УДК 512.643.8 Пивнева С.В.1, Мельников Б.Ф.2, Купцов Н.А.2 1Тольяттинскии государственныи университет, г. Тольятти, Россия 2Самарскии национальныи исследовательскии университет имени академика С.П. Королева, г. Самара, Россия БЕСКОНЕЧНО СЛОЖНАЯ ЗАДАЧА О КЛАССИФИКАЦИИ S-НАБОРОВ НЕКОММУТИРУЮЩИХ МАТРИЦ* АННОТАЦИЯ В работе рассматривается задача о классификации пар коммутирующих матриц и приводится ее доказательство. Задача о классификации пар коммутирующих матриц равносильна задаче о классификации s-наборов некоммутирующих матриц. Поскольку s здесь произвольное, то эта задача представляется бесконечно сложной. Решение ее известно только для s=1 и вытекает из теории жордановых форм матриц. КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА Линейная алгебра; коммутирующие матрицы; некоммутирующие матрицы; линейные операторы; образ оператора. Svetlana Pivneva1, Boris Melnikov2, Nikita Kuptsov2 1Togliatti State University, Togliatti, Russia 2Samara National Research University, Samara, Russia INFINITELY COMPLEX SUM OF CLASSIFICATION OF NON-COMMUTING MATRIX S- SETS ABSTRACT The article examines and grounds the problem of classification of commuting matrix pairs. The sum of classification of commuting matrix pairs is equivalent to the sum of classification of non- commuting matrix s-sets. Since s is here arbitrary, the sum seems infinitely complex. Its solution is known only for s=1 and arises from the theory of Jordan form of a matrix. KEYWORDS Linear algebra; commuting matrices; non-commuting matrices; linear operator; operator image. Введение Традиционно считается, что линеиная алгебра представляет собои раздел математики, в котором все поставленные задачи имеют решение и, более того, это решение записывается в явном виде. Однако это мнение ошибочно. В линеинои алгебре есть задачи, которые не только не решены до сих пор, но и, скорее всего, никогда не будут решены [1,2,4,5]. Такие задачи называют «дикими». Возникает вопрос, как строго математически обосновать, что поставленная задача является «дикои»? Впервые такое обоснование было получено И.М. Гельфандом и В.А. Пономаревым в 1969 году для задачи о классификации пар коммутирующих матриц. А именно, в статье [3] они показали, что задача о классификации пар коммутирующих матриц равносильна задаче о классификации s- наборов некоммутирующих матриц. Поскольку s здесь произвольное, то эта задача представляется бесконечно сложнои. Решение ее известно только для s=1 и вытекает из теории жордановых форм матриц. Работа сыграла важную роль в развитии алгебры. В настоящее время задача считается «дикои», если в качестве подзадачи она содержит задачу о паре коммутирующих матриц [4,5,6,7,8]. Работа [3] представляет собои короткую заметку, в которои основные результаты только * Труды I Международной научной конференции «Конвергентные когнитивно- информационные технологии» (Convergent’2016), Москва, 25-26 ноября, 2016 56 сформулированы, но не доказаны. Цель статьи: дать развернутое доказательство утверждении этои работы. Настоящая работа состоит из 2-х частеи. Основным результатом первои части является теорема 1, сформулированная в работе [3]. Согласно этои теореме задача о паре коммутирующих матриц равносильна задаче о классификации троек матриц. Формулируются и доказываются вспомогательные Леммы. Сама теорема доказывается достаточно подробно, приводится диаграмма рассуждении. Во второи части доказана основная теорема о равносильности задачи о паре коммутирующих матриц задаче о классификации произвольных s-наборов матриц. Часть 1. Задача о паре коммутирующих матриц Пусть даны 7 линеиных n-мерных подпространств , … над полем ℂ. Обозначим =⊕ . Выберем в каждом из них базис ℯ , 1 ≤ ≤ , 1 ≤ ≤ 7. Введем отношения порядка на базисе ℰ = {ℯ }, согласно которому ℯ < ℯ , если < или = , < . Тогда упорядоченныи набор {ℯ |1 ≤ ≤ , 1 ≤ ≤ 7} (1.1) это базис в . Назовем этот базис (1.1) стандартным. Пусть А = ( ), = ( ), = × - матрицы. Определим в пространстве линеиные операторы и ℬпо трем × - матрицам А = ( ), = ( ), = при помощи следующеи диаграммы 1 (Рис.1) Рис. 1. Диаграмма 1 Оператор деиствует «горизонтально» или построчно, согласно диаграмме 1. А именно: (ℯ ) = ℯ , (ℯ ) = ℯ , (ℯ ) = ℯ , (ℯ ) = ℯ , ℯ =∑ ℯ , (ℯ ) = ∑ ℯ , (ℯ ) = 0. Оператор ℬ деиствует «вертикально» согласно диаграмме 1. А именно: ℬ(ℯ ) = ℯ , ℬ(ℯ ) = ℯ , ℬ(ℯ ) = ∑ с ℯ , ℬ(ℯ ) = ℯ , ℬ ℯ =∑ ℯ , 57 ℬ(ℯ ) = ∑ ℯ , ℬ(ℯ ) = 0. Лемма 1.1 Операторыи ℬ коммутируют. Доказательство. ℬ=ℬ . ∈ . ℬ =ℬ . Для доказательства достаточно показать, что ℬℯ = ℬ ℯ ,∀ , . (ℯ ) = 0, ℬℯ = 0 = ℬ ℯ , ℬℯ = ∑ ℯ = 0, ℬ ℯ =ℬ ∑ ℯ = 0. Лемма доказана. Лемма 1.2 Пусть , , - операторы в линеином пространстве . Предположим, что = . Тогда ( )= . Доказательство. = ⟹ = , = { |∃ , = ( )}, = ( )⟹ = = . Итак, ( )= . Лемма доказана. Пусть даны еще три матрицы , , , которые определяют операторы и матрицы иℬ точно также как изложено выше. Предположим, что матрицы и невырождены. Будем говорить, что пара коммутирующих матриц ( , ℬ) сопряжена паре ( , ℬ ), если существует невырожденная 7 ×7 -матрица такая, что = иℬ = ℬ . Будем говорить, что троики ( , , ) и ( , , ) сопряжены, если существует невырожденная × − матрица такая, что = , = , = . Теорема 1. Пара коммутирующих матриц ( , ℬ) сопряжена паре ( , ℬ ) тогда и только тогда, когда троика ( , . )сопряжена троике ( , , ). Доказательство. Пункт 1. Пусть пара ( , ℬ) сопряжена паре ( , ℬ ). Покажем, что существует невырожденная × − матрица такая, что = , = , = . Существует невырожденная 7 ×7 -матрица такая, что = ,( = )иℬ = ℬ , ( ℬ = ℬ ). Покажем, что матрица блочно нижнетреугольная. Для этого покажем, что ( ) ⊂ ⊕ (⊕ ) для любого 1 ≤ ≤ 7. Для = 1 это очевидно. Заметим, что ( ) (ℬ ) = ℬ (1.2) для любых , . (т. е. (1): ( ) (ℬ ) = ( )…( )( ℬ )…( ℬ )= ℬ ) : → Тогда из Леммы 2 получаем: ( ℬ ) = (( ) (ℬ ) ), где Im обозначает образ оператора. Так как ⊂ , то применим (1.2), положив = 1, = 0. Получаем ( )⊂ = ⊕ ⊕ ⊕ . Так как ⊂ ℬ, то ( ) ⊂ ℬ = ⊕ ⊕ ⊕ . Так как ⊂ , то ( ) ⊂ = ⊕ . Так как ⊂ ℬ, то ( ) ⊂ ℬ = ⊕ . Так как ⊂ ℬ , то ( ) ⊂ ℬ = ⊕ . Так как ⊂ ℬ (здесь используется невырожденность матрицы ), то ( )⊂ ℬ = . Что доказывает (1.1). Обозначим через , 1 ≤ ≤ 7 диагональные × блоки в матрице . Тогда 58 (ℯ ) = (ℯ ) + лин. комбинация ℯ , > (1.3) Из теоремы Лапласа вытекает, что матрица невырожденная, то и все диагональные блоки невырожденные. Обратная матрица также блочно нижнетреугольная и для нее имеет место (1.2). Матрица также блочно нижнетреугольная. Для любого 1 ≤ ≤ 7 обозначим через ( ) номер, для которого и ( ) скреплены горизонтальнои стрелкои на диаграмме 1. Например (1)=2, (2)=4, (5)=7. Из определения матрицы (оператора) вытекает, что ( ) (ℯ ) = ℯ , где есть × − матрица, соответствующая переходу по горизонтальнои стрелке. Например, для = , = , = , = . Здесь – единичная матрица. Распишем для . Матрица также блочно нижнетреугольная. Для любого 1 ≤ ≤ 7 обозначим через ( ) номер, для которого и ( ) скреплены вертикальнои стрелкои на диаграмме. Например, (1)=3, (3) =6, (2) =5. Из определения матрицы (оператора) ℬ вытекает, что ( ) ℬ(ℯ ) = ℯ , где есть × − матрица, соответствующая переходу по вертикальнои стрелке. Например, для = , = , = , = , = . Аналогично ( ) (ℯ ) = ℯ , ( ) ℬ (ℯ ) = ℬ ℯ . Тогда ( ) (ℯ ) = ( ) ℯ + лин. комбинация ℯ , > ( ) ( ) (ℯ ) = ℯ , Поскольку = , то = ( ) (1.4) для любого 1 ≤ ≤ 7. Рассмотрим для ℬ. ( ) ℬ (ℯ ) = ( ) ℬ ℯ + лин. комбинация ℯ , > ( ) ℬ (ℯ ) = ℬ ℯ ( ), Так как ℬ = ℬ , то = ( ) (1.5) для любого 1 ≤ ≤ 7. Положим в (1.4) = 1. Так как = = , то = , то есть = . Положим в (1.5) = 1. Так как = = , то = , то есть = . Положим в (1.4) = 2. Так как = = , то = , то есть = . Положим в (1.4) = 3. Так как = = , то = , то есть = . Положим в (1.5) = 3. Так как = = , то = , то есть = . Положим в (1.4) = 4. Так как = = , то = , то есть = . Таким образом, получили, что = = = = = = . Обозначим эту матрицу через . Положим в (1.5) = 4. Так как = и = , то = . Положим в (1.5) = 5. Так как = и = , то = . Положим в (1.5) = 6. Так как = и = , то = . Что доказывает утверждение пункта 1. Пункт 2. Покажем, что пары ( , ), ( , ) сопряжены. = Пусть = . Рассмотрим блочно диагональныи оператор : → , для которого = (ℯ ) = ℯ для = 1, 2, 3, 7 (ℯ ) = ∑ ℯ для = 4, 5, 6 Обозначим = , = ℬ . Получаем, что = , ℬ=ℬ. 59 Деиствительно: ℯ =ℯ = ℯ , ℯ =ℯ = ℯ , ℯ = ℯ =( )ℯ = ℯ . Окончательно = , = . Утверждение доказано. Часть 2. Основная теорема Рассмотрим теперь общии случаи на диаграмме 2 (Рис. 2). Рис. 2. Диаграмма 2 Пусть оператор также деиствует «горизонтально» или построчно, согласно диаграмме 2. А именно: (ℯ ) = ℯ , (ℯ ) = ℯ , (ℯ ) = ℯ , (ℯ ) = ℯ , (ℯ ) = ∑ ℯ , (ℯ ) = 0. Оператор ℬ деиствует «вертикально» согласно диаграмме 2. А именно: ℬ(ℯ ) = ℯ , ℬ(ℯ ) = ℯ , ℬ(ℯ ) = ℯ , ℬ(ℯ ) = ∑ с ℯ , ℬ(ℯ ) = 0. Основная теорема. Пары матриц ( , ℬ) и ( , ℬ )сопряжены тогда и только тогда, когда сопряжены ( , , … ) и ( , , … ). Доказательство утверждения аналогично. Рассмотрим его схематично. Схема доказательства. Пункт 1. Пусть пара ( , ℬ) сопряжена паре ( , ℬ ). Доказываем, что существует невырожденная × − матрица такая, что = , 60 = ,… = . Существует невырожденная 7 ×7 -матрица такая, что = ℬ ,( = ℬ ), = ℬ ,( = ℬ ), ... = ℬ ,( =ℬ ) Показываем, что матрица блочно нижнетреугольная, т.е. ⊂ ⊕ (⊕ ), для любого 1 ≤ ≤ 7, 1 ≤ ≤ 7. Заметим, что ( )( ) = и т.д. (6) для любых , . : → . Тогда из Леммы 2 получаем: = (( )( ) ). Обозначим через , 1 ≤ ≤ 7 диагональные × блоки в матрице . Тогда (ℯ ) = (ℯ ) + лин. комбинация ℯ , > . (7) Из теоремы Лапласа вытекает, что матрица невырожденная, то и все диагональные блоки невырожденные. Обратная матрица также блочно нижнетреугольная и для нее имеет место (6). Аналогично теореме 1.1 доказываем, что матрицы , ,… также блочно нижнетреугольные. Из определения матрицы (оператора) вытекает, что ( ) (ℯ ) = ℯ , где есть × − матрица, соответствующая переходу по горизонтальнои стрелке. Матрицы , , … также блочно нижнетреугольные. ( ) ℬ(ℯ ) = ℯ , где есть × -матрица, соответствующая переходу по вертикальнои стрелке. Аналогично доказывается: ( ) (ℯ ) = ℯ , ( ) ℬ (ℯ ) = ℬ ℯ . Тогда = ( ) (8) для любого 1 ≤ ≤ 7. = ( ) (9) для любого 1 ≤ ≤ 7. Аналогично Теореме 1 доказываем, что = = = = = = . Что доказывает утверждение пункта 1. Пункт 2. Показываем, что пары ( , , … ), ( , , … ) сопряжены. = Пусть = . Рассматриваем блочно диагональныи оператор : → . … = Обозначаем = , = , … = . Получаем, что = , = , … = . Окончательно = = . … = Утверждение общего случая доказано. 61 Заключение "Дикие" задачи линеинои алгебры вызывают прикладнои интерес у исследователеи, что отражено в публикациях [5-16]. Задача о паре коммутирующих матриц интересна также с точки зрения компьютерных задач [17-20]. Работа выполнена при поддержке гранта Министерства образования и науки Российской Федерации, постановление № 220, в ФГБОУ ВО «Тольяттинский государственный университет», договор № 14.В25.31.0011. Литература 1. Панов А.Н. Представления разрешимых алгебр ли с фильтрациями // Математический сборник - 2012. Т. 203. № 1. - С. 77-90. 2. Панов А.Н. Представления унитреугольной группы // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки.- 2011. Т. 16. № 6-2. - С. 1722-1725. 3. Гельфанд И. М., Пономарев В. А. Замечания о классификации пары коммутирующих линейных преобразований в конечномерном пространстве // Функциональный анализ и его приложения - 1969, том 3, выпуск 4 – C. 81–82. 4. Дрозд Ю.А. О ручных и диких матричных задачах // Матричные задачи - Киев, Институт математики АН УССР - 1977. 5. Дрозд Ю.А. Представления коммутативных алгебр / Функциональный анализ и его приложения - 1972, №6:4 – С. 41– 43 6. Гупта Ч. К. О ручных и диких автоморфизмах алгебр / В. М. Левчук, Ю. Ю. Ушаков // Фундаментальная и прикладная математика. Центр новых информационных технологий МГУ- 2013, том 18, № 4 - С. 79—88. 7. Пирятинская А. Ю. Ручные и дикие задачи теории представлений * - алгебр : Дис...канд. физ.- мат. наук: 01.01.06 // Киевский ун-т им. Т.Г.Шевченко. — К., 1995. — 114 л. 8. Македонский Е. А. О диких и ручных конечномерных алгебрах Ли // Функциональный анализ и его приложения - 2013, № 47:4 – С. 30–44. 9. Данилов В. И. Геометрия торических многообразий // УМН - 1978, №33:2(200) - С. 85–134. 10. Вершик А. М. , Керов С. В. Асимптотическая теория характеров симметрической группы // Функциональный анализ и его приложения - 1981, №15:4 - С. 15–27. 11. Беккерт В. И. Ручные двухточечные колчаны с соотношениями // Известия вузов. Математика – 1986, №12 – С. 62– 64. 12. Panov A.N. On the index of certain nilpotent lie algebras // Journal of Mathematical Sciences - 2009. Т. 161. № 1 - С. 122- 129. 13. Eliseev D.Y. Tangent cones of schubert varieties for an of lower rank / A.N. Panov // Journal of Mathematical Sciences - 2013. Т. 188. № 5 - С. 596-600. 14. Vyatkina K.A. The field of u-invariants of the adjoint representation of the group GL(N, K) / Panov A.N. // Mathematical Notes - 2013. Т. 93. № 1-2 - С. 187-190. 15. Panov A.N. Invariants of coadjoint representations of regular factors // St. Petersburg Mathematical Journal - 2011. Т. 22. № 3 - С. 497-514. 16. Панов А.Н. Инварианты коприсоединенных представлений регулярных факторов // Алгебра и анализ - 2010. Т. 22. № 3 - С. 222-247. 17. Рудницкий В.Н. Синтез модели обратной нелинейной операции расширенного матричного криптографического преобразования / С.В. Пивнева, В.Г. Бабенко, Т.А. Стабецкая, К.В. Король // Вектор науки Тольяттинского государственного университета. - 2014. - № 4 (30). - С. 18-21. 18. Бабенко В.Г. Параллельная реализация нелинейного расширенного матричного криптографического преобразования / С.В. Пивнева, О.Г. Мельник, Р.П. Мельник // Вектор науки Тольяттинского государственного университета. - 2014. - № 3. - С. 17-20. 19. Пивнева С.В. Метрическая оценка алгоритмов расчета расстояния строк ДНК / М.А. Трифонов // Южно-Сибирский научный вестник - 2014. № 2 (6) - С. 17-20. 20. Рудницкий В.Н. Распараллеливание процесса минимизации систем частично или полностью определенных булевых функций с большим числом переменных / С.В. Пивнева, С.В. Бурмистров // Вектор науки Тольяттинского государственного университета - 2014. № 1 (27) - С. 27-30. References 1. Babenko VG (2014) Parallel`naya realizatsiya nelineynogo rasshirennogo matrichnogo kriptograficheskogo preobrazovaniya. Vektor nauki Tol`yattinskogo gosudarstvennogo universiteta 3: 17-20 2. Bekkert VI (1986) Ruchnye dvukhtochechnye kolchany s sootnosheniyami. Izvestiya vuzov. Matematika 12: 62-64 3. Danilov VI (1978) Geometriya toricheskikh mnogoobraziy. UMN T. 33. Vyp. 2(200): 85–134 4. Drozd YuA (1972) Predstavleniya kommutativnykh algebr. Funktsional`nyy analiz i ego prilozheniya 6(4): 41-43 5. Drozd YuA (1977) O ruchnykh i dikikh matrichnykh zadachakh. Matrichnye zadachi. Institut matematiki AN USSR, Kiev 6. Eliseev DY (2013) Tangent cones of schubert varieties for an of lower rank. Journal of Mathematical Sciences. Vol. 188. Issue 5: 596–600 7. Gel’fand IM, Ponomaryov VA (1969) Zamechaniya o klassifikatsii pary kommutiruyushchikh lineynykh preobrazovaniy v konechnomernom prostranstve. Funktsional`nyy analiz i ego prilozheniya. T. 3. Vyp. 4: 81-82 8. Gupta ChK (2013) O ruchnykh i dikikh avtomorfizmakh algebr. Fundamental`naya i prikladnaya matematika. Tsentr novykh informatsionnykh tekhnologiy MGU. T. 18. Vyp. 4: 79-88 9. Makedonsky EA (2013) O dikikh i ruchnykh konechnomernykh algebrakh Li. Funktsional`nyy analiz i ego prilozheniya. T. 47. Vyp. 4: 30-44 10. Panov AN (2009) On the index of certain nilpotent lie algebras. Journal of Mathematical Sciences. Vol. 161. Issue 1: 122–129 62 11. Panov AN (2010) Invarianty koprisoedinennykh predstavleniy regulyarnykh faktorov. Algebra i analiz. T. 22. Vyp. 3: 222- 247 12. Panov AN (2011a) Invariants of coadjoint representations of regular factors. St. Petersburg Mathematical Journal. Vol. 22. Issue 3: 497–514 13. Panov AN (2011b) Predstavleniya unitreugol`noy gruppy. Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya: Estestvennye i tekhnicheskie nauki. T. 16. Vyp. 6-2: 1722-1725 14. Panov AN (2012) Predstavleniya razreshimykh algebr li s fil`tratsiyami. Matematicheskiy sbornik. T. 203. Vyp. 1: 77-90 15. Piryatinskaya AYu (1995) Ruchnye i dikie zadachi teorii predstavleniy * - algebr: Dis...kand. fiz.- mat. nauk: 01.01.06. Kievskiy un-t im. T.G.Shevchenko, Kiev 16. Pivneva SV (2014) Metricheskaya otsenka algoritmov rascheta rasstoyaniya strok DNK. YUzhno-Sibirskiy nauchnyy vestnik 2(6): 17-20 17. Rudnitsky VN (2014a) Rasparallelivanie protsessa minimizatsii sistem chastichno ili polnost`yu opredelennykh bulevykh funktsiy s bol`shim chislom peremennykh. Vektor nauki Tol`yattinskogo gosudarstvennogo universiteta 1(27): 27-30 18. Rudnitsky VN (2014b) Sintez modeli obratnoy nelineynoy operatsii rasshirennogo matrichnogo kriptograficheskogo preobrazovaniya. Vektor nauki Tol`yattinskogo gosudarstvennogo universiteta 4(30): 18-21 19. Vershik AM, Kerov SV (1981) Asimptoticheskaya teoriya kharakterov simmetricheskoy gruppy. Funktsional`nyy analiz i ego prilozheniya. T. 15. Vyp. 4: 15-27 20. Vyatkina KA (2013) The field of u-invariants of the adjoint representation of the group GL (N, K). Mathematical Notes. Vol. 93. Issue 1-2: 187–190 Поступила 14.10.2016 Об авторах: Пивнева Светлана Валентиновна, доцент кафедры высшей математики и математического моделирования Тольяттинского государственного университета, кандидат педагогических наук, tlt.swetlana@rambler.ru; Мельников Борис Феликсович, профессор, заведующий кафедрой прикладной математики и информатики Тольяттинского филиала Самарского национального исследовательского университета имени академика С.П. Королева, bf-melnikov@yandex.ru; Купцов Никита Андреевич, студент института ракетно-космической техники Самарского национального исследовательского университета имени академика С.П. Королева. 63