþ òåí-
äåíöèþ óìåíüøåíèÿ çíà÷åíèÿ ïîâåðõíîñòíûõ êóìóëÿíòîâ â òî÷êå ïåðåñå÷åíèÿ ïðè óìåíüøåíèè R ìîæíî
ïðåäïîëîæèòü, ÷òî ïðè R < 0.7 ïîâåðõíîñòíûå êóìóëÿíòû ïåðåñåêàþòñÿ âáëèçè íóëÿ, ïðè÷åì ïåðåñå÷åíèÿ
íîñÿò ìíîæåñòâåííûé õàðàêòåð íà óçêîì ó÷àñòêå òåìïåðàòóð. Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî òåìïåðàòóðà îáúåì-
íîãî ôàçîâîãî ïåðåõîäà îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ïî òî÷êå ïåðåñå÷åíèÿ îáúåìíûõ êóìóëÿíòîâ Áèíäåðà ïðè
âñåõ çíà÷åíèÿõ R è îñòàåòñÿ ðàâíîé T = 4.51±0.02. Òàêæå íå çàâèñÿò îò R çíà÷åíèÿ îáúåìíûõ êðèòè÷åñêèõ
èíäåêñîâ äëÿ îáúåìíîãî ïåðåõîäà.
Íå ñìîòðÿ íà òðóäíîñòè ñ îïðåäåëåíèåì òåìïåðàòóðû ïåðåõîäà ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî ôàçîâûé ïåðå-
õîä íà ïîâåðõíîñòè ñèñòåìû ïðè R < 0.7 íîñèò íåïðåðûâíûé õàðàêòåð, ÷òî ìîæíî óâèäåòü èç ãðàôèêà
çàâèñèìîñòè íàìàãíè÷åííîñòè îò òåìïåðàòóðû ïðè R = 0.5, ïðåäñòàâëåííîé íà ðèñóíêå 3.
Ðèñ. 3: Çàâèñèìîñòü ïîâåðõíîñòíîé è îáúåìíîé íàìàãíè÷åííîñòåé îò òåìïåðàòóðû äëÿ ñëó÷àÿ R = 0.5
L = 50. MS ïîâåðõíîñòíàÿ íàìàãíè÷åííîñòü, MB îáúåìíàÿ íàìàãíè÷åííîñòü.
Òðóäíîñòè ëîêàëèçàöèè òåìïåðàòóðû ãðàíè÷íîãî ïåðåõîäà ïðèâîäÿò ê íåâîçìîæíîñòè îïðåäåëåíèÿ êðè-
òè÷åñêèõ èíäåêñîâ òðàäèöèîííûìè ìåòîäàìè. Îäíàêî ðîñò íàìàãíè÷åííîñòè èìååò ëèíåéíûé õàðàêòåð.
Èñõîäÿ èç ýòîãî, ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî ïîâåðõíîñòíûé èíäåêñ β s = 1. Ëèíåéíàÿ çàâèñèìîñòü ïîâåðõ-
íîñòíîé íàìàãíè÷åííîñòè îò òåìïåðàòóðû íàáëþäàåòñÿ äëÿ âñåõ çíà÷åíèé R < 0.7.
Îòäåëüíî íåîáõîäèìî ðàññìîòðåòü çàâèñèìîñòü ïîâåðõíîñòíîé âîñïðèèì÷èâîñòè îò òåìïåðàòóðû äëÿ
ñëó÷àÿ R < 0.7, òèïè÷íîå ïîâåäåíèå êîòîðîãî ïðåäñòàâëåíî íà ðèñóíêå 4 äëÿ ñëó÷àÿ R = 0.3.
Ðèñ. 4: Çàâèñèìîñòü ïîâåðõíîñòíîé âîñïðèèì÷èâîñòè îò òåìïåðàòóðû äëÿ ñëó÷àÿ R = 0.3 L = 50.
Êàê âèäèì íà ãðàôèêå îòñóòñòâóåò òèïè÷íûé ïèê, ñîîòâåòñòâóþùèé ôàçîâîìó ïåðåõîäó âòîðîãî ðîäà, è
íàáëþäàâøèéñÿ äëÿ ñëó÷àÿ R ≤ 0.7. Çàâèñèìîñòü ïîâåðõíîñòíîé âîñïðèèì÷èâîñòè îò òåìïåðàòóðû íîñèò
ñòóïåí÷àòûé õàðàêòåð. Ïðè÷åì âûñîòà ¾ñòóïåíüêè¿ íå çàâèñèò îò ëèíåéíûõ ðàçìåðîâ ñèñòåìû è îïðåäå-
ëÿåòñÿ òîëüêî çíà÷åíèåì R. Òàêèì îáðàçîì, ïî-âèäèìîìó, ìû èìååì äåëî ñ íîâûì âèäîì íåïðåðûâíîãî
ôàçîâîãî ïåðåõîäà, ïîâåäåíèå òåðìîäèíàìè÷åñêèõ ôóíêöèé êîòîðîãî îòëè÷íî îò òèïè÷íûõ çàâèñèìîñòåé,
íàáëþäàåìûõ ïðè ôàçîâîì ïåðåõîäå âòîðîãî ðîäà.
Ðàáîòà ïðîâåäåíà ïðè ôèíàíñîâîé ïîääåðæêå ÐÔÔÈ, ãðàíò N 15-32-51248.
Ñïèñîê ëèòåðàòóðû
[1] M.I. Kaganov, A.M. Omel'yanchuk, Phenomenological theory of phase transition in a thin ferromagnetic
plate. Sov. Phys. JETP, 34:895899,1971.
[2] H.W. Diehl The Theory of Boundary Critical Phenomena. J. Mod. Phys. B., 11:35033523 , 1997.
[3] T.C. Lubensky, H. Rubin Critical phenomena in semi-in nite systems. II. Mean- eld theory. Phys.
Rev. B., 12:38853901, 1975.
[4] A.S. Kamzin, L.A. Grigor'ev Mossbauer study of surface magnetic properties of the antiferromagnet
Fe3B06 near the Neel temperature. JETP Lett., 57(9):552556 ,1993.
[5] S.V. Belim Critical behavior of disordered systems with a free surface. J. Exp. Theor. Phys., 103:611
623, , 2006.
[6] S.V. Belim Multicritical behavior of systems with a free surface. J. Exp. Theor. Phys., 106: 773780,
2008.
[7] D.P. Landau, K. Binder Monte Carlo study of surface phase transitions in the three-dimensional Ising
model. Phys. Rev. B., 41:46334645, 1990.
Computer Simulation of Semi In nit Ising Model
Sergey V. Belim, Igor V. Bychkov, Yuriy S. Rakickiy
Critical behavior of semi in nit Ising model is simulated. The phase diagramm of system is construct. Critical
temperature and critical exponents are calculated for surface phase transition. The possibility of a new phase is
shown.