Условие стабилизируемости и коррекция движения линейных систем с импульсными воздействиями и запаздыванием

Abstract

1-Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН (Екатеринбург) 2-Уральский федеральный университет (Екатеринбург) Исследуются свойства стабилизируемости решений линейной системы дифференциальных уравнений с запаздыванием и обобщённым воздействием в матрице системы, а также предлагаются импульсные методы коррекции систем без запаздывания. Получены достаточные условия, которые обеспечивают устойчивость и асимптотическую устойчивость решений системы уравнений. Для задач коррекции систем без запаздывания с целью минимизации конечного функционала указаны алгоритмы, согласно которым определяются моменты коррекции и возникает невозрастающая последовательность прогнозируемых значений функционала. Результаты применяются в задачах навигации и биофизики. Ключевые слова: устойчивость; стабилизируемость; системы с запаздыванием; коррекция движения; импульсные управления.

-

за счёт асимптотической устойчивости линейной однородной системы без импульсов. Главной особенностью рассматриваемой системы является наличие некорректной операции умножения разрывной функции на ±-функцию,которая получается за счёт обобщённого дифференцирования ступенчатой функции, а это приводит к возникновению импульса и разрыву траектории. Под решением, так же как и в [1, 5, 7], понимается поточечный предел последовательности гладких решений, порождённых гладкой аппроксимацией обобщённого воздействия, если этот предел не зависит от выбора аппроксимирующей последовательности.

Рассматриваются также импульсные управляемые системы, описывающие в линейном приближении отклонение фазового вектора от номинальной траектории. Такие системы часто возникают в задачах управления летательными объектами, [8]. Общие методы решения задач управления с неполной информацией предложены, например, в [9–11]. Тем не менее, специальные ограничения на возмущения и подходящая формулировка задачи дают возможность получить более продвинутые результаты. Используются методы управления в условиях неопределённости, а также информационные и совместимые множества, [11–13]. Задачи управления наблюдениями рассматривались в [14]. В данной работе расширяются и дополняются результаты [15] в случае импульсных управлений. Другие задачи коррекции движения исследовались в [17, 18]. 2 Задача стабилизации Рассмотрим линейную систему дифференциальных уравнений с запаздыванием, следующего вида: с начальным условием

m x_ (t) = ³A + X Dj(t)v_j(t)´x(t) + A¿ x(t ¡ ¿ ); j=1

x(t) = '(t): где A; A¿ – постоянные n £ n матрицы, Dj(t) (j 2 1; m) – непрерывные ограниченные взаимно коммутативные матрицы-функции размерности n £ n, vi – компоненты вектор функции v(t) = (v1(t); v2(t); :::; vm(t))T , '(t) – начальная функция, которая является функцией ограниченной вариации, определённой на [t0 ¡¿; t0]. Будем предполагать, что v(t) = (v1(t); v2(t); :::; vm(t))T – кусочно-постоянные функции, имеющие разрывы в точках t0 < t1 < t2 < ::: < tn < ::: и эта последовательность не имеет точек сгущения. Функции vi(t) в точках разрыва будем считать непрерывными слева. При сделанных выше предположениях систему (1) можно записать в следующем виде:

m x_ (t) = Ax(t) + A¿ x(t ¡ ¿ ) + X Dj(t) ¢ x(t) ¢ 4vj(ti) ¢ ±(t ¡ ti);

j=1 где 4vj(ti) = vj(ti + 0) ¡ vj(ti) – скачки кусочно-постоянных функций vj(t), ±(t ¡ ti) – ±-функция Дирака [1], сосредоточенная в момент времени ti. Решение уравнения (2) , согласно [1, 2, 7], будут удовлетворять следующему интегральному уравнению x(t) = '(t0) +

Ax(»)d» + Z t t0

Z t t0

A¿ x(» ¡ ¿ )d» + X S(ti; x(ti); 4v(ti + 0)); ti<t а функции скачков определяются следующими уравнениями

S(ti; x(ti); 4v(ti + 0)) = z(1) ¡ z(0);

m z_(») = X Dj(ti)z(»)4vj(t); z(0) = x: j=1 (1) (2) ( 3 ) ( 4 )

kY (t; ¡s)k · ce®(t¡s)(® > 0; c ¸ 1); где Y (t; ¡s) – фундаментальная матрица системы ( 5 ). Далее переходим к вычислению скачка S(t1; x(t1); 4v(t1)) с помощью дифференциального уравнения ( 4 ), где значение z(1) даёт начальное условие для движения системы (1) на следующем промежутке (t1; t2], которое строится с помощью решения уравнения ( 5 ) с начальным условием x(t1) + S(t1; x(t1); 4v(t1)).

Поставим в соответствие разрывной траектории x(t) непрерывную траекторию x¤(t), которая будет определяться решением дифференциального уравнения на промежутке (ti +i; ti+1 +i], а на промежутке (ti +i¡1; ti +i] как решение дифференциального уравнения ( 4 ). Пусть справедливо следующее неравенство: x_ ¤(s) = Ax¤(s) + A¿ x¤(s ¡ ¿ ); kDei(s)k · be¸is(b ¸ 1; ¸i < 0); здесь Dei(s)¡ нормированная фундаментальная матрица системы ( 4 ).

В результате получили систему с переменной структурой (4!i¡s) [19] , решением которой является непрерывная вектор-функция x¤(s). В результате, исходной задаче поставлена в соответствие система с переключениями, где в зависимости от интервала активируется соответствующая подсистема. Наглядно это демонстрирует следующий рисунок.

Рис. 1: Слева изображена траектория с разрывами, справа – непрерывная траектория x¤(s) 2.2

Условия стабилизируемости Предположим, что x(t)¡ аппроксимируемое решение уравнения (1), порождаемое начальной функцией '(t), которая задаётся на [t0 ¡ ¿; t0]. Тогда согласно формуле Коши из [20], получим: До точки разрыва аппроксимируемое решение будет определяться следующим уравнением: x(t) = Y (t; ¡t0) ¢ '(t0) +

Z 0 ¡¿

Y (t; ¡t0 ¡ ¿ ¡ s)A¿ ¢ '(s)ds + X Y (t; ti) ¢ S(ti; x(ti); 4v(ti)):

ti<t x(t) = Y (t; ¡t0) ¢ '(t0) +

Y (t; ¡t0 ¡ ¿ ¡ s)A¿ '(s)ds: Z 0 ¡¿ ( 5 ) ( 6 ) Вычисляя норму левой и правой части, получим:

kx(t)k · ceti+1¡ti(1 + kA¿ k) [t0m¡a¿;xt0] k'(¢)k: Далее переходим на следующий промежуток [t1; t1 +1], на котором активируется вторая подсистема. Тогда с учётом ( 6 ) и ( 7 ) получим справедливое выражение для оценки склеенной траектории kx¤(t1 + 1)k · be¸1kx¤(t1)k · cbe¸1+®(t1¡t0)(1 + kA¿ k) [t0m¡a¿;xt0] k'(¢)k: Далее, по индукции можно показать, что для произвольного отрезка [ti+i; ti+1+i] справедливо неравенство i kx¤(ti + 1)k · exp(i ln c + i ln b + X ¸k + ®(ti ¡ t0) + i ln(1 + kA¿ k)) [t0m¡a¿;xt0] k'(¢)k:

k=1 Если степень экспоненты в ( 8 ) есть величина ограниченная, то решение системы (1) будет устойчивым, а если степень экспоненты ( 8 ) стремится к ¡1 при t ! 1, то получаем асимптотическую устойчивость. ( 7 ) ( 8 ) ( 9 ) ( 10 ) ( 11 ) ( 12 ) ( 13 ) с непрерывной матрицей G(t). Неизвестные функции v(t); w(t) и начальное состояние x0 стеснены ограничениями

y(t) = G(t)x(t) + w(t); jx0j2P0 + Z T ³jv(t)j2Q(t) + jw(t)j2R(t)´ dt · 1;

0 где символ jxj2P равен x0P x, штрих 0 означает транспонирование, P0, Q(t); R(t) – симметричные, положительно определённые и непрерывные матрицы, имеющие подходящую размерность. Допускается вырождение матрицы P0. Если она нулевая, информация о начальном состоянии полностью отсутствует. В этом случае считается выполненным Предположение 1. Система ( 9 ), ( 10 ) при u ´ 0; v ´ 0; w ´ 0 полностью наблюдаема [9, 21] на любом подинтервале [s; ¿ ] ½ [0; T ]:

Используются управления вида u(t) = dU (t)=dt, где U (t) – вектор-функция ограниченной вариации, подчинённая неравенству

Z T 0

j dU (t) j· ¹; ¹ > 0: Здесь и далее j ¢ j – евклидова норма и Rab jdU (t)j = var[a;b]U – полная вариация функции U .

Цель управления – минимизировать терминальный функционал jDx(T )j, где D 2 Rd£n – заданная матрица. Выбор неопределённых параметров fx0; v(¢); w(¢)g может мешать минимизации. 3.1

Информационные и совместимые множества Изложим кратко теорию оценивания в нашем случае. В случае невырожденной матрицы P0 информационное множество X(t; y; u) ½ Rn, состоящее из всех векторов x = x(t); которые могут реализоваться в системе ( 9 ), ( 10 ), ( 11 ), описывается уравнениями 3 Задачи коррекции Будем рассматривать n-векторную линейную систему вида

x_ (t) = A(t)x + B(t)u(t) + C(t)v(t); t 2 [0; T ]; с известными непрерывными коэффициентами. Наблюдается m-векторный сигнал

X(t; y; u) = nx 2 Rn : jx ¡ x^(t)j2P (t) + h(t) · 1o; x^(0) = 0; h(0) = 0; x^_(t) = A(t)x^(t) + B(t)u(t) + P ¡1(t)G0(t)R(t)(y(t) ¡ G(t)x^(t)); h_(t) = jy(t) ¡ G(t)x^(t)j2R(t); P_ (t) = G0(t)R(t)G(t) ¡ P (t)C(t)Q¡1(t)C0(t)P (t) ¡ A0(t)P (t) ¡ P (t)A(t); P (0) = P0: Соотношение между совместимым и информационным множеством даётся равенством X(t; y; u) = projRnV(t; y; u). Подробнее см. [15, Лемма 2, ф-ла ( 13 )]. 3.2

Коррекция с предписанными моментами изменения управления Пусть ¸ : 0 < t1 < ¢ ¢ ¢ < tN+1 = T – разбиение на [0; T ]. Моменты ti называются моментами коррекции управления. Введём ресурс ¹(t) = ¹ ¡ R0t jdU (s)j управления и рассмотрим тройку p(t) = (x^(t); h(t); ¹(t)) как позицию системы в момент t. Заметим, что совместимое множество V(t; y; u) зависит только от пары (x^(t); h(t)). Переход между двумя смежными позициями pi = (x^(ti); h(ti); ¹(ti)) и pi+1 = (x^(ti+1); h(ti+1); ¹(ti+1)) зависит от управления ui(t) = dUi(t)=dt и обновляющей функции fi(t) на [ti; ti+1]. Функция ограниченной вариации может иметь скачок в момент ti. В этом случае мы различаем скачок слева на [ti¡; ti] и справа на [ti; ti+]. Введём множества Ui(º) = ©U (¢) : Rttii+1 jdU (t)j · ºª, где º · ¹, i 2 1 : N . Пусть символ XT (utjV(t; y; u)) означает множество достижимости системы ( 9 ) из совместимого множества V (t; y; u), где wt = 0. Это множество состоит из векторов x(T ) при переборе в ( 14 ) совокупности V(t; y; u) c wt = 0. Задача 1. Найти функции Ui¤(t) ограниченной вариации (ui¤(t) = dUi¤(t)=dt) на интервалах [ti; ti+1] и неотрицательные числа ºi, i 2 1 : N , дающие величину

J¤ = min min max : : : º1:N U12U1(º1) f1(¢)

min max max

UN2UN(ºN) fN(¢) x2XT (uNjV(tN;y;u)) jDxj; где PiN=1 ºi · ¹, Rttii+1 jfi(s)j2R(s)ds · 1 ¡ hi, для всех i 2 1 : N . Полагаем U (t) ´ 0 на [0; t1]. Замечание 1. Так как ( 9 ), ( 10 ) линейны, мы имеем X(t; y; u) = z(t) + X(t; y~; 0), где y~(t) = y(t) ¡ G(t)z(t) и z_(t) = A(t)z(t) + B(t)u(t); z(0) = 0: При вырожденной матрице P0 используются уравнения [15, формулы ( 8 ),( 9 )]. Далее рассматриваем только невырожденный случай. Введём функции

f (t) = y(t) ¡ G(t)x^(t); t 2 [0; T ]; V (t; x) = jx ¡ x^(t)j2P (t) + h(t): Использование обновляющей функции f (t) и сигнала y(t) (за вычетом слагаемого с управлением) абсолютно эквивалентно согласно ( 13 ). Функция V (t; x) имеет смысл минимума критерия типа ( 11 ) на [0; t] при краевом условии x = x(t) и заданном сигнале и управлении. Используются далее и совместимые множества V(t; y; u) ½ Rn £ Lq2[t; T ] £ L2m[t; T ], состоящие из троек f(x(t); vt(¢); wt(¢))g, для которых существуют функции (v(¢); w(¢)), удовлетворяющие ( 11 ) и такие, что выход ( 10 ) на [0; t] с условием x = x(t) совпадает почти всюду с заданным сигналом yt(¢). Здесь и далее vt(¢) – сужение функции v(¢) на [t; T ], а yt(¢) – сужение функции y(¢) на [0; t]. Совместимое множество описывается формулой

( V(t; y; u) = (x; vt; wt) : V (t; x) + ) jvt(s)j2Q(s) + jwt(s)j2R(s)´ds · 1 : Z T ³

t Ji(p; ui¤) = mfia(¢x) ji+1(p); Аналогично, имеем V(t; y; u) = (z(t); 0; 0) + V(t; y~; 0). С этого момента пишем множества с y~(¢) и u(¢) = 0 как X(t; y~) и V(t; y~), соответственно. Поэтому XT (ut j V(t; y; u)) = z(T ) + XT (0 j V(t; y~)) и величина ( 15 ) может быть записана как

J¤ = min inf max : : : º1:N U12U1(º1) f1(¢)

UN2UN(ºN) fN(¢) x2XT (0jV(tN;y~)) jD(z(T ) + x)j

min max max с теми же ограничениями, как и в ( 15 ). Задача 2. В любой предписанный момент ti, i 2 1 : N следует найти управление uiT ¤(¢), которое даёт решение задачи: max max fi(¢) x2XT (uijV(ti;y;u)) jDxj ! mUiin = ji(p); при ограничениях RtTi jfi(s)j2R(s)ds · 1 ¡ h(ti), RtTi jdUi(s)j · ¹(ti), и далее совершить одношаговый прогноз ( 14 ) ( 15 ) ( 16 ) ( 17 ) ( 18 )

Jt(p; ¿; u¤) = mfta(¢x) j¿ (p); J¤(t; p; u¤) = inf

¿2[t;T ] Jt(p; ¿; u¤); J¤(t; p; u¤) < jt(p)

J¤(t; p; u¤) = jt(p): где Rttii+1 jfi(s)j2R(s)ds · 1¡h(ti) и ui¤(s) = dUiT ¤(s)=ds на интервале [ti; ti+1]. Если Ji(p; ui¤) < ji(p), сохраняем управление uiT ¤ на [ti; ti+1]. Иначе переходим к управлению ui+1¤, минимизирующему величину ( 18 ) при i ограничении R ti+1 jdU (t)j · ¹(ti). Управление может быть не единственным. Если так, выбираем любой ti минимизатор. В примерах имеет смысл принять специальное решение. В этой задаче ¹(t1) = ¹, как и выше. где Rt¿ jft(s)j2R(s)ds · 1 ¡ h(t) и u¤(s) = dUtT ¤(s)=ds на интервале [t; ¿ ]. Введём величину ( 19 ) ( 20 ) которая определяет минимум худшего прогноза ( 19 ). Процедура начинается с t1 > 0 с ¹(t1) = ¹. Тогда если для всех t близких к t1 и таких что t > t1, мы продолжаем использовать ut¤1 до первого момента t = t2 > t1, когда В момент t2 программное минимаксное управление модифицируется, и мы переходим к оптимальному управлению uT ¤(¢), дающему решение задачи подобно ( 17 ). Процедура повторяется на [t2; T ]. Поэтому t2 приходим к последовательности моментов коррекции ftkg; t1 < t2 < : : : · T: Как увидим ниже, все минимумы и максимумы в формулах ( 15 ) – ( 20 ) достигаются. 4

Минимаксные решения задач коррекции Рассмотрим задачи в подсекции 3.2. Для краткости обозначим x^(ti) = x^i, h(ti) = hi, и ¹(ti) = ¹i, p(ti) = pi. Введём функцию будущих потерь

Wi(p; ºi:N ) =

min max : : : Ui2Ui(ºi) fi(¢)

min max max

UN 2UN (ºN ) fN (¢) x2XT (uN jV(tN ;y;u)) jDxj; где PjN=i ºj · ¹i, Rttjj+1 jfj(s)j2R(s)ds · 1 ¡ hj, для всех j 2 i : N . Через Wi(p) обозначим величину minºi:N Wi(p; ºi:N ). Нетрудно заметить, что J ¤ = W1(p) в ( 15 ) и функции Wi(p; ºi:N ), Wi(p), удовлетворяют рекуррентным соотношениям

Wi(p; ºi:N ) =

min max Wi+1(p; ºi+1:N ); Wi(p) = min max Wi+1(p); Ui2Ui(ºi) fi(¢) Ui(¢) fi(¢) ( 21 ) где Rttii+1 jfi(s)j2R(s)ds · 1 ¡ hi, Rttii+1 jdUi(t)j · ¹i, i 2 1 : N . Соотношения ( 21 ) имеют граничное условие WN+1(p) = x:jx¡x^(T )mj2Pa(Tx)·1¡h(T ) jDxj = max nl0Dx^(T ) + (1 ¡ h(T ))1=2jD0ljP ¡1(T )o :

jlj·1 На последнем шаге соотношений ( 21 ), когда i = N , используя граничное условие, получаем ½ WN (p; ºN ) = max r(l; tN )x^N ¡ s2m[tNa x;T ] jr(l; s)B(s)jºN + ³(1 ¡ hN )³¸(tN )(1 ¡ jlj2) + jD0lj2P (T;tN ) jlj·1 ; WN (p) = WN (p; ¹N ); 'i(l) = conc ¡ ½

½ Wi(p; ºi:N ) = max r(l; ti)x^i ¡

jlj·1 max s2[ti+1;ti+2] jr(l; s)B(s)jºi+1 + max fi(¢)

max s2[ti;ti+1] ½ Z ti+1

ti i 2 1 : N ¡ 1:

P (s; s) = P ¡1(s); ¸(s) = max jD0lj2P (T;s): jlj·1 Формула для WN (p; ºN ) получена с использованием элементарного неравенства

r(l¤; s)B(s)dU N¤ (s) = ¡ s2m[tNa x;T ] jr(l¤; s)B(s)jºN ; где вектор l¤ максимизирует в формуле для WN (p; ºN ).

Продолжая вычисления на следующих шагах, приходим к условиям оптимальности для задачи 1. На шаге i получаем ¾ jr(l; s)B(s)jºi + 'i(l) ; где r(l; s)P ¡1(s)G0(s)R(s)fi(s)ds + 'i+1(l) ¾¾ ; ( 22 ) ( 23 ) (24) Здесь Rttii+1 jfi(s)j2R(s)ds · 1 ¡ hi. Оптимальное управление необходимо удовлетворяет соотношениям r(l¤; s)B(s)dUi¤(s) = ¡

½ ji(p) = max r(l; ti)x^i ¡ s2m[tai;xT ] jr(l; s)B(s)j¹i + ³(1 ¡ hi)³¸(ti)(1 ¡ jlj2) + jD0lj2P (T;ti) jlj·1 ; ½ Ji(p; ui¤) = mfia(¢x) ji+1(p) = max r(l; ti)x^i + jlj·1 ti

r(l; s)B(s)dUi¤(s) ¡ s2m[ti+a1x;T ] jr(l; s)B(s)j¹i+1 +³(1 ¡ hi)³¸(ti+1)(1 ¡ jlj2) + jD0lj2P (T;ti) ´´1=2¾ : Процедура управления в задаче 2 начинается с i = 1 и приводит к последовательности позиций pi, где j1(p) ¸ j2(p) ¸ ¢ ¢ ¢ ¸ jN (p). Действительно, сравним величины ji(p) и ji+1(p). Если Ji(p; uiT ¤) < ji(p), мы получаем ji(p) > ji+1(p). Иначе используем управление uii+1¤, которое минимизирует величину Ji(p; ui) в ( 18 ). Поэтому mui(i¢n) Ji(p; ui) =

µ £ ¹i ¡ ti

½ min max r(l; ti)x^i + Ui2U(¹i) jlj·1 Z ti+1 r(l; s)B(s)dUi(s) + conc ¡ s2m[ti+a1x;T ] jr(l; s)B(s)j

@P (T; s)=@s = ¡X(T; s)P ¡1(s)G0(s)R(s)G(s)P ¡1(s)X0(T; s); откуда в свою очередь следует, что норма симметрической и положительно определённой матрицы P (T; s) убывает по s. Если заменим ¸(ti+1) на ¸(ti), левая часть неравенства возрастает, и в concf¢g мы имеем вогнутую функцию по l. Тогда min и max можно переставить по теореме о минимаксе. Итак, минимизация по Ui(¢) даёт ji(p). Замечание 2. Процедура вычисления оптимальных управлений в задаче 1 более сложна, чем в задаче 2. Но мы можем упростить её, если немного увеличим функцию будущих потерь. Докажем неравенство Wi(p) · ji(p), i 2 1 : N . Из ( 22 ), (24), имеем WN (p) = jN (p). По индукции предположим. что Wi+1(p) · ji+1(p). Тогда из ( 21 ): ti ti Рассмотрим уравнение x_ (t) = B(t)(u(t)+v(t)), t 2 [0; T ]; где диагональная матрица B(t) = [b1(t); 0; 0; b2(t)] 2 R2. Наблюдаем сигнал y(t) = x(t) + w(t), где R0T (2jv(t)j2+ jw(t)j2)dt · 1.

8 7 6 l a itn5 o c n u jft4 3 2 10 5 t sec Рис. 2: Изменение функционала будущих потерь Вектор-функция U (¢) стеснена ограничениями ( 12 ) с ¹ = 1. Пусть b1(s) = ps, b2(s) = pT ¡ s, D = [1; ¡1], T = 10. На отрезке [1=2; T ] реализуются возмущения v(t) = [1; 1]p2 sin(t)=7; w(t) = 0, а сигнал на [0; 1=2] равен y(t) = [1=p8 + 1; 1=p8 ¡ 1]. Пусть на отрезке нанесена достаточно частая сетка, где возможна корректировка управления. Оптимальное управление в задаче равно ui¤(s) = ¡Dx^iB(s)D0±(s ¡ T )=T , если jDx^ij · pT , и ui¤(s) = ¡sign(Dx^i)B(s)D0±(s ¡ T )=pT в противном случае. Таким образом, управление состоит из одного импульса, прилагаемого в конце процесса. Корректирование производится в конце процесса в зависимости от оценки x^N , вычисляемой согласно измеренному сигналу. Изменение функционала показано на рисунке 2. Благодарности Список литературы Исследование выполнено за счёт гранта Российского научного фонда (проект № 16-11-10146). [1] S. T. Zavalishchin, A. N. Sesekin. Dynamic Impulse Systems: Theory and Applications. Kluwer

Academic Publishers, Dordrecht, 1997. [2] B. M. Miller, E. Ya. Rubinovich. Discontinuous solutions in the optimal control problems and their representation by singular space-time transformations. Automation and Remote Control, 74: 1969– 2006, 2013.

A condition of stabilizability and motion correction for linear systems with impulse actions and delay

Boris I. Ananyev

Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics (Yekaterinburg, Russia)

Natal’ya I. Zhelonkina

Ural Federal University (Yekaterinburg, Russia)

Abstract. Stability and asymptotic stability properties are investigated for linear systems with delay and with impulse action in the system matrix. Impulse methods of motion correction for linear systems without delay are suggested as well. A theorem is proved that provide a sufficient condition of stabilizability for such systems. For control systems without delay, a motion correction problem is considered with the aim to minimize the final functional. An algorithm is given that defines instants of correction. According to the algorithm, the nonincreasing sequence of predictable values of functional is arisen. The results are used in problems of navigation and biophysics.

Keywords: stability; stabilizability; systems with dekay; motion correction; impulse controls.

References

[3] V.A. Dychta , O.N. Samsonyuk . Optimalnoye impulsnoye upravleniye s prilozheniyami [Optimal Impulse Control with Applications] . Moscow, Fizmatlit, 2003 . (in Russian) = В . А. Дыхта, О. Н. Самсонюк. Оптимальное импульсное управление с приложениями . Москва. Физматлит , 2003 .

[4] V.P. Maksimov . Positional Parry of Impulse Disturbances in Control Problem for Linear Retarded System. Vestnik Permskogo universiteta , Seriya: Ekonomika , 2 ( 21 ): 6 - 14 , 2014 . (in Russian) = В . П. Максимов. Позиционное парирование импульсных возмущений в задаче управления ли- нейной системой с последействием . Вестник Пермского университета, Серия: Экономика , 2 ( 21 ): 6 - 14 , 2014 .

[5] I.A. Kornilov , A.N. Sesekin . On Stability of Linear Systems with Matrix Containing Generalized Functions . Vestnik UGTU-UPI , 3 ( 33 ): 386 - 388 , 2004 . (in Russian) = И . А. Корнилов, А. Н. Сесе- кин. Об устойчивости линейных систем с матрицей, содержащей обобщенные функции . Вестник УГТУ-УПИ , 3 ( 33 ): 386 - 388 , 2004 .

[6] N.I. Zhelonkina , A.N. Sesekin , S.P. Sorokin . On Stability of Linear Retarded Systems with Impulse Disturbance in the Matrix of the System . Vestnik Udmurtskogo universiteta . Matematika. Mechanika. Komputernuye nauki , 1 : 40 - 46 , 2011 . (in Russian) = Н . И. Желонкина, А. Н. Сесекин, С. П. Сорокин. Об устойчивости линейных систем с импульсным воздействием в матрице системы и запаздыва- нием. Вестник Удмуртского университета . Математика. Механика. Компьютерные науки , 1 : 40 - 46 , 2011 .

[7] A.N. Sesekin . Dynamical Systems with Nonlinear Impulse Structure. Sbornik nauchnych trudov . IMM UrO RAN , 6 ( 2 ): 497 - 514 , 2000 . (in Russian) = А . Н. Сесекин. Динамические системы с нелинейной импульсной структурой Сборник научных трудов . Тр. ИММ УрО РАН , 6 ( 2 ): 497 - 514 , 2000 .

[8] R. Pratt (ed). Flight Control Systems. The American Institute of Aeronautics and Astronautics , Reston, VA 20191 -4344, USA, 2000 .

[9] N. Krasovski ˘i, A. Subbotin. Game-Theoretical Control Problems . Springer-Verlag, New York, 1988 .

[10] A. Kurzhanski , I. Valyi. Ellipsoidal Calculus for Estimation and Control . SCFA. Birkh¨auser, Boston, 1997 .

[11] A. Kurzhanski , P. Varaiya . Dynamics and Control of Trajectory Tubes: Theory and Computation . SCFA. Birkh¨auser, Boston, 2014 .

[12] D. Bertsecas , I. Rhodes. Recursive state estimation for a set-membership description of uncertainty . IEEE Trans. on Auto. Control , AC- 16 : 117 - 128 , 1971 .

[13] F. Schweppe . Uncertain Dynamic Systems . Prentice Hall, New York, 1973 .

[14] B. Ananyev . Some problems of observations' control . AIP Conference Proceedings , 1404 : 235 - 241 , 2011 .

[15] B. Ananyev , N. Gredasova . Positional and impulse strategies for linear problems of motion correction . AIP Conference Proceedings , 1789 : 34 - 39 , 2016 .

[16] V.A. Dychta , O.N. Samsonyuk . Optimalnoye impulsnoye upravleniye s prilozheniyami [Optimal Impulse Control with Applications] . Moscow, Fizmatlit, 2003 . (in Russian) = В . А. Дыхта, О. Н. Самсонюк. Оптимальное импульсное управление с приложениями . Москва. Физматлит , 2003 .

[17] N. Parusnikov , V. Morozov , V. Borzov . Zadachi korrektcii v inertcialnoi navigatcii [Problems of Correction in Inertial Navigation] . MGU , Moscow, 1982 . (in Russian) = Н . Парусников, В. Морозов, В. Борзов. Задачи коррекции в инерциальной навигации . МГУ, Москва, 1982 .

[18] F. Chernousko , I. Ananievski, S. Reshmin . Control of Nonlinear Dynamical Systems. Methods and Applications . Springer-Verlag, Berlin, 2008 .

[19] D. Liberzon , A. Morse . Basic problems in stability and design of switched systems Control Syst . Mag . 19 : 59 - 70 , 1999 .

[20] A. N. Sesekin , N. I. Zhelonkina . On the stability of linear systems with generalized action and delay . IFAC-PapersOnLine, Proceedings of the 18th IFAC World Congress Milano , 13404 - 13407 , 2011 .

[21] R. Liptser , A. Shiryaev . Statistics of Random Processes, V.1 General Theory , V. 2 Applications . 2-nd ed. Springer-Verlag, Berlin, 2001 .

[22] K. Fan . Fixed-point and minimax theorems in locally convex topological linear spaces . Proc. Nat. Acad. Sci. , 38 ( 2 ): 121 - 126 , 1952 .

[23] L. Newstadt . Optimization, a moment problem, and nonlinear programming . J. SIAM Control , 2 ( 1 ): 33 - 53 , 1964 .