Рассматриваются подходы к построению многослойных приближённых решений дифференциальных уравнений. Эти подходы основаны на классических приближённых методах. В отличие от классических подходов в результате вычислений получаются не поточечные приближения, а приближённые решения в виде функций. Данные методы могут быть применены для генерации сколь угодно точных приближённых нейросетевых решений без трудоёмкой процедуры обучения. Проведены вычислительные эксперименты на тестовых задачах.
0.9 0.8 0.7 Рассмотрим задачу Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнении y(x) f (x, y(x)), y(x0 ) y0 на промежутке D [x0; x0 a] . Здесь x D , y p , f : p1 p . Классическии метод Эилера состоит в разбиении промежутка D на n частеи: x0 x1 ... xk xk1 ... xn x0 a , и применении итерационнои формулы
yk1 yk hkf (xk , yk ) , где hk xk1 xk ; yk – приближение к точному значению искомого решения y(xk ) . Известна оценка получившихся приближении в виде
y(xk ) yk C max(hk ) , где постоянная C зависит от оценок функции f и её производных в области, в которои находится решение [6].
С помощью формулы (
Самыи простои вариант алгоритма получается при равномерном разбиении промежутка с
шагом hk (x) (x x0 ) / n . Такои вариант применялся при тестировании алгоритма.
В качестве тестовои была выбрана задача о нелинеиных колебаниях маятника
y(x) sin(y) 0,
y(0) 1, y(0) 0
Перепишем постановку (
Представим некоторые результаты вычислительных экспериментов, проведённых в среде
Mathematica 10. Рассматривали две серии вычислительных экспериментов: первыи – для случая
x [0;1] ,
второи – для случая x [0;5] . Параметр 1, 2,3 . Количество разбиении n 2, 3, 5, 10, 15 .
Вычислительные эксперименты
Результаты вычислительных экспериментов для промежутка [0,1] .
Применяем метод Эилера (
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Рис. 2. Графики приближённого решения yn (x) из (
С увеличением количества разбиении n 5 уточнённыи метод Эилера (
0.16x2 sin 1 0.0168x2 0.16x2 sin 1 0.0168x2
Графики данного приближённого решения yn (x) и решения y(x) , построенного с помощью
встроеннои операции Mathematica 10, при 1; 2;3 практически сливаются:
0.6
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
1.0
0.8
0.6
0.4
0.8
0.6
0.4
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Результаты применения метода Хоина (
Рассмотрим тесты исправленного метода Эилера, которыи работает в соответствии с формулои: 1.0 1.5 1.0 0.5 0.5 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.5 1.0 1.0 0.5 0.5 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.5 1.5 1.0 0.5 0.5 1.0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1
2 1 2 3 3 4 4 5 5 2 4 6 8 1.0 0.5 0.5 1.0 а при n 5 – приближённое решение y0 y1x
Аналогичные результаты можно получить, применяя и другие методы, приведённые выше. Подобные параметрические решения можно применить для решения краевых задач. Например, задачу y(x) sin( y) 0, y(0) y0 , y(a) ya , можно решать, определяя y1 из уравнения y(a) ya , используя в качестве y(x) полученное параметрическое решение.
Второе направление развития связано с тем, что в формуле (
Третье направление получается при оптимизации расстановки точек xk исходя из минимизации подходящего функционала ошибки. Данное направление можно развить, заменив числовые значения в полученных выше аналитических приближённых решениях параметрами и подбирая эти параметры минимизациеи функционала ошибки, используя исходные числовые значения как начальные приближения. При использовании неироннои сети, как это было указано выше, в результате такого подхода получаем обычную процедуру обучения.
Четвёртое направление связано с распространением изложенного подхода на уравнения в частных производных. Для этого можно применить, например, метод прямых.
Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований (гранты №14-01-00660 и №14-01-00733).
References .