1 −

+ 2μ ( ) ( ) = 0. ( ) +

(3) Можно преобразовать (3) в (1), чтобы воспользоваться известными сведениями из теории уравнения Матьё для установления своиств рассматриваемои параметрическои системы.

Для исследования решении уравнения Матьё (так же, как и для исследования решении многих других уравнении) применяются три принципиально разных подхода. Первыи подход заключается в качественном исследовании решении уравнения (1), опираясь на его тип и своиства правои части. Второи подход состоит в получении различного рода асимптотик и разложении в степенные ряды, которые позволяют получить аналитические выражения, являющиеся приближёнными решениями (1). Третии подход состоит в численном решении (1) для некоторого набора параметров. Множества параметров и точек, для которых вычисляется приближённое значение решения, должны быть достаточно представительными для целеи исследования.

В даннои работе показано, что второи и третии подходы можно совместить. Такое совмещение продемонстрировано на примере уравнения Матьё, но без труда переносится на другие подобные задачи. Методы и результаты вычислительных экспериментов Рассмотрим задачу Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнении y '(x)  f (x, y(x))   y(x0 )  y0 на промежутке [x0 , x0  a] . Для её решения можно применить уточнённыи метод Эилера [ 7 ]. Разделим данныи промежуток на интервалы длины hk , k  1,..., n и применим рекуррентную помощью встроеннои операции Mathematica 10 при   0.5;1 и 1.5и x [ 0,1 ] выглядят следующим образом: 1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.2 0.4 0.6 0.8 Рис .1. Графики

  x   1 1 x2   cos  2 

 2   и приближённого решения, построенного с помощью встроенной операции Mathematica 10 при   0.5;1 и 1.5 Для n  6 применением уточнённого метода Эилера, получаем формулу

  x   1  1   x   1    x     x   y6 (x)  1 18 x2   cos  4    2 x  4 x   cos  4    2 x1 81 x2   cos  4     cos  2   . (4) 0.8 0.6 0.4 0.2 Следующая серия графиков построена на интервале x [ 0,5 ] . Приведём результаты для значении параметра  1 и 3 .

Приведём график приближённого решения, полученного приведённым выше способом и график решения, построенного с помощью встроеннои операции Mathematica 10 при   1 . n  6 ; 1 2 3 4

3 5 2 1 2 3 4 Видно, что точность результатов невысока, поэтому увеличим значение n .

Уточнённыи метод Эилера при n  10 даёт вполне обозримое приближение y10(x)=( (50 − ( + Cos[ ]) + 10 (− ( + Cos[ ]) − (1 − ( + Cos[ ]))( + Cos[ ])) + (− − Cos[ ] − 2(1 − ( + Cos[ ]))( + Cos[ ]) − (1250 − 100 + + (−50 + )Cos[ ] + Cos[ ](−50 + + Cos[ ]))( + Cos[ ])) + (− − Cos[ ] − 2(1 − ( + Cos[ ]))( + Cos[ ]) − (1250 − 100 + + (−50 + )Cos[ ] + Cos[ ](−50 + +

Cos[ ]))( + Cos[ ]) + ( + Cos[ ])(−31250 + 5625 − 150 + + 1250 Cos[ ] − 100 Cos[ ] + Cos[ ] + (−50 + )Cos[ ](−50 + + Cos[ ]) + Cos[ ](1875 − 100 + + (−50 + )Cos[ ] + (−50 + )Cos[ ]) + Csc[ ]Sin[ ])) + (− − Cos[ ] − 2(1 − ( + Cos[ ]))( + Cos[ ]) − (1250 − 100 + + (−50 + )Cos[ ] + Cos[ ](−50 + + Cos[ ]))( + Cos[ ]) + ( + Cos[ ])(−31250 + 5625 − 150 + + 1250 Cos[ ] − 100 Cos[ ] + Cos[ ] + (−50 + )Cos[ ](−50 + + Cos[ ]) + Cos[ ](1875 − 100 + + (−50 + )Cos[ ] + (−50 + )Cos[ ]) +

Csc[ ]Sin[ ]) − ( + Cos[ ])(50 − ( + Cos[ ]) + 10 (− ( + Cos[ ]) − (1 − ( + Cos[ ]))( + Cos[ ])) + (− − Cos[ ] − 2(1 − ( + Cos[ ]))( + Cos[ ]) − (1250 − 100 + + (−50 + )Cos[ ] + Cos[ ](−50 + + Cos[ ]))( + Cos[ ])) + (− − Cos[ ] − 2(1 − ( + Cos[ ]))( + Cos[ ]) − (1250 − 100 + + (−50 + )Cos[ ] + Cos[ ](−50 + + Cos[ ]))( + Cos[ ]) + ( + Cos[ ])(−31250 + 5625 − 150 + + 1250 Cos[ ] − 100 Cos[ ] + Cos[ ] + (−50 + )Cos[ ](−50 + + 0.8 0.6 0.4 0.2 для интервала x [ 0,5 ] Рассмотрим приближённые аналитические решения, получаемые с помощью специально предназначенного для уравнений второго порядка метода Штёрмера [ 7 ]. Пусть дано уравнение ( ) = ( , ). Простейший вариант метода Штёрмера, который мы будем далее использовать, состоит в применении рекуррентного соотношения = − + ( , ), = / .

  x   При n=2 получаем формулу y2 (x)  1 0.25x2 1   1 0.125x2 1  (  cos 

  2 )  ; Графики данного приближённого решения и решения, построенного с помощью встроеннои операции Mathematica 10 при α=0.5;1;1.5, выглядят следующим образом: 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1

4 Рис. 7. Графики приближённого решения, построенного по методу Штёрмера при n=14 и приближённого решения, построенное с помощью Mathematica 10 при α=0.5;1;1.5 Первое перспективное направление развития связано с аппроксимациеи степенеи и функции ( ) нейронными сетями. В результате решение приближается многослоинои неиросетевои функциеи, которую можно реализовать в виде неирочипа для ускорения вычислении.

Второе направление получается при оптимизации выбора шагов hk ( x) . Простеишии вариант получается, если выбрать hk (x)  hk x . При этом hk находятся исходя из минимизации подходящего функционала ошибки [ 6 ]. Более продвинутыи вариант получается, если hk ( x) искать как некоторые неиросетевые функции, веса которых подбираются оптимизациеи упомянутых выше функционалов.

В качестве определения границ возможностеи запишем приближённое решение, которое получается применением стандартного метода Эилера [ 10 ] с двумя шагами h(x) и x  h( x) . Тогда в качестве приближённого решения получится функция y2 (x)  1 h(x)(1 h(x))x2   q . Возникает вопрос подбора h(x) , для которои ошибка минимальна. Графики подобнои функции h(x) для q  1 п1.1риведены ниже.

2 4 6 8 10 2 4 6 8

10 1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 1.0 0.5 0.5 1.0 1.0 0.5 0.5 1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 2 1 1 2 10 5 5 2 4 6

8 Рис.9. Графики приближённого решения, построенного по методу Эйлера с оптимальным шагом при n=2 и приближённого решения, построенное с помощью Mathematica 10 при α=0.5;1;1.5 В качестве вывода укажем, что представленныи в даннои работе подход обладает очень широким множеством возможностеи для построения приближённых аналитических решении важных практических задач и реализации этих решении в виде неирочипов. Границы применимости предложенного метода пока трудно представить. В силу известного своиства неиросетевых функции как оптимального аппроксиматора функция h(x, ) может быть сколь угодно точно приближена неироннои сетью использованием методов [ 6 ]. Соответствующие графики для решении приведены ниже 6 6 8 8 2 2 4 4 6 8 2

4

References