Уральский государственный университет путей сообщения (Екатеринбург) В работе моделируется процесс движения робота-манипулятора, поднимающего и опускающего разбросанные детали на горизонтальной поверхности. Плечо манипулятора совершает вращательные движения в горизонтальной плоскости. Предполагается, что в случайные моменты времени, когда робот схватывает или отпускает деталь, нагрузка на двигатель изменяется скачкообразно и одновременно меняется и момент инерции плеча относительно вала двигателя. Управление робота-манипулятора зависит от угла поворота и скорости изменения угла поворота. Для смоделированного процесса построено управление, обеспечивающее асимптотическую устойчивость по вероятности в среднем квадратичном и получены условия, при которых существует единственное оптимальное стабилизирующее управление. Ключевые слова: стабилизация линейных систем; случайные скачки; управление систем со случайной структурой.
теории устойчивости и управления систем, описываемых стохастическими дифференциальными уравнениями, заложены Н.Н. Красовским, И.Я. Кацом, Р.З. Хасьминским и Э.А. Лидским в начале 60-х годов прошлого века [1] – [3]. Чуть позже появляется ряд публикаций А.И. Маликова, А.Я. Каца, А.А. Мартынюка, П.В. Пакшина, в которых авторы рассматривают системы со случайной структурой и предполагают, что в момент изменения структурного состояния системы скачком изменяется также траектория движения объекта управления. Однако представляется естественной ситуация, когда в случайные моменты времени за счёт перехода системы из одного состояния в другое фазовый вектор изменяется скачком случайным образом. Скажем, если в механических системах изменение структуры связано со случайным скачкообразным изменением массы или геометрии системы, то корректная постановка задачи требует задания новых начальных условий, поскольку фазовый вектор оказался разрывным. Подобные проблемы возникают в виброударных, экономических и других сложных системах, связанных с частичным отказом элементов. В качестве примера такой системы смоделирован процесс, описывающий движения робота-манипулятора, поднимающего и опускающего разбросанные детали на горизонтальной поверхности. Для такой модели построено стабилизирующее управление. 2
Постановка задачи Рассматривается процесс, описываемый системой стохастических дифференциальных уравнений l dx = [A(t; y(t))x + B(t; y(t))u]dt + X ¾v(t; y(t))xdwv; v=1 где x 2 R(n) - n-мерный вектор фазовых координат системы; время t может изменяться в области l = (t : t ¸ t0); величина u = u(t; x; y) - r-векторное управляющее воздействие. Матрицы-функции A(y(t)); B(y(t)); ¾v(y(t)) – заданы.
Вектор-функция y(t) является простой марковской цепью, при каждом t 2 I принимает значения из множества Y = fy1; : : : ykg ½ R(r). Простая марковская цепь допускает разложение
P fy(t) = yj j y(s) = yi 6= yjg = qij(t ¡ s) + o(t ¡ s);
P fy(t) = yj; s · ¿ · t j y(s) = yig = 1 ¡ qi(t ¡ s) + o(t ¡ s); где qij – известные переходные вероятности из i-го состояния в j-е, o(t ¡ s) – бесконечно малая величина, более высокого порядка малости, чем (t ¡ s), w(t) = fw1(t); : : : ; wm(t)g – m-векторный стандартный винеровский процесс, независящий от переходов марковской цепи y(t).
Предположим, что в случайные моменты времени скачкообразного изменения y(t) фазовый вектор x(t) так же изменяется скачком по закону:
N x(¿ ) = Kijx(¿ ¡ 0) + X »sQsx(¿ ¡ 0);
s=1 где ¿ – момент перехода системы из состояния y(¿ ¡0) = yi в состояние y(¿ +0) = yj 6= yi; »s – независимые случайные величины, для которых M »s = 0, M »s2 = 1 (M – знак математического ожидания); Kij матрица размерности n£m, характеризующая состояние фазового вектора в момент смены структурного состояния y(t) 2 Y ; Qs – известные матрицы с постоянными коэффициентами размерности n £ m, описывающие случайные возмущения в момент скачка y(t).
Некоторые простые виды скачков фазового вектора x(t) рассматривались в работах [2]–[3]. Условие
скачка (
Условный закон распределения, задающий начальные условия для вектора при изменившейся структуре можно записать в виде
P fx(¿ ) 2 [z; z + dz)jx(¿ ¡ 0) = xg = pij(¿; zjx)dz + o(dz); где pij(¿; zjx) - условная плотность l-мерного распределения. В частности, если реализации непрерывны, то pij(¿; zjx) = ±(z ¡ Áij(x)), где Áij(x) – функция Дирака.
Рассмотрим задачу об оптимальной стабилизации для системы (
M [x0[t]G(t; y(t))x[t] + u0[t]D(t; y(t))u[t]jx0; y0]dt;
Приравниваем к нулю матрицу получившейся квадратичной формы, приходим к системе матричных дифференциальных уравнений где U = fu : u(t; 0; y) ´ 0g.
Такое управление, разрешающее задачу об оптимальной стабилизации стохастической системы (
Будем использовать определения и некоторые подходы, опубликованные в работах [3]–[7].
Определение 1. Невозмущенное движение x = 0 системы (
P f[supkx(t)kjt ¸ t0] < H1jx0; y0g > 1 ¡ p;
P f[supkx(t)kjt ¸ t0 + T ] < °jx0; y0g > 1 ¡ p ¡ q;
Определение 2. Усредненной производной (или производящим дифференциальным оператором)
dM [V ]=dt в силу системы со случайной структурой (
1 dt где V (t; x; y) – функция Ляпунова.
Лемма 1. Для усредненной производной квадратичной функции V (t; x; y) в силу системы (
· l ¸
x0 ( @@Gti )0 + 2Gi(Aix + biu) + vP=1 ¾v0iGi¾vi + P(Ki0jGjKij + P Q0sGjQs ¡ Gi)qij + Ci x + (u0)0Diu0 = 0;
V 0(t; x; y) = x0G(t; y)x:
ui0 = Di¡1BiGix:
(
i2 i2 + (ki2jgi + q2gj ¡ gi)qij + 1 = 0; 2aigi ¡ g b i; j = 1; 2; где ai = kJ1i , bi = kJ2i , kij = J1ij . Для определенности рассмотрим значения: k1 = k2 = 0; 5, J1 = 1, J2 = 0; 5, q12 = q21 = 1, q = 1. Согласно теореме, эта система имеет единственное решение. Получим ui0(x) = ½ ¡¡11;; 4364xx;; ii == 12;: Принятая в данном примере модель перехода (скачка) является достаточно грубой и создана лишь для демонстрации теоремы об оптимальном управлении. Более содержательная модель может быть получена при изучении зависимости управления от случайной добавки скачка фазовой траектории. Полученные результаты не являются большим открытием, а лишь дополняют теорию оптимального управления стохастических систем дифференциальных уравнений в случае разрывных фазовых траекторий. Список литературы [7] T. V. Zavyalova, I. Ya. Kats, G. A. Timofeeva. Stability of motion of stochastic systems with random conditions of jumps of phase trajectories Automation and Remote Control, №7 : 34–48, 2002. (in Russian) = Т. В. Завьялова, И. Я. Кац, Г. А. Тимофеева. Об устойчивости движения стохастических систем со случайными условиями скачков фазовых траекторий. Автоматика и телемеханика, №7 : 34–48, 2002.
The optimal stabilization problem for rotation angle velocity of the robot-manipulator Tatiana V. Zavialova Ural State University of Railway Transport (Yekaterinburg, Russia)
Abstract. In the article motion of the robot that raised and lowered the scattered parts on a horizontal surface are simulated. Shoulder manipulator rotates in a horizontal plane. It is assumed that at random points in time when the robot grasps or releases the part, the engine load changes abruptly and simultaneously changing the moment of inertia of the arm with respect to the motor shaft. Control of the robot manipulator depends on the angle of rotation and speed of rotation.
There are control are designed. This control are ensures asymptotic stability in probability in quadratic mean for the simulated process. conditions are obtained under which there exists a unique stabilizing optimal control.
Keywords: stabilization of linear system; random jumps; control of systems with random structure.