МНОГОСЛОЙНЫЕ НЕЙРОСЕТЕВЫЕ МОДЕЛИ ПРОЦЕССОВ ДЕФОРМАЦИИ И РАЗРУШЕНИЯ ОБРАЗЦОВ НА ОСНОВЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ*

-

КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА динамическои нагрузкои затруднено их сложнои анизотропнои структурои. Сила, при которои разрушается конкретная деревянная балка, сильно зависит от породы древесины, технологии её изготовления, от особенностеи конкретнои доски (таких, как сучки, трещинки) и т.д. В связи с широким распространением деревянных конструкции в строительнои отрасли интерес представляет предсказание силы, вызывающеи разрушение доски, по её поведению под неразрушающеи нагрузкои.

Сильно растягивающиеся материалы приобретают все большее значение в связи с их применением в гражданскои технике, спорте и обеспечении безопасности. Из подобных материалов изготавливают различные канаты, стропы, шнуры и т. д. [ 1-5 ]. Своиства таких объектов зависят от их структуры и используемых материалов и могут быть очень разнообразны.

Целью работы является моделирование динамики и прогноз момента разрыва объекта из упругого материала по динамике процесса его деформации или растяжения под нагрузкои. Для построения зависимости деформации/удлинения объекта от приложеннои силы используются неиронные сети, показавшие свою эффективность при решении задач моделирования сложных объектов [ 7-20 ]. Нас интересует динамика деформации/растяжения конкретного образца из упругого материала в случае, когда закон Гука не выполняется, т.е. существенна нелинеиность зависимости деформации/удлинения от приложеннои силы. Особые сложности возникают при необходимости предсказания момента разрыва по особенностям зависимости деформации/удлинения объекта от приложеннои силы. Разрушение определяется быстрым разрастанием повреждении объекта (трещин, неоднородностеи, каверн), набор которых для каждого объекта уникален. Желательно проводить диагностику процесса разрушения по динамике объекта. Теоретические модели не позволяют установить подобную связь, так как не учитывают особенностеи отдельных образцов.

Представленные в даннои статье методы могут быть применены для моделирования динамики деформации (удлинения) под нагрузкои и предсказания момента разрушения и описания других процессов в сложных технических объектах. Это особенно важно для построения индивидуальной модели конкретного объекта, учитывающеи его уникальные особенности. Этапы построения нейросетевой модели объекта

Неиронная сеть использовалась в работе на трёх этапах. На первом этапе, проводилась неиросетевая аппроксимация экспериментальнои зависимости деформации/удлинения от нагрузки (в простом случае, например, персептроном с одним скрытым слоем). На втором этапе, на основе модели, построеннои на первом этапе, и дифференциальных (и, быть может, иных) данных строилась многослоиная неиросетевая модель динамики деформации/удлинения объекта в конкретнои задаче. На третьем этапе, строились неиросетевые зависимости условии разрыва объекта от весов неироннои сети, построеннои на первом этапе.

Ниже будет указана конкретизация этих этапов и результаты построении неиронных сетеи для испытуемых образцов, в качестве которых деревянные балки (бруски) и резиновые нити (шнуры). Многослойные функциональные приближения

В качестве одного из преимуществ неиросетевого моделирования над классическими подходами к построению приближённых решении дифференциальных уравнении (типа метода сеток) нами неоднократно отмечалось то обстоятельство, что неиросетевои подход позволяет получить решение аналитически в виде явнои формулы, а не набора числовых значении [ 7-20 ]. В даннои работе показано, что задаваемые аналитически приближения для решения можно получить на основе более общих подходов, куда неиросетевои подход входит как частныи случаи. На примере обыкновенных дифференциальных уравнении с помощью метода Эилера (или некоторых его обобщении) получены приближённые аналитические решения. Обычные оценки точности исходных классических методов позволяют привести удобные оценки точности полученных приближении.

Данныи подход несложно распространить и на другие алгоритмы подобного типа. Так, например, этот подход распространяется на сеточные методы решения дифференциальных уравнении в частных производных. С помощью данного подхода, в частности, можно получить многослоиные неиросетевые приближённые решения дифференциальных уравнении без трудоёмкои процедуры обучения. Построенные таким образом неиронные сети можно обучить с помощью классических методов [ 6 ].

Рассмотрим задачу Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнении

Системы подобного вида будем использовать для описания динамики исследуемых объектов. (Возникающие при описании дифференциальные уравнения высокого порядка легко сводятся к (1).) Следует заметить, что коэффициенты в (1) могут быть заданы неточно, или для их описания потребуются экспериментальные данные. Неиросетевои поход позволит учесть гетерогенныи набор условии, которые могут обновляться и пополняться.

Применим для построения приближении классическии метод Эилера, которыи состоит в разбиении промежутка D на n частеи: x0  x1  ...  xk  xk1  ...  xn  x0  a , и применении итерационнои формулы

yk1  yk  hkf (xk , yk ) , где hk  xk1  xk ; yk – приближение к точному значению искомого решения y(xk ) .

Известна оценка получившихся приближении в виде y(xk )  yk  C max(hk ) , где постоянная C зависит от оценок функции f и её производных в области, в которои находится решение [ 6 ].

С помощью формулы (2) будем строить приближённое решение задачи (1) на интервале D  [x0 , x] с переменным верхним пределом x [x0 , x0  a] . При этом hk  hk (x) , yk  yk (x) , y0 (x)  y0 и в качестве приближённого решения предлагается использовать yn (x) .

Самыи простои вариант алгоритма получается при равномерном разбиении промежутка с шагом hk (x)  (x  x0 ) / n . Такои вариант применяется далее при построении приближении.

Несомненно, можно применять и другие методы, более точные, чем метод Эилера, и получать итерационные формулы типа (2).

Заметим, что если коэффициенты в (1) определены без использования неиросетевых функции, то неиросетевые аппроксимации не возникают.

Указанныи подход к построению многослоиных функциональных приближении можно развивать в следующих направлениях:

Первым направлением развития является включение начальных условии в параметры решения. Подобные параметрические решения можно применить и для решения краевых задач.

Второе направление развития связано с тем, что в задании системы (1) и в формуле (2) (и других аналогичных формулах) используется не сама функция f (x, y) , а её неиросетевое приближение.

Третье направление получается при оптимизации расстановки точек xk исходя из минимизации подходящего функционала ошибки.

Четвёртое направление связано с распространением изложенного подхода на уравнения в частных производных. Вычислительные эксперименты Деревянные бруски Нами проведены эксперименты по нагружению деревянных брусков с сечениями 20х40, 15х20 и 15х30 мм со скоростями нагружения 10, 50 и 100 мм/мин до их разрушения.

Обработка экспериментов проходила в три этапа. На первом этапе по результатам экспериментов была построена неиросетевая зависимость величины нагружающеи силы от прогиба вида

F (x)  c th a  x  xc .

Параметры зависимости (веса неироннои сети) подбирались минимизациеи функционала ошибки, которыи был выбран в виде суммы квадратов невязок выхода неироннои сети и экспериментальных значении силы по всем снятым значениям прогиба до момента разрушения образца.

Можно построить существенно более сложную аппроксимацию, используя, например, большее число слагаемых, но она не сильно улучшает точность аппроксимации искомои зависимости. Далее приведены две иллюстрации для одного из опытов. На первои представлен график экспериментальных значении нагружающеи силы в зависимости от прогиба балки и неиросетевая аппроксимация этои зависимости, на второи – график разности опытных значении с полученными функциями.

y(x)  f (x, y(x)),   y(x0 )  y0 (2) (3) 40 20 20 40

2 4 6 8 Рис. 1. Экспериментальная зависимость прогиба балки от нагружения и её нейросетевая аппроксимация.

Сечение образца 15х30, скорость возрастания нагрузки 50 мм/мин.

Графики показывают весьма высокую точность аппроксимации кроме первого участка, на котором происходит образование вмятины в бруске, и конечного, на котором начинают рваться отдельные древесные волокна.

2 4 6 8 60 Рис. 2. Ошибка нейросетевой аппроксимации экспериментальной зависимости прогиба балки от нагружения.

Сечение образца 15х30, скорость возрастания нагрузки 50 мм/мин.

На следующих этапах исследовании построенные модели вида (3) для всех брусков могут быть использованы двумя способами.

На втором этапе построенная зависимость (3) для конкретнои балки может быть использована для прогноза её поведения под нагрузкои, в том числе динамическои. Такую модель можно построить, к примеру, для деревянных лесов, по которым переносят тяжести (строиматериалы). При этом, зависимости вида (3) позволяют построить динамическую модель вида (1) y(t)  g(t, y(t)) , (4) где g – известная неиросетевая функция, которую можно считать персептроном с одним скрытым слоем. Для интегрирования данного уравнения на заданном промежутке [0,T ] можно использовать упомянутыи ранее подход. Выберем любое t  (0,T ] и к промежутку [0,t] применим классическии метод Эилера с n шагами. При равномерном разбиении интервала получаем многослоиную t  kt  рекуррентную функциональную формулу вида yk1(t)  yk (t)  g  , yk (t)  , при этом y0 (t)  y0 n  n  определяется начальными условиями. В качестве приближённого решения уравнения (4) можно использовать yn (t) . Это приближение можно трактовать как выход персептрона с n скрытыми слоями. При необходимости метод Эилера можно заменить на более точные методы, например, на метод Рунге-Кутта.

На третьем этапе после вычисления весов неироннои сети для всех опытов может быть построена неиросетевая зависимость вида c th a  x  xc  силы, при которои балка ломается, от этих коэффициентов. Один из результатов такого исследования представлен на рис. 3. Рис. 3. Зависимость разрушающей силы от параметра « xc » из формулы (3) для зависимости, построенной для этой балки Резиновые нити В качестве образцов использовались резиновые нити. Разработанные методы без изменения могут применяться к моделированию процессов растяжения других объектов из упругого материала. Исследования проводились с резинками длины 5 и 8 сантиметров с четырьмя различными скоростями растяжения материала: 50 мм/мин, 250 мм/мин, 500 мм/мин и 1000 мм/мин. На основе опытов были получены графики зависимости удлинения (мм) от приложеннои растягивающеи силы (Н). По этим графикам удалось установить, что нагрузка, при которои происходит разрыв, практически не зависит от длины образца и скорости нарастания силы натяжения. 500 50 100 150 200 250 300 0.10 Рис. 5. Ошибка нейросетевой аппроксимации экспериментальной зависимости растягивающей силы от удлинения резиновой нити при длине образца 5 см. и скорости 500 мм/мин. Ниже приведены два графика для одного из экспериментов. Результаты других экспериментов похожи. На первом рисунке показаны данные экспериментов и аппроксимирующая их неиросетевая модель, на втором – отклонение неиросетевои модели от экспериментальных данных.

На первом рисунке видно, что при относительно малых растяжениях зависимость существенно нелинеиная, что противоречит известному закону Гука. При увеличении растяжения зависимость почти линеиная с малыми возмущениями перед разрывом. Отсутствие нелинеиного участка перед разрывом существенно затрудняет предсказание значения нагрузки, при которои происходит разрыв.

На первом этапе с помощью неиросетевои зависимости вида

F(x)  c1th[a1(x  xc1 )]  c2th[a2 (x  xc2 )] удалось достаточно точно аппроксимировать зависимость удлинения от нагрузки. Коэффициенты m a1,2,c1.2 и xc1,2 искались из условия минимума функционала ошибки   F  хi   Fi 2 . Здесь хi – i1 экспериментальное удлинение образца, а Fi – соответствующая ему растягивающая сила. Минимум искался сочетанием метода RProp и метода облака [ 7 ]. Приведём пример неиросетевои аппроксимации, соответствующеи приведённым выше рис. 4 и рис. 5

F (x)  11.18 tanh 0.00568 x  298.66 13.21tanh 0.0169 x  65.88 . вертикальнои оси, имеем зависимость x  G(x)  g 

Отметим, что для всех экспериментов относительная ошибка неиросетевои аппроксимации не превышала 3%. Видно возрастание ошибки перед моментом разрыва.

На втором этапе полученную зависимость можно использовать для изучения динамики – получения неиросетевои аппроксимации временнои зависимости высоты тела, подвешенного на упругои нити. Применяя закон Ньютона и приведённую выше аппроксимацию для зависимости растягивающеи силы от удлинения нити, которое соответствует изменению положения тела на 1

F(x) . Вводя в качестве дополнительнои m координаты скорость, можно (как уже отмечалось) переити к двумернои системе первого порядка вида y(t)  g(t, y(t)) . При этом, первои координатои вектора y   y1  является x , а второи  y2  функциональную аппроксимацию. Если, как и ранее, применить метод Эилера с n шагами для интегрирования данного уравнения на промежутке с переменным верхним пределом [0,t] , то при равномерном разбиении интервала получаем рекуррентную формулу вида t  t  yk1(t)  yk (t)  g  k , yk (t)  ,

n  n  при этом y0 (t)  y0

определяется начальными условиями. Искомая зависимость представляется первои координатои вектор-функции yn (t) . Сила g определена неиросетевои аппроксимациеи. Из формулы (5) следует, что yn (t) является выходом персептрона с n скрытыми (5) x(t) слоями.

На третьем этапе была построена неиросетевая модель зависимости разрушающеи силы (силы натяжения, при которои происходит разрыв) от весов, полученных на первом этапе неиросетевых аппроксимации. При этом веса этих неиросетевых аппроксимации различаются от образца к образцу и в сжатом виде представляют его поведение под нагрузкои. Ввиду небольшого числа протестированных образцов (22 образца) построение сложнои зависимости на этом этапе нецелесообразно. В связи с этим были построены простеишие неиросетевые зависимости вида c th[a(x  xc )] . Для определения их весов использовались такои же, как и ранее, функционал ошибки и такие же алгоритмы нелинеинои оптимизации, как и на первом этапе. Ниже приведена одна из полученных зависимостеи.

9 10 11 12 13 14 Рис. 6. Зависимость растягивающей силы, при которой происходит разрыв резиновой нити, от параметра с1 нейросетевой аппроксимации зависимости удлинения от растягивающей силы Учитывая сильное влияние на момент разрыва дефектов конкретного образца, полученныи результат можно считать удовлетворительным. Зная поведение образца на начальном участке нагружения, можно предугадать предельную силу и удлинение, при котором произоидет разрыв. Заключение

Результаты исследования могут наити свое применение в строительнои отрасли при обосновании выбора конструкции лесов, используемых при проведении разного рода строительных и ремонтных работ на высоте или при наличии перепада высот. Работы на высоте относятся к опасным видам работ, с производством которых связано большое количество несчастных случаев в результате падения человека, несмотря на регламентированные меры безопасности [ 1 ].

Рассмотренныи подход можно применить в строительнои отрасли при обосновании выбора спасательных тросов, используемых при проведении строительных работ методом промышленного альпинизма, при расчете риска при эвакуации людеи методом «прыжка на тент» [ 1 ].

Для моделирования поведения таких конструкции при динамических нагрузках можно применить методы и результаты даннои работы вместе с методами, изложенными в работах [ 7-20 ]. Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований (гранты №14-01-00660 и №14-01-00733).

References

1. Kaverzneva T.T. , Mazurenko K.S. Kontrol ' bezopasnosti pri provedenii rabot na vysote// Nauchnyy forum s mezhdunarodnym uchastiem «Nedelya nauki SPbPU»: materialy nauchno-prakticheskoy konferentsii . Institut voennotekhnicheskogo obrazovaniya i bezopasnosti SPbPU . - Izd-vo Politekhn . un-ta, 2015 . - 248 s. (s. 187 - 190 ).

2. Hearle JWS . One-dimensional textiles . Handbook of Technical Textiles . Elsevier; 2016 . 345 -360 p.

3. McKenna HA , Hearle JWS , O'Hear N. Handbook of Fibre Rope Technology . Handbook of Fibre Rope Technology . Elsevier; 2004 . 1 -34 p.

4. Weller SD , Johanning L , Davies P , Banfield SJ . Synthetic mooring ropes for marine renewable energy applications . Renew Energy . 2015 Nov; 83 : 1268 - 78 .

5. McLaren , A.J. ( 2006 ) Design and performance of ropes for climbing and sailing . Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part L: Journal of Materials: Design and Applications , 220 ( 1 ). pp. 1 - 12 .

6. Verzhbitskiy V.M. Chislennye metody. Matematicheskiy analiz i obyknovennye differentsial'nye uravneniya . - M.: Oniks 21 vek, 2005 . - 400 s.

7. Vasil 'ev A.N. , Tarkhov D.A. Neyrosetevoe modelirovanie . Printsipy. Algoritmy. Prilozheniya . - SPb.: Izd-vo SPbGPU , 2009 . - 528s .

8. Vasil 'ev A.N. , Tarkhov D.A. , Shemyakina T.A. Neyrosetevoy podkhod k zadacham matematicheskoy fiziki . - SPb.: «NestorIstoriya», 2015 . - 260s .

9. Tarkhov D.A. Neyrosetevye modeli i algoritmy . - M.: Radiotekhnika , 2014 . - 348 s.

10. Vasil 'ev A.N. , Tarkhov D.A. , Shemyakina T.A. Neyrosetevaya model' resheniya zadachi o katalizatore. Gibridnyy metod // Problemy informatiki v obrazovanii, upravlenii, ekonomike i tekhnike: sb. statey XIV Mezhdunar. nauchno-tekhn . konf. - Penza: Privolzhskiy Dom znaniy, 2014 . - S. 58 - 62 .

11. Vasil 'ev A.N. , Tarkhov D.A. , Shemyakina T.A. Model ' neizometricheskogo khimicheskogo reaktora na osnove parametricheskikh neyronnykh setey// Problemy informatiki v obrazovanii, upravlenii, ekonomike i tekhnike: sb. statey XV Mezhdunar. nauchno-tekhn . konf. - Penza: Privolzhskiy Dom znaniy, 2015 . - S. 96 - 99 .

12. Vasil 'ev A.N. , Lazovskaya T.V. , Tarkhov D.A. , Shemyakina T.A. Neyrosetevoy podkhod k resheniyu slozhnykh zadach dlya obyknovennykh differentsial'nykh uravneniy// XVIII Mezhdunar. nauchno-tekhn . konf. «Neyroinformatika-2016»: sb. nauch. tr. Ch .3. M.: NIYaU MIFI , 2016 , S. 52 - 61 .

13. Budkina E. M. , Kuznetsov E. B. , Lazovskaya T. V. , Leonov S. S. , Tarkhov D. A. , Vasilyev A. N. Neural Network Technique in Boundary Value Problems for Ordinary Differential Equations// Springer International Publishing Switzerland 2016 L. Cheng et al. (Eds.): ISNN 2016 , LNCS 9719. 2016 . - pp. 277 - 283 .

14. Gorbachenko V. I. , Lazovskaya T. V. , Tarkhov D. A. , Vasilyev A. N. , Zhukov M.V. Neural Network Technique in Some Inverse Problems of Mathematical Physics// Springer International Publishing Switzerland 2016 L. Cheng et al. (Eds.): ISNN 2016 , LNCS 9719. 2016 . - pp. 310 - 316 .

15. Kainov N.U. , Tarkhov D.A. , Shemyakina T.A. Application of neural network modeling to identication and prediction problems in ecology data analysis for metallurgy and welding industry// Nonlinear Phenomena in Complex Systems , 2014 . - vol. 17 , 1 . - pp. 57 - 63 .

16. Lazovskaya T.V. , Tarkhov D.A. Fresh approaches to the construction of parameterized neural network solutions of a stiff differential equation . St. Petersburg Polytechnical University Journal: Physics and Mathematics ( 2015 ), http://dx.doi.org/10.1016/j.spjpm. 2015 . 07 .005

17. Shemyakina T. A. , Tarkhov D. A. , Vasilyev A. N. Neural Network Technique for Processes Modeling in Porous Catalyst and Chemical Reactor// Springer International Publishing Switzerland 2016 L. Cheng et al. (Eds.): ISNN 2016 , LNCS 9719. 2016 . - pp. 547 - 554 .

18. Tarkhov D. , Vasilyev A . New neural network technique to the numerical solution of mathematical physics problems. I: Simple problems Optical Memory and Neural Networks (Information Optics) , 2005 . - 14 . - pp. 59 - 72 .

19. Tarkhov D. , Vasilyev A . New neural network technique to the numerical solution of mathematical physics problems . II: Complicated and nonstandard problems Optical Memory and Neural Networks (Information Optics) , 2005 . - 14 . - pp. 97 - 122 .

20. Vasilyev A. , Tarkhov D . Mathematical Models of Complex Systems on the Basis of Artificial Neural Networks// Nonlinear Phenomena in Complex Systems , 2014 . - vol. 17 , 2 . - pp. 327 - 335 .