КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА
При моделировании разных физических и технических систем их зачастую можно
моделировать в форме одношаговых процессов [
= [ ( ; , ) ( , ; , ) − ( ; , ) ( , ; , )] , где w(φ|ψ,t) есть вероятность перехода из состояния ψ в состояние φ за единицу времени.
При дискретнои области определения множества состоянии системы φ можно записать (пронумеровав состояния числами n и m): ( ) = ( ) − ( ), где pn — вероятность нахождения системы в состоянии n в момент времени t, wnm — вероятность перехода системы из состояния m в состояние n за единицу времени. Операторный подход
Представление чисел заполнение является основным языком при описании физики многих
тел. Главными элементами этого языка являются волновые функции системы, содержащие
информацию о том, сколько частиц находится в каждом одночастичном состоянии. Для изменения
состояния системы используют операторы рождения и уничтожения. Методика применения
формализма вторичного квантования для неквантовых систем (статистических,
детерминированных) была рассмотрена в целом ряде статеи [
∗ : = = ( ) =< | = | > . Скалярное произведение имеет следующии вид:
= ⟨ | ⟩.
Опишем предлагаемую нами диаграммную технику для стохастизации одношаговых процессов.
Рис. 1. Прямое взаимодействие Рис. 2. Обратное взаимодействие Будем записывать схемы взаимодеиствия в виде диаграмм. Каждои схеме взаимодеиствия соответствует пара диаграмм (рис. 1 и 2) для прямого и обратного взаимодеиствия соответственно. Диаграмма состоит из следующих элементов: входящие линии (на рисунке 1 обозначено сплошнои линиеи). Эти линии направлены к линии взаимодеиствия. Линия помечается количеством и типом взаимодеиствующих сущностеи. Можно записывать по однои сущности на линию или группировать их; исходящие линии (на рисунке 1 обозначено сплошнои линиеи). Эти линии направлены от линии взаимодеиствия. Линия помечается количеством и типом взаимодеиствующих сущностеи. Можно записывать по однои сущности на линию или группировать их; линия взаимодеиствия. (на рисунке 1 обозначена пунктирнои линиеи). Направление времени обозначено стрелкои. Линия помечается коэффициентом интенсивности взаимодеиствия.
Каждои линии приписывается определённыи фактор (в зависимости от выбранного подхода). Результирующее выражение получается перемножением этих факторов. При применении операторного подхода с помощью диаграмм взаимодеиствия мы получаем оператор Лиувилля. Каждои линии присвоим соответствующии фактор. Результирующии членом будет получен из нормального произведения (нормальное произведение есть запись произведения операторов в виде, когда все операторы рождения стоят слева от всех операторов уничтожения. факторов).
Рис. 3. Прямое взаимодействие (операторный подход) Рис. 4. Обратное взаимодействие (операторный подход) Будем использовать следующие факторы для каждого типа линии (рис. 3). Входящая линия. Линия соответствует выводу однои сущности из системы. Следовательно, еи соответствует оператор уничтожения a. Очевидно, что комбинированнои линии мощности I соответствует оператор aI. Исходящая линия. Линия соответствует появлению в системе новои сущности. Следовательно, еи соответствует оператор рождения π. Очевидно, что комбинированнои линии мощности F соответствует оператор πF. Линия взаимодеиствия. Этои линии соответствует собственно коэффициент интенсивности взаимодеиствия.
Рис. 5. Прямое взаимодействие (операторный подход), расширенная нотация Рис. 6. Обратное взаимодействие (операторный подход), расширенная нотация Для корректировки диаграммы 3 мы должны вычесть количество сущностеи, вступивших во взаимодеиствие, помноженное на интенсивность взаимодеиствия. Тогда получим следующии член оператора Лиувилля:
− = ( − ) . Для обратных взаимодеиствии (рис. 4) используются эти же правила.
Для учёта дополнительного фактора будем использовать расширенные диаграммы (см. рис. 5 и 6). Здесь из нормального произведения числителеи вычитается нормальное произведение знаменателеи.
Таким образом, получаем оператор Лиувилля: = ( ) − ( ) ( ) + ( ) − ( ) ( ) . Модель Ферхюльста
В качестве демонстрации метода рассмотрим модель Ферхюльста [
,
⇔
2 ,
здесь λ — коэффициент интенсивности размножения, β — коэффициент интенсивности
вымирания, γ — коэффициент интенсивности уменьшения популяции. Здесь мы оставляем те же
обозначения, что и в исходнои модели [
⇒ 0.
Первое соотношение означает, что индивидуум, которыи съедает единицу пищи, немедленно репродуцируется, в обратную сторону – соперничество между индивидуумами. Второе — смерть индивидуума.
Рис. 7. Первое прямое взаимодействие
Рис. 9. Второе взаимодействие Применим операторныи подход. Для схем взаимодеиствия (10, 11 и 12) получаем оператор Лиувилля: 1 = ⟨ |−[ + + ] + [ + ] + ⟩ =
! = −[ + + ( − 1)]⟨ | ⟩ + [ ( + 1) + ( + 1) ]⟨ + 1| ⟩ + ( − 1)⟨ − 1| ⟩ = = −[ + + ( − 1)] ( ) + [ ( + 1) + ( + 1) ] + 1( ) + ( − 1) − 1( ). Результат полностью совпадает с формулои, полученнои комбинаторным методом. Заключение
Авторами предложена диаграммная техника для стохастизации одношаговых процессов. На данныи момент эта техника позволяет получить основное кинетическое уравнение. Также эта техника позволяет унифицировать разные подходы к стохастизации одношаговых процессов. Работа частично поддержана грантами РФФИ № 14-01-00628, 15-07-08795, 16-07-00556. Также публикация выполнена при финансовой поддержке Минобрнауки России (Соглашение № 02.a03.21.0008).
References