=Paper=
{{Paper
|id=Vol-1763/paper04
|storemode=property
|title=
Диаграммное представление операторного формализма
одношаговых процессов
(Diagram representation for the operator approach of one-step processes stochastization)
|pdfUrl=https://ceur-ws.org/Vol-1763/paper04.pdf
|volume=Vol-1763
|authors=Ecatherina Eferina,Tatyana Velieva,Anna Korolkova,Mikhail Hnatich,Dmitry Kulyabov,Leonid Sevastianov
}}
==
Диаграммное представление операторного формализма
одношаговых процессов
(Diagram representation for the operator approach of one-step processes stochastization)
==
https://ceur-ws.org/Vol-1763/paper04.pdf
УДК 51-7+530.145
Еферина Е.Г.1, Велиева Т.Р.1, Королькова А.В.1, Гнатич М.3,4,5, Кулябов Д.С.1,2,
Севастьянов Л. А.1,3
1Россиискии университет дружбы народов, Москва, Россия
2Объединё нныи институт ядерных исследовании, Дубна, Московская область, Россия
3Объединё нныи институт ядерных исследовании, Дубна, Московская область, Россия
4Институт экспериментальнои физики, Кошице, Словакия
5Университет Павола Иозефа Шафарика, Кошице, Словакия
ДИАГРАММНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОПЕРАТОРНОГО ФОРМАЛИЗМА
ОДНОШАГОВЫХ ПРОЦЕССОВ*
АННОТАЦИЯ
В развиваемом группой методе стохастизации одношаговых процессов из исходной
стохастической системы получаются упрощённые математические модели. Эти
модели возможно исследовать стандартными методами, в отличии от исходной
системы. Однако сам процесс стохастизации зависит от типа исследуемой системы.
Мы хотим получить унифицированный абстрактный формализм для стохастизации
одношаговых процессов. Данный формализм должен быть эквивалентен ранее
введёному. Для унификации методов построения основного кинетического уравнения
предлагается использовать диаграммную технику. Предложена диаграммная
техника, позволяющая получать унифицированным образом основное кинетическое
уравнение для исследуемой системы.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА
Представление чисел заполнения, пространство Фока, нотация Дирака, одношаговые
процессы, основное кинетическое уравнение, диаграммная техника.
Ecatherina Eferina1, Tatyana Velieva1, Anna Korolkova1, Mikhail Hnatich3,4,5,
Dmitry Kulyabov1,2, Leonid Sevastianov1,3
1RUDN University (Peoples’ Friendship University of Russia), Moscow, Russia
2Institute for Nuclear Research, Dubna, Moscow region, Russia
3Institute for Nuclear Research, Dubna, Moscow region, Russia
4Institute of Experimental Physics, Koš ice, Slovakia
5Pavol Jozef Safá rik University in Koš ice (UPJS), Koš ice, Slovak Republic
DIAGRAM REPRESENTATION FOR THE OPERATOR APPROACH OF ONE-STEP
PROCESSES STOCHASTIZATION
ABSTRACT
By the means of the method of stochastization of one-step processes we get the simplified
mathematical model of the original stochastic system. We can explore these models by standard
methods, as opposed to the original system. The process of stochastization depends on the type
of the system under study. We want to get a unified abstract formalism for stochastization of
one-step processes. This formalism should be equivalent to the previously introduced. To unify
the methods of construction of the master equation, we propose to use the diagram technique.
We get a diagram technique, which allows to unify getting master equation for the system
under study.
KEYWORDS
Occupation numbers representation, Fock space, Dirac notation, one-step processes, master
equation, diagram technique.
* Труды I Международной научной конференции «Конвергентные когнитивно-
информационные технологии» (Convergent’2016), Москва, 25-26 ноября, 2016
28
Введение
При моделировании разных физических и технических систем их зачастую можно
моделировать в форме одношаговых процессов [1–4]. Тогда встаё т задача адекватного
представления и изучения полученнои модели. Для статистических систем кроме представления
векторов состояния (комбинаторныи подход) [1, 2] также используется и представление чисел
заполнения (операторныи подход) [5–10], особенно хорошо подходящее для описания систем с
переменным числом элементов. Однако, техника получения моделеи для комбинаторного
достаточно сильно отличается от техники для операторного подхода. В даннои работе мы хотим
предложить унифицированную методику для обоих подходов на основе диаграммнои техники.
Общее описание методики
Наша методика полностью формализована таким образом, что для её применения
достаточно сформулировать исходную задачу соответствующим образом. Следует заметить, что
большинство исследуемых нами моделеи можно было формализовать как одношаговые
процессы [12, 13]. Собственно, для этого типа моделеи и развивалась нами эта методика. Что не
исключает возможности расширения её и на другие процессы. Итак, первым шагом мы приводим
нашу модель к виду одношагового процесса. Далее необходимо формализовать этот процесс в виде
схем взаимодеиствия. Аналогами схем взаимодеиствия являются уравнения химическои кинетики,
реакции частиц и т.д. [1, 2, 5]. Каждои схеме взаимодеиствия приписывается собственная
семантика. Эта семантика приводит непосредственно к основному кинетическому уравнению.
Однако основное кинетическое уравнение [12, 13]. имеет обычно достаточно сложную структуру,
что затрудняет его решение и исследование. Тогда возможны два пути:
вычислительныи подход — решение основного кинетического уравнения, например, по
теории возмущении;
модельныи подход — получение приближё нных моделеи в виде уравнении Фоккера–
Планка и Ланжевена.
Вычислительныи подход позволяет получать конкретное решение для изучаемои модели.
В нашеи методике данныи подход связан с решением по теории возмущении [14–16]. Модельныи
подход позволяет получить модели, которые удобно исследовать численно и качественно.
По методам построения основного кинетического уравнения (и, соответственно,
последующих упрощё нных моделеи) можно выделить два подхода:
комбинаторныи подход;
операторныи подход.
В комбинаторном подходе все деиствия выполняются в пространстве векторов состояния
системы, то есть мы на протяжении всех модельных манипуляции имеем дело с конкретнои
исследуемои системои.
В операторном подходе мы отвлекаемся от конкретнои реализации исследуемои системы,
работая с абстрактными операторами. В пространство векторов состоянии мы переходим только в
конце вычислении. Кроме того, конкретную операторную алгебру мы выбираем, исходя их
симметрии задачи.
Основное кинетическое уравнение
Для описания системы используется основное кинетическое уравнение (master equation):
( , ; , )
= [ ( ; , ) ( , ; , ) − ( ; , ) ( , ; , )] ,
где w(φ|ψ,t) есть вероятность перехода из состояния ψ в состояние φ за единицу времени.
При дискретнои области определения множества состоянии системы φ можно записать
(пронумеровав состояния числами n и m):
( )
= ( )− ( ),
где pn — вероятность нахождения системы в состоянии n в момент времени t, wnm — вероятность
перехода системы из состояния m в состояние n за единицу времени.
Операторный подход
Представление чисел заполнение является основным языком при описании физики многих
тел. Главными элементами этого языка являются волновые функции системы, содержащие
информацию о том, сколько частиц находится в каждом одночастичном состоянии. Для изменения
состояния системы используют операторы рождения и уничтожения. Методика применения
29
формализма вторичного квантования для неквантовых систем (статистических,
детерминированных) была рассмотрена в целом ряде статеи [7, 19–21]. Для записи представления
чисел заполнения обычно используют нотацию Дирака. В нотации, предложеннои П. А. М. Дираком
состояние системы описывается элементом проективного гильбертового пространства.
∗ := = ( ) =< | = | > .
Скалярное произведение имеет следующии вид:
= ⟨ | ⟩.
Тензорное произведение имеет вид:
= | >< |.
В формализме чисел заполнения основное кинетическое уравнение переходит в уравнение
Лиувилля:
| ( ) >= | ( ) >.
Оператор Лиувилля L удовлетворяет соотношению:
< 0| = 0.
Диаграммная запись
Опишем предлагаемую нами диаграммную технику для стохастизации одношаговых
процессов.
Рис. 1. Прямое взаимодействие
Рис. 2. Обратное взаимодействие
Будем записывать схемы взаимодеиствия в виде диаграмм. Каждои схеме взаимодеиствия
соответствует пара диаграмм (рис. 1 и 2) для прямого и обратного взаимодеиствия соответственно.
Диаграмма состоит из следующих элементов:
входящие линии (на рисунке 1 обозначено сплошнои линиеи). Эти линии направлены к
линии взаимодеиствия. Линия помечается количеством и типом взаимодеиствующих
сущностеи. Можно записывать по однои сущности на линию или группировать их;
исходящие линии (на рисунке 1 обозначено сплошнои линиеи). Эти линии направлены от
линии взаимодеиствия. Линия помечается количеством и типом взаимодеиствующих
сущностеи. Можно записывать по однои сущности на линию или группировать их;
линия взаимодеиствия. (на рисунке 1 обозначена пунктирнои линиеи). Направление
времени обозначено стрелкои. Линия помечается коэффициентом интенсивности
взаимодеиствия.
Каждои линии приписывается определё нныи фактор (в зависимости от выбранного
подхода). Результирующее выражение получается перемножением этих факторов.
При применении операторного подхода с помощью диаграмм взаимодеиствия мы получаем
оператор Лиувилля. Каждои линии присвоим соответствующии фактор. Результирующии членом
будет получен из нормального произведения (нормальное произведение есть запись произведения
операторов в виде, когда все операторы рождения стоят слева от всех операторов уничтожения.
факторов).
Рис. 3. Прямое взаимодействие (операторный подход)
Рис. 4. Обратное взаимодействие (операторный подход)
Будем использовать следующие факторы для каждого типа линии (рис. 3).
Входящая линия. Линия соответствует выводу однои сущности из системы. Следовательно,
еи соответствует оператор уничтожения a. Очевидно, что комбинированнои линии
30
мощности I соответствует оператор aI.
Исходящая линия. Линия соответствует появлению в системе новои сущности.
Следовательно, еи соответствует оператор рождения π. Очевидно, что комбинированнои
линии мощности F соответствует оператор πF.
Линия взаимодеиствия. Этои линии соответствует собственно коэффициент
интенсивности взаимодеиствия.
Рис. 5. Прямое взаимодействие (операторный подход), расширенная нотация
Рис. 6. Обратное взаимодействие (операторный подход), расширенная нотация
Для корректировки диаграммы 3 мы должны вычесть количество сущностеи, вступивших
во взаимодеиствие, помноженное на интенсивность взаимодеиствия. Тогда получим следующии
член оператора Лиувилля:
− = ( − ) .
Для обратных взаимодеиствии (рис. 4) используются эти же правила.
Для учё та дополнительного фактора будем использовать расширенные диаграммы (см.
рис. 5 и 6). Здесь из нормального произведения числителеи вычитается нормальное произведение
знаменателеи.
Таким образом, получаем оператор Лиувилля:
= ( ) −( ) ( ) + ( ) −( ) ( ) .
Модель Ферхюльста
В качестве демонстрации метода рассмотрим модель Ферхюльста [24–26], описывающую
ограниченныи рост (привлекательность этои модели в том, что она одномерна и нелинеина).
Изначально эта модель описывается следующим дифференциальным уравнением:
= − − ,
здесь λ — коэффициент интенсивности размножения, β — коэффициент интенсивности
вымирания, γ — коэффициент интенсивности уменьшения популяции. Здесь мы оставляем те же
обозначения, что и в исходнои модели [24]. Построим стохастическии вариант даннои модели.
Запишем схемы взаимодеиствия:
⇔ 2 ,
⇒ 0.
Первое соотношение означает, что индивидуум, которыи съедает единицу пищи,
немедленно репродуцируется, в обратную сторону – соперничество между индивидуумами.
Второе — смерть индивидуума.
Рис. 7. Первое прямое взаимодействие
31
Рис. 8. Первое обратное взаимодействие
Рис. 9. Второе взаимодействие
Применим операторныи подход. Для схем взаимодеиствия (10, 11 и 12) получаем оператор
Лиувилля:
= ( − ) + ( − ) + (1 − ) =
= (( ) − ) + ( − ( ) ) + (1 − ) =
= ( − 1) + (1 − ) + (1 − ) .
Рис. 10. Первое прямое взаимодействие (операторный подход)
Рис. 11. Первое обратное взаимодействие (операторный подход)
Рис. 12. Второе взаимодействие (операторный подход)
Запишем основное кинетическое уравнение через оператор Лиувилля:
( ) 1
= ⟨ | | ⟩=
!
1
= ⟨ |−[ + + ]+[ + ]+ ⟩=
!
= −[ + + ( − 1)]⟨ | ⟩ + [ ( + 1) + ( + 1) ]⟨ + 1| ⟩ + ( − 1)⟨ − 1| ⟩ =
= −[ + + ( − 1)] ( ) + [ ( + 1) + ( + 1) ] + 1( ) + ( − 1) − 1( ).
Результат полностью совпадает с формулои, полученнои комбинаторным методом.
Заключение
Авторами предложена диаграммная техника для стохастизации одношаговых процессов. На
данныи момент эта техника позволяет получить основное кинетическое уравнение. Также эта
техника позволяет унифицировать разные подходы к стохастизации одношаговых процессов.
32
Работа частично поддержана грантами РФФИ № 14-01-00628, 15-07-08795, 16-07-00556.
Также публикация выполнена при финансовой поддержке Минобрнауки России (Соглашение
№ 02.a03.21.0008).
Литература
1. Demidova A. V., Korolkova A. V., Kulyabov D. S., Sevastianov L. A. The method of stochastization of one-step processes //
Mathematical Modeling and Computational Physics. — Dubna : JINR, 2013. — P. 67.
2. Demidova A. V., Korolkova A. V., Kulyabov D. S., Sevastyanov L. A. The method of constructing models of peer to peer
protocols // 6th International Congress on Ultra Modern Telecommunications and Control Systems and Workshops
(ICUMT). — IEEE Computer Society, 2015. — P. 557–562. — 1504.00576.
3. Velieva T. R., Korolkova A. V., Kulyabov D. S. Designing installations for verification of the model of active queue
management discipline RED in the GNS3 // 6th International Congress on Ultra Modern Telecommunications and Control
Systems and Workshops (ICUMT). — IEEE Computer Society, 2015. — P. 570–577. — 1504.02324.
4. Basharin G. P., Samouylov K. E., Yarkina N. V., Gudkova I. A. A new stage in mathematical teletraffic theory // Automation
and Remote Control. — 2009. — dec. — Vol. 70, no. 12. — P. 1954–1964.
5. Hnatič M., Eferina E. G., Korolkova A. V. et al. Operator Approach to the Master Equation for the One-Step Process // EPJ
Web of Conferences. — 2016. — Vol. 108. — P. 02027. — 1603.02205.
6. Korolkova A. V., Eferina E. G., Laneev E. B. et al. Stochastization of one-step processes in the occupations number
representation // Proceedings - 30th European Conference on Modelling and Simulation, ECMS 2016. — 2016. — P. 698–
704.
7. Grassberger P., Scheunert M. Fock-Space Methods for Identical Classical Objects // Fortschritte der Physik. — 1980. —
Vol. 28, no. 10. — P. 547–578.
8. Tauber U. C. Field-Theory Approaches to Nonequilibrium Dynamics // Ageing and the Glass Transition. — Berlin,
Heidelberg : Springer Berlin Heidelberg, 2005. — Vol. 716. — P. 295–348. — 0511743.
9. Janssen H.-K., Tauber U. C. The field theory approach to percolation processes // Annals of Physics. — 2005. — jan. — Vol.
315, no. 1. — P. 147–192. — 0409670.
10. Mobilia M., Georgiev I. T., Tauber U. C. Fluctuations and correlations in lattice models for predator-prey interaction //
Physical Review E. — 2006. — apr. — Vol. 73, no. 4. — P. 040903. — 0508043.
11. Пенроуз Р., Риндлер В. Спиноры и пространство-время. Два-спинорное исчисление и релятивистские поля. — М. :
Мир, 1987. — Т. 1.
12. Ван-Кампен Н. Г. Стохастические процессы в физике и химии. — М. : Высшая школа, 1990.
13. Гардинер К. В. Стохастические методы в естественных науках. — Мир, 1986.
14. Hnatič M., Honkonen J., Lučivjansk§ T. Field-theoretic technique for irreversible reaction processes // Physics of Particles
and Nuclei. — 2013. — Vol. 44, no. 2. — P. 316–348.
15. Hnatich M., Honkonen J. Velocity-fluctuation-induced anomalous kinetics of the A + A → reaction // Physical review. E,
Statistical physics, plasmas, fluids, and related interdisciplinary topics. — 2000. — Vol. 61, no. 4 Pt A. — P. 3904–3911.
16. Гнатич М., Хонконен Ю., Лучивянски Т. Теоретико-полевой подход к описанию кинетических реакций. Роль
случайных источников и стоков // Теоретическая и математическая физика. — 2011. — Т. 169, № 1. — С. 146–157.
17. Waage P., Gulberg C. M. Studies concerning affinity // J. Chem. Educ. — 1986. — Vol. 63, no. 12. — P. 1044.
18. Gorban A. N., Yablonsky G. S. Three Waves of Chemical Dynamics // Math. Model. Nat. Phenom. Vol. — 2015. — Vol. 10,
no. 5. — P. 1–5.
19. Doi M. Second quantization representation for classical many-particle system // Journal of Physics A: Mathematical and
General. — 1976. — Vol. 9, no. 9. — P. 1465–1477.
20. Doi M. Stochastic theory of diffusion-controlled reaction // Journal of Physics A: Mathematical and General. — 1976. —
Vol. 9, no. 9. — P. 1479–1495.
21. Peliti L. Path integral approach to birth-death processes on a lattice // Journal de Physique. — 1985. — Vol. 46, no. 9. —
P. 1469–1483.
22. Cajori F. A History of Mathematical Notations. — 1929. — Vol. 2. — P. 367.
23. Dirac P. A. M. A new notation for quantum mechanics // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society.
— 1939. — Vol. 35, no. 03. — P. 416.
24. Verhulst P. F. Notice sur la loi que la population suit dans son accroissement. — 1838. — Vol. 10. — P. 113–117.
25. Feller W. Die Grundlagen der Volterraschen Theorie des Kampfes ums Dasein in wahrscheinlichkeitstheoretischer
Behandlung // Acta Biotheoretica. — 1939. — Bd. 5, H. 1. — S. 11–40.
26. Feller W. On the theory of stochastic processes, with particular reference to applications // Proceedings of the First.
Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability. — 1949. — P. 403–432.
References
1. Demidova A. V., Korolkova A. V., Kulyabov D. S., Sevastianov L. A. The method of stochastization of one-step processes //
Mathematical Modeling and Computational Physics. — Dubna : JINR, 2013. — P. 67.
2. Demidova A. V., Korolkova A. V., Kulyabov D. S., Sevastyanov L. A. The method of constructing models of peer to peer
protocols // 6th International Congress on Ultra Modern Telecommunications and Control Systems and Workshops
(ICUMT). — IEEE Computer Society, 2015. — P. 557–562. — 1504.00576.
3. Velieva T. R., Korolkova A. V., Kulyabov D. S. Designing installations for verification of the model of active queue
management discipline RED in the GNS3 // 6th International Congress on Ultra Modern Telecommunications and Control
Systems and Workshops (ICUMT). — IEEE Computer Society, 2015. — P. 570–577. — 1504.02324.
4. Basharin G. P., Samouylov K. E., Yarkina N. V., Gudkova I. A. A new stage in mathematical teletraffic theory // Automation
and Remote Control. — 2009. — dec. — Vol. 70, no. 12. — P. 1954–1964.
5. Hnatič M., Eferina E. G., Korolkova A. V. et al. Operator Approach to the Master Equation for the One-Step Process // EPJ
Web of Conferences. — 2016. — Vol. 108. — P. 02027. — 1603.02205.
6. Korolkova A. V., Eferina E. G., Laneev E. B. et al. Stochastization of one-step processes in the occupations number
representation // Proceedings - 30th European Conference on Modelling and Simulation, ECMS 2016. — 2016. — P. 698–
704.
33
7. Grassberger P., Scheunert M. Fock-Space Methods for Identical Classical Objects // Fortschritte der Physik. — 1980. —
Vol. 28, no. 10. — P. 547–578.
8. Tauber U. C. Field-Theory Approaches to Nonequilibrium Dynamics // Ageing and the Glass Transition. — Berlin,
Heidelberg : Springer Berlin Heidelberg, 2005. — Vol. 716. — P. 295–348. — 0511743.
9. Janssen H.-K., Tauber U. C. The field theory approach to percolation processes // Annals of Physics. — 2005. — jan. — Vol.
315, no. 1. — P. 147–192. — 0409670.
10. Mobilia M., Georgiev I. T., Tauber U. C. Fluctuations and correlations in lattice models for predator-prey interaction //
Physical Review E. — 2006. — apr. — Vol. 73, no. 4. — P. 040903. — 0508043.
11. R. Penrose, W. Rindler, Spinors and Space-Time: Volume 1, Two-Spinor Calculus and Relativistic Fields, Vol. 1, Cambridge
University Press, 1987.
12. N. G. van Kampen, Stochastic Processes in Physics and Chemistry, North-Holland Personal Library, Elsevier Science, 2011.
13. C. W. Gardiner, Handbook of Stochastic Methods: for Physics, Chemistry and the Natural Sciences, Springer Series in
Synergetics, 1985.
14. Hnatič M., Honkonen J., Lučivjansk§ T. Field-theoretic technique for irreversible reaction processes // Physics of Particles
and Nuclei. — 2013. — Vol. 44, no. 2. — P. 316–348.
15. Hnatich M., Honkonen J. Velocity-fluctuation-induced anomalous kinetics of the A + A → reaction // Physical review. E,
Statistical physics, plasmas, fluids, and related interdisciplinary topics. — 2000. — Vol. 61, no. 4 Pt A. — P. 3904–3911.
16. M. Hnatich, J. Honkonen, T. Lučivjanský, Field theory approach in kinetic reaction: Role of random sources and sinks,
Theoretical and Mathematical Physics 169 (1) (2011) 1489–1498. arXiv:1109.6435, doi:10.1007/s11232-011-0125-8.
17. Waage P., Gulberg C. M. Studies concerning affinity // J. Chem. Educ. — 1986. — Vol. 63, no. 12. — P. 1044.
18. Gorban A. N., Yablonsky G. S. Three Waves of Chemical Dynamics // Math. Model. Nat. Phenom. Vol. — 2015. — Vol. 10,
no. 5. — P. 1–5.
19. Doi M. Second quantization representation for classical many-particle system // Journal of Physics A: Mathematical and
General. — 1976. — Vol. 9, no. 9. — P. 1465–1477.
20. Doi M. Stochastic theory of diffusion-controlled reaction // Journal of Physics A: Mathematical and General. — 1976. —
Vol. 9, no. 9. — P. 1479–1495.
21. Peliti L. Path integral approach to birth-death processes on a lattice // Journal de Physique. — 1985. — Vol. 46, no. 9. —
P. 1469–1483.
22. Cajori F. A History of Mathematical Notations. — 1929. — Vol. 2. — P. 367.
23. Dirac P. A. M. A new notation for quantum mechanics // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society.
— 1939. — Vol. 35, no. 03. — P. 416.
24. Verhulst P. F. Notice sur la loi que la population suit dans son accroissement. — 1838. — Vol. 10. — P. 113–117.
25. Feller W. Die Grundlagen der Volterraschen Theorie des Kampfes ums Dasein in wahrscheinlichkeitstheoretischer
Behandlung // Acta Biotheoretica. — 1939. — Bd. 5, H. 1. — S. 11–40.
26. Feller W. On the theory of stochastic processes, with particular reference to applications // Proceedings of the First.
Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability. — 1949. — P. 403–432.
Поступила 2.10.2016
Об авторах:
Еферина Екатерина Геннадьевна, магистрантка Российского университета дружбы народов, eg.eferina@gmail.com;
Велиева Татьяна Рефатовна, ассистент кафедры прикладной информатики и теории вероятностей Российского
университета дружбы народов, trvelieva@gmail.com;
Королькова Анна Владиславовна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры прикладной информатики и
теории вероятностей Российского университета дружбы народов, akorolkova@sci.pfu.edu.ru;
Гнатич Михаил Михайлович, доктор физико-математических наук, профессор Департамента теоретической физики
Института экспериментальной физики Словацкой академии наук в Кошице, Словакия; научный факультет
Университета Павла Йозефа Шафарика в Кошице, Словакия; заместитель директора Лаборатории теоретической
физики Объединё нного института ядерных исследований, Дубна, Россия, hnatic@saske.sk;
Кулябов Дмитрий Сергеевич, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры прикладной информатики и теории
вероятностей Российского университета дружбы народов; Лаборатория информационных технологий
Объединённого института ядерных исследований, yamadharma@gmail.com;
Севастьянов Леонид Антонович, доктор физико-математических наук, профессор кафедры прикладной информатики и
теории вероятностей Российского университета дружбы народов; Лаборатория теоретической физики
Объединённого института ядерных исследований, leonid.sevast@gmail.com.
34