ДИАГРАММНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОПЕРАТОРНОГО ФОРМАЛИЗМА ОДНОШАГОВЫХ ПРОЦЕССОВ * АННОТАЦИЯ В развиваемом группой методе стохастизации одношаговых процессов из исходной стохастической системы получаются упрощённые математические модели. Эти модели возможно исследовать стандартными методами, в отличии от исходной системы. Однако сам процесс стохастизации зависит от типа исследуемой системы. Мы хотим получить унифицированный абстрактный формализм для стохастизации одношаговых процессов. Данный формализм должен быть эквивалентен ранее введёному. Для унификации методов построения основного кинетического уравнения предлагается использовать диаграммную технику. Предложена диаграммная техника, позволяющая получать унифицированным образом основное кинетическое уравнение для исследуемой системы. КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА Представление чисел заполнения, пространство Фока, нотация Дирака, одношаговые процессы, основное кинетическое уравнение, диаграммная техника.
При моделировании разных физических и технических систем их зачастую можно моделировать в форме одношаговых процессов [1][2][3][4]. Тогда встает задача адекватного представления и изучения полученнои модели. Для статистических систем кроме представления векторов состояния (комбинаторныи подход) [1,2] также используется и представление чисел заполнения (операторныи подход) [5][6][7][8][9][10], особенно хорошо подходящее для описания систем с переменным числом элементов. Однако, техника получения моделеи для комбинаторного достаточно сильно отличается от техники для операторного подхода. В даннои работе мы хотим предложить унифицированную методику для обоих подходов на основе диаграммнои техники.
Наша методика полностью формализована таким образом, что для её применения достаточно сформулировать исходную задачу соответствующим образом. Следует заметить, что большинство исследуемых нами моделеи можно было формализовать как одношаговые процессы [12,13]. Собственно, для этого типа моделеи и развивалась нами эта методика. Что не исключает возможности расширения её и на другие процессы. Итак, первым шагом мы приводим нашу модель к виду одношагового процесса. Далее необходимо формализовать этот процесс в виде схем взаимодеи ствия. Аналогами схем взаимодеи ствия являются уравнения химическои кинетики, реакции частиц и т.д. [1,2,5]. Каждои схеме взаимодеи ствия приписывается собственная семантика. Эта семантика приводит непосредственно к основному кинетическому уравнению. Однако основное кинетическое уравнение [12,13]. имеет обычно достаточно сложную структуру, что затрудняет его решение и исследование. Тогда возможны два пути:
вычислительныи подход -решение основного кинетического уравнения, например, по теории возмущении ; модельныи подход -получение приближенных моделеи в виде уравнении Фоккера-Планка и Ланжевена. Вычислительныи подход позволяет получать конкретное решение для изучаемои модели. В нашеи методике данныи подход связан с решением по теории возмущении [14][15][16]. Модельныи подход позволяет получить модели, которые удобно исследовать численно и качественно.
По методам построения основного кинетического уравнения (и, соответственно, последующих упрощенных моделеи ) можно выделить два подхода:
комбинаторныи подход; операторныи подход. В комбинаторном подходе все деи ствия выполняются в пространстве векторов состояния системы, то есть мы на протяжении всех модельных манипуляции имеем дело с конкретнои исследуемои системои .
В операторном подходе мы отвлекаемся от конкретнои реализации исследуемои системы, работая с абстрактными операторами. В пространство векторов состоянии мы переходим только в конце вычислении . Кроме того, конкретную операторную алгебру мы выбираем, исходя их симметрии задачи.
Для описания системы используется основное кинетическое уравнение (master equation):
( , ; , ) = [ ( ; , ) ( , ; , ) − ( ; , ) ( , ; , )] ,
где w(φ|ψ,t) есть вероятность перехода из состояния ψ в состояние φ за единицу времени. При дискретнои области определения множества состоянии системы φ можно записать (пронумеровав состояния числами n и m):
где pn -вероятность нахождения системы в состоянии n в момент времени t, wnm -вероятность перехода системы из состояния m в состояние n за единицу времени.
Представление чисел заполнение является основным языком при описании физики многих тел. Главными элементами этого языка являются волновые функции системы, содержащие информацию о том, сколько частиц находится в каждом одночастичном состоянии. Для изменения состояния системы используют операторы рождения и уничтожения. Методика применения Оператор Лиувилля L удовлетворяет соотношению:
< 0| = 0.
Опишем предлагаемую нами диаграммную технику для стохастизации одношаговых процессов.
Авторами предложена диаграммная техника для стохастизации одношаговых процессов. На данныи момент эта техника позволяет получить основное кинетическое уравнение. Также эта техника позволяет унифицировать разные подходы к стохастизации одношаговых процессов.