1 - Уральский государственный университет путей сообщения (Екатеринбург) 2 - Уральский федеральный университет (Екатеринбург) Рассматриваются вероятностные модели потока платежей для инвестиционного проекта и для кредитного портфеля. Описаны подходы к получению оценок ожидаемой доходности и риска проекта и кредитного портфеля на основе расчета статистических моментов многошаговой системы, зависящей от марковской цепи. Предложены модели, учитывающие влияние макроэкономических факторов. Ключевые слова: поток платежей; оценивание; марковский процесс; чистая приведенная стоимость.
что этот доход заранее не известен и зависит от марковского случайного процесса с дискретным временем ξt = {ξ(1), . . . , ξ(t)}.
При сравнении инвестиционных проектов могут быть использованы различные финансовые показатели: чистая приведенная стоимость проекта – Net Present Value (NPV), внутренняя норма доходности (IRR), срок окупаемости (PBP), эффективный индекс доходности (DPI) и другие показатели [4]. В данной статье доходность проекта будем оценивать на основе его чистой приведенной стоимости (NPV), где [5]: здесь r(t) – коэффициент дисконтирования, то есть доходность безрисковых вложений за тот же период.
Будем рассматривать модель динамики N P V (t) инвестиционного проекта в форме многошаговой
системы. Обозначим через B(t, ξt) значение N P V (t, ξt). Из определения (1) чистой приведенной стоимости
проекта получаем, что многошаговая система [6]
(1)
(2)
(
a(t + 1) = (1 + r(t))−1a(t), a(0) = 1. описывает изменение чистой приведенной стоимости и может быть основой для оценки статистических параметров (среднего значения, дисперсии, квантили) B(T, ξT ) = N P V (T, ξT ) в случае, если получено вероятностное описание дохода за период A(t) = A(t, ξt).
Для сравнения чистой приведенной стоимости различных проектов или различных стратегий управления проектом в случае моделирования доходов как случайных величин используются следующие критерии [7]: • Максимум средней ожидаемой прибыли max N P V (T ) за заданный промежуток времени T при фиксированном значении начальных инвестиций A(0). • Минимум риска. Под риском проекта в финансовом анализе понимается вероятность получения убытков, то есть вероятность отрицательного значения N P V (T )
α(T ) = P{N P V (T, ξT )} < 0 • Сочетание этих двух подходов, как двух критериев. Выбирается эффективный проект, то есть Паретооптимальный по двум критериям. 3
Вероятностное моделирование дохода по проекту за период Обычно доходы и расходы по инвестиционному проекту за каждый период описываются, как разность доходов и расходов за фиксированный период. Например, в работах [7, 8] используется следующая формула:
A(t) = b1(t)b2(t) − b3(t)u(t) − c(t), где b1(t) – количество проданных товаров, b2(t) – цена продажи единицы продукции, b3(t) – затраты на закупку единицы сырья, u(t) – объем закупаемого сырья, c(t) – условно-постоянные расходы.
Будем рассматривать модель, в которой параметры b(t) = {b1(t), b2(t), b3(t)} являются случайными и зависят от состояния экономики. Изменение состояния экономики будем описывать, как марковскую цепь ξ(t) с 3-мя возможными состояниями: • S1 – кризисное состояние, • S2 – равновесное состояние, • S3 – экономический подъем. Обозначим через e1, e2, e3 базисные вектора, пусть случайный процесс ζ(t) является индикатором состояния экономики, т.е. ζ(t) = ej, если экономика находится в j-ом состоянии.
Будем предполагать, что каждый из параметров проекта можно представить в виде двух слагаемых: bij среднего значения i-го параметра (например, цены продажи) в j-ом состоянии экономики и случайного отклонения от среднего ожидаемого значения ciηi(t). Например, количество проданного товара (b1(t)) моделируется как b1(t) = b12 + c1η1(t), если экономика находится в равновесном состоянии, т.е. ζ(t) = {0, 1, 0}T = e2. Вектор параметров b(t) при условии ζ(t) = ej имеет вид
bj(t) = Bjξ(t) + Cη(t),
где η(t), t = 1, 2, ... – дискретный случайный процесс с независимыми значениями и стандартным
нормальным распределением компонент. Сокращенно математическую модель изменения параметров проекта
можно записать в форме
b(t, ξ) = Bζ(t) + Cη(t),
(
Несмотря на то, что параметры b1 и b2 входят выражение для A(t, ζ(t), η(t)) мультипликативно, в рассматриваемом случае независимых марковских случайных процессов ζt, ηt можно найти условное математическое ожидание и дисперсию Aj(t) = A(t|ζ(t) = ej) при условии, что экономика в момент t находится в j-ом состоянии. Отсюда, используя соотношения для моментов многошаговой системы, зависящей от простой марковской цепи [9], получаем прогноз для статистических моментов состояния системы (2). Таким образом, находим прогноз статистических моментов N P V (T, uT ). Обозначим через mT = m(T, uT ) математическое ожидание чистой приведенной стоимости проекта при заданной стратегии закупки сырья uT = {u(1), . . . , u(T )}, через sT = s(T, uT ) – среднее квадратичное отклонение этого параметра.
Имитационное моделирование с помощью программы MathCad показало, что распределение чистой приведенной стоимости проекта в рассматриваемых условиях близко к нормальному, что позволяет оценивать риск проекта на основе функции нормального распределения α(T, uT ) = P{N P V (T, ξT )} < 0 = 0.5 − Φ mT sT где Φ(z) – интегральная функция Лапласа, P(B) – вероятность события B.
В случае заданной матрицы переходных вероятностей марковской цепи ζt для выбранного управления
uT соотношения (
Модель динамики структуры кредитного портфеля В работе [6] предложено описание потоков платежей по кредитному портфелю, в форме случайного процесса зависящего от марковской цепи ξt = {ξ(0), . . . , ξ(t)} с k состояниями и дискретным временем. При моделирование динамики структуры портфеля потребительских кредитов, весь портфель разбивается на группы по признаку наличия или отсутствия задолженности и ее срокам. Под состоянием кредита подразумевается принадлежность той или иной группе. Приведем пример простейшего разбиения кредитов на группы для модели марковской цепи с шагом по времени равным 1 кварталу.
1. кредиты без задержек платежей, в том числе новые (S1); 2. кредиты с задержкой по выплате менее 90 дней (S2); 3. кредиты с задержкой по выплате от 91 до 180 дней (S3); 4. кредиты с задержкой более 180 дней – проблемные (S4); 5. погашенные кредиты (S5). Обозначим вероятность того, что система находится в i-ом состоянии в момент t через xi(t): Рис. 2: Граф состояний системы xi(t) = P{ξ(t) = ei}, i = 1, . . . , k, {e1, . . . , ek} базис Rk.
Обозначим через pij вероятность перехода из состояния Si в состояние Sj за один шаг
P{ξ(t + 1) = ej|ξ(t) = ei} = pij.
Обозначим через P = {pij} k × k матрицу переходных вероятностей и x(t) = {x1(t), . . . , xk(t)}> – вектор вероятностей состояний (долей портфеля). В случае постоянных переходных вероятностей динамика вектора x(t) описывается уравнением x(t + 1) = P >x(t),
t = 0, 1, . . . , T.
x(t + 1) = P >(Y (t), U (t))x(t), Следуя подходу, предложенному [10], в работе [11] для описания динамики структуры кредитного портфеля используется модель c переменной матрицей переходных вероятностей где матрица переходных вероятностей P зависит от внешних экономических факторов Y (t) и действий менеджмента банка U (t).
Можно использовать другой вариант описания зависимости структуры кредитного портфеля от
состояния экономики. Будем полагать, что в зависимости от состояния экономики Sj матрица переходных
вероятностей принимает одно из 3-х возможных значений: P (1), P (2) или P (
x(t + 1) = P >(ζ(t), U )x(t),
где ζ(t) – марковская цепь, описывающая изменение состояния экономики.
(
Поток платежей по кредитному портфелю Рассмотрим поток платежей по кредитному договору с постоянными выплатами (аннуитетными платежами) с начальной суммой D(0). Обозначим ежеквартальный платеж по договору через d = dbD(0), где коэффициент db определяется по известной формуле [5] исходя из процентной ставки по кредиту b.
Через D(t, ξt) обозначим сумму основного долга в период t. Платеж A(t, ξt) в период t + 1 является случайной величиной и связан с переходом договора из одной группы в другую. Если номер группы не меняется в период t+1 (за исключением кредитов из проблемной группы), то это означает, что аннуитетный платеж d оплачен:
A(t + 1, ξt+1) = d, D(t + 1, ξt+1) = (1 + b)D(t, ξt) − d. Если платеж не оплачен, то номер группы увеличивается на 1 или не изменяется для группы проблемных кредитов:
A(t + 1, ξt+1) = 0, D(t + 1, ξt+1) = (1 + b)D(t, ξt), и т.д. В случае погашения кредита в период t + 1 кредит переходит в последнюю группу (погашенных кредитов)
A(t + 1, ξt+1) = (1 + b)D(t, ξt), D(t + 1, ξt+1) = 0.
Получаем многошаговую систему, описывающую платежи по кредиту A(t, ξt) и изменение основного долга D(t, ξt), вида [6]:
A(t + 1) = ξ(t)>(d · C1 + (1 + b)D(t)C2)ξ(t + 1), t = 0, . . . , T,
D(t + 1) = (1 + b)D(t) − ξ(t)>(d · C1 + (1 + b)D(t)C2)ξ(t + 1), D(0) = A(0),
(
Уравнения (
Если при анализе динамики структуры портфеля выявлены зависимости от внешнеэкономических
факторов в форме (
Описан подход к получению оценок ожидаемой доходности и риска проекта и кредитного портфеля на основе расчета статистических моментов стохастической многошаговой системы, учитывающей прогноз макроэкономических факторов. Список литературы [1] G. Timofeeva, N. Timofeev. Evaluation of Payment Flows Based on Markov Chain Model with
Incomplete Information. AIP Conference Proceedings, 631:17–22, 2014.
[2] V. I. Klokov, S. I. Kichko. Probabilistic assessment of the effectiveness of investment projects with
use of discounting in risk. Ekonomika i upravlenie, (
Modelling of cash flows by means of Markov processes
Ural State University of Railway Transport (Yekaterinburg, Russia) Ural Federal University (Yekaterinburg, Russia)
Ural State University of Railway Transport (Yekaterinburg, Russia)
Abstract. Probabilistic models of cash flow for an investment project and for a loan portfolio are considered. The approaches to the estimation of profitability and risk of the project and the loan portfolio are obtained on the basis of calculation of statistical moments multistep system, which depends on the Markov chain. Models, taking into account the changes in macroeconomic factors, are proposed.
Keywords: payment flow, evaluation, Markov process, net present value.