В данной работе рассматривается многоэтапное математико-информационное задание «Построение фрактальных множеств с помощью L-систем и информационных технологий», нацеленное на развитие креативности студентов. На разных этапах разбираются алгоритмы построения фракталов с помощью L-систем с усложняющимися порождающими правилами. При выполнении многоэтапного математико-информационного задания студентам предоставляется возможность быть в роли математика, программиста, экспериментатора, компьютерного художника, что повышает их мотивацию, как к обучению математике, так и к обучению информатике. При этом студент убеждается в глубоких интеграционных связях между математическими методами и информационными и коммуникационными технологиями. На наш взгляд, такой подход дает возможность организовывать творческую математическую и творческую информационную деятельность студентов, нацеленную на развитие их наглядно-образного мышления, интуиции - важнейшие креативных качеств.
Секованов В.С., Ивков В.А., Пигузов А.А., Фатеев А.С.
Изучению фрактальных множеств в настоящее время уделяется большое внимание.
Особенно актуальным считается наглядное отображение фракталов с помощью различных
алгоритмов построения. При этом исследование фрактала разбивается на несколько этапов:
построение его базовои математическои модели (порождающего правила), разработка алгоритма
наглядного представления фрактала и визуальныи анализ полученнои модели. Такои подход
позволяет строить многоэтапную траекторию изучения современных разделов математики с
использованием информационных технологии [
Впервые многоэтапные математические задания рассматривались М. Клякля в [
Мы понимаем многоэтапные математико-информационные задания как лабораторию, в рамках которои происходит творческая математическая и творческая информационная деятельность студента, нацеленные на развитие его креативных качеств. Предложенныи подход к построению фракталов с помощью L-систем, дает возможность студентам убедиться в глубоких интеграционных связях математики и информатики. Выполнение математико-информационного задания «Построение фрактальных множеств с помощью L-систем и информационных технологии» предусмотрено в течение трех этапов. Схема-план данного многоэтапного математикоинформационного задания представлена на Рис. 1.
L-системы рассматриваются в различных работах (см., например, [
L-системы дают огромные возможности конструирования фракталов и визуализации их с помощью компьютера. Следует отметить, что эта работа в простеишем варианте ориентирована на три шага: 1. Придумывание аксиомы (начального рисунка) и порождающего правила (преобразования рисунка), которые будут положены в основу поэтапного построения объекта с помощью тертл-графики (черепашьей графики); 2. Разработка компьютерной программы; 3. Получение и анализ изображения фрактала.
В самом простом случае мы будем иметь дело с тремя параметрами x, y, (триплетом), где x и y указывают координаты черепашки, – угол, под которым она должна выполнить движение. Черепашка умеет выполнять команды, задаваемые кодовым словом, которое читается слева направо. Кодовое слово – результат работы L-системы – в своем составе может иметь следующие буквы и символы: F – прорисовывая след, переместиться на один шаг вперед; + (–) – увеличить (уменьшить) угол на величину b. Например, при b = π/2 графическое представление слова F+F+F+F есть квадрат, а при b = π/3 графическое представление слова F++F++F есть равностороннии треугольник.
Строятся фракталы с помощью L-систем по следующеи схеме: 1. Задается процедура, включающая аксиому и порождающее правило (или несколько порождающих правил); 2. Отмечается число итераций; 3. Указывается масштаб изображения; 4. Указываются координаты вывода фигуры на экран; 5. Указываются угол поворота и стационарный угол; 6. Строится изображение.
Опишем каждый из этапов и укажем решение дидактических задач, нацеленных на развитие креативности студентов.
На первом этапе рассматриваются простейшие L-системы, с одним порождающим правилом. Рассмотрен алгоритм построения фракталов с помощью L-систем (Рис. 2). Затем строятся три итерации фрактального множества «Снежинка» (Рис. 3). Аксиомой в данном случае является квадрат (нулевая итерация), а порождающее правило newf – первая итерация. procedure Snejinka; begin axiom:='F--F--F--F'; newf:='F++F-F--F-F++F'; tetta:=-pi/4; Затем строятся три итерации фрактального множества «Кружева» (Рис.4). Аксиомои в данном случае является также квадрат (нулевая итерация) , а порождающее правило newf – первая итерация. Два знака (+) соответственно два знака (–) означают поворот на угол 90 градусов против часовои стрелки или поворот на угол 90 градусов по часовои стрелке. procedure Krujewa; begin
Отметим, что при выполнении данного задания студенты развивают интуицию и нагляднообразное мышление, поскольку, прежде чем выполнить итерации, они анализируют аксиому и порождающее правило и предугадывают контуры фрактала, которыи появится на мониторе компьютера. В даннои ситуации студентам предлагается выполнить две итерации, не используя ИКТ, для того чтобы сравнить результаты и оценить правильность работы алгоритма.
На втором этапе: рассматриваются L-системы с использованием ветвления (Рис. 2). Здесь алгоритм не является линеиным. Данныи алгоритм состоит из трех составляющих элементов – открытие ветви, запоминание триплета и закрытия ветви. Отметим, что и в этом случае для проверки результата студентам предлагается две итерации выполнить без использования компьютера, что развивает их наглядно-образное мышление, являющееся важным креативным качеством личности.
Начало Постановка задачи. Основные
определения.
Этап 1 Построение фракталов с помощью
одного порождающего Определение
L-cистемы
L-cистемы с одним порождающим правилом
Алгоритм построения фрактала с помощью одного порождающего правила Построение фрактала «Снежинка» Построение фрактала «Кружева Построение фрактала Рис. 1 Схема-план многоэтапного математико-информационного зада«нМияо«зПаиоскта»роение фракталов с помощью
L-систем и информационных технологий» На Рис. 5 приведены первые пять итерации фрактала «Куст». Аксиомои в данном случае является вертикальныи отрезок (нулевая итерация), а порождающее правило newf – первая итерация. Как уже отмечалось, здесь в отличие от приведенных выше итерации встречаются операции ветвления [ (открытие ветви), ] (закрытие ветви) и триплет (x, y, ). (Для хранения
Построение фрактала «Куст» Алгоритм построения фрактала с помощью
использования ветвления L-cистемы с использованием ветвления
Этап 2 Построение фракталов с помощью ветвления Этап 3 Построение фракталов с помощью нескольких порождающих правил
L-cистемы с несколькими
порождающими правилами
Алгоритм построения фрактала с
помощью трех порождающих правил
триплетов используется стек в виде матрицы). Причем новые данные записываются в конец стека.
Когда ветвь стека закрывается величинам (x, y, ) присваиваются значения, считанные из концпа
стека с последующим удалением данных значении.
procedure Kust;
begin axiom:='F';
newf:='-F+F+[+F-F-]-[-F+F+F]';
alpha:=-pi/2;
tetta:=-Pi/8;
end;
На третьем этапе: приведены первые пять итерации фрактала «Мозаика». Аксиомои в данном
случае является горизонтальныи отрезок (нулевая итерация), и три порождающих правила newf,
newx, newy, применение которых дает первую итерацию. Три порождающих правила позволяют
черепашке «рисовать» в различных направлениях, что расширяет возможности построения
фракталов.
procedure Mosaika;
begin
end;
axiom:='X+FX+Y';
newf:='FX+XY+F';
newx:='-FXX+X+YF-F';
newy:='XYY++XF-Y+FF-XY';
alpha:=pi/3;
tetta:=-Pi/3;
Рис. 3 Три итерации фрактала Снежинка
Рис. 4 Три итерации фрактала Кружева
В заключение отметим, что при выполнении многоэтапных математико-информационных
задании у студента развиваются важнеишие креативные качества, появляется мотивация к
изучению математики и информационных технологии, вырабатывается умение прогнозировать
результаты математическои и информационнои деятельности. Причем при выполнении
многоэтапного математико-информационного задания предусмотрена как разработка алгоритмов
построения фракталов, так и использование математических методов, что позитивно влияет на
развитие гибкости мышления – важнеишего креативного качества личности (подробнее см. [