Работа сыграла важную роль в развитии алгебры. В настоящее время задача считается
«дикои», если в качестве подзадачи она содержит задачу о паре коммутирующих матриц [
Работа [
< (1.1) это базис в .
Назовем этот базис (1.1) стандартным. Пусть А = ( ), = ( ), = × - матрицы.
Определим в пространстве линеиные операторы и ℬпо трем × - матрицам А = ( ), = ( ), = при помощи следующеи диаграммы 1 (Рис.1)
Рис. 1. Диаграмма 1
ℯ , Лемма 1.1 Операторы Доказательство.
ℬ = ℬ . ∈ .
ℬ = ℬ . Для доказательства достаточно показать, что (ℯ ) = 0, ℬℯ = 0 = ℬ ℯ , ℬℯ = ∑ ℯ = 0, ℬ ℯ = ℬ ∑ ℯ = 0. Лемма доказана. Лемма 1.2 Пусть , , - операторы в линеином пространстве . Предположим, что = . Тогда ( ) = . Доказательство. Итак,
ℬℯ = ℬ ℯ ,∀ , . = ( =
⟹ = , = { |∃ , = ( )}, ) ⟹ = =
. ( ) = . Лемма доказана.
Пусть даны еще три матрицы , , , которые определяют операторы и матрицы и ℬ точно также как изложено выше. Предположим, что матрицы и невырождены. Будем говорить, что пара коммутирующих матриц ( , ℬ) сопряжена паре ( , ℬ ), если существует невырожденная 7 ×7 -матрица такая, что = и ℬ = ℬ .
Будем говорить, что троики ( , , ) и ( , , ) сопряжены, если существует невырожденная × − матрица такая, что = , = , = .
Теорема 1. Пара коммутирующих матриц ( , ℬ) сопряжена паре ( , ℬ ) тогда и только тогда, когда троика ( , . )сопряжена троике ( , , ).
Доказательство.
Пункт 1. Пусть пара ( , ℬ) сопряжена паре ( , ℬ ). Покажем, что существует невырожденная × − матрица такая, что = , = , = .
Существует невырожденная 7 ×7 -матрица такая, что = ,( = ) и ℬ = ℬ , ( ℬ = ℬ ). Покажем, что матрица блочно нижнетреугольная. Для этого покажем, что ( ) ⊂ ⊕ (⊕ ) для любого 1 ≤ ≤ 7. Для = 1 это очевидно.
Заметим, что (1.2) для любых , . (т. е. (1): ( ) (ℬ ) = ( ) … ( ) ( ℬ ) … ( ℬ ) = ℬ
) ( ) (ℬ ) =
ℬ :
→ Тогда из Леммы 2 получаем: ( ℬ ) = ((
) (ℬ ) ), где Im обозначает образ оператора.
Так как ⊂ , то применим (1.2), положив = 1, = 0. Получаем
( ) ⊂ = ⊕ ⊕ ⊕ . Так как ⊂ ℬ, то ( ) ⊂ ℬ = ⊕ ⊕ ⊕ . Так как ⊂ , то ( ) ⊂ = ⊕ . Так как ⊂ ℬ, то ( ) ⊂ ℬ = ⊕ . Так как ⊂ ℬ , то ( ) ⊂ ℬ = ⊕ . Так как ⊂ ℬ (здесь используется невырожденность матрицы ), то
( ) ⊂ ℬ = . Что доказывает (1.1). Обозначим через , 1 ≤ ≤ 7 диагональные × блоки в матрице . Тогда (ℯ ) = (ℯ ) + лин. комбинация ℯ , > (1.3) Из теоремы Лапласа вытекает, что матрица невырожденная, то и все диагональные блоки невырожденные. Обратная матрица также блочно нижнетреугольная и для нее имеет место (1.2). для любого 1 ≤ ≤ 7.
Положим в (1.4) = 1. Так как = = , то = Положим в (1.5) = 1. Так как = = , то = Положим в (1.4) = 2. Так как = = , то = Положим в (1.4) = 3. Так как = = , то = Положим в (1.5) = 3. Так как = = , то = Положим в (1.4) = 4. Так как = = , то = Таким образом, получили, что = = = = = Обозначим эту матрицу через . Положим в (1.5) = 4. Так как = и = , то Положим в (1.5) = 5. Так как = и = , то Положим в (1.5) = 6. Так как = и = , то Что доказывает утверждение пункта 1. Пункт 2. Покажем, что пары ( , ), ( , ) сопряжены.
= Пусть = = = = = Обозначим (ℯ ) = ℯ ( ) + лин. комбинация ℯ , > ( )
(ℯ ) = ℯ ( ), = ( ) = ( ) ℯ ( ) + лин. комбинация ℯ , > ( ) ℬ (ℯ ) = ℬ ℯ ( ), (1.4) (1.5) , то есть , то есть , то есть , то есть , то есть , то есть = .
. . .
= . = . = . = . = . = . Окончательно Утверждение доказано. Часть 2. Основная теорема ℯ = ℯ = ℯ = ℯ , ℯ = ℯ = ℯ , ℯ = ( )ℯ = ℯ . ),
,… = . Существует невырожденная 7 ×7 -матрица такая, что
= ℬ , ( = ℬ ), ... = ℬ , ( = ℬ ) Показываем, что матрица блочно нижнетреугольная, т.е.
⊂ ⊕ (⊕ ), = ℬ ,( = для любого 1 ≤ ≤ 7, 1 ≤ ≤ 7.
Заметим, что для любых , . , , …
также блочно (ℯ ) = ℬ (ℯ ) = ℬ ℯ ( ). , , .
"Дикие" задачи линеинои алгебры вызывают прикладнои интерес у исследователеи, что
отражено в публикациях [
Работа выполнена при поддержке гранта Министерства образования и науки Российской Федерации, постановление № 220, в ФГБОУ ВО «Тольяттинский государственный университет», договор № 14.В25.31.0011.
Литература
References