Уральский государственный университет путей сообщения (Екатеринбург) Рассматриваются стационарные трехмерные течения идеального политропного газа, примыкающие через коническую контактную поверхность к области покоя в условиях действия сил тяготения и Кориолиса. Показано, что такие течения описываются решениями соответствующей начально-краевой задачи для системы уравнений газовой динамики, которые в работе строятся в виде сходящихся рядов. Коэффициенты этих рядов определяются в параметрической форме при решении систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Параметры газа на контактной поверхности и в ее окрестности восстанавливаются численно. Ключевые слова: математическое моделирование; восходящие закрученные потоки; торнадо; стационарные трехмерные течения; идеальный политропный газ; коническая контактная поверхность; сила тяготения, сила Кориолиса; система уравнений газовой динамики; сходящиеся ряды.
Постановка задачи Будут рассматриваться стационарные изэнтропические течения политропного газа со следующими искомыми газодинамическими параметрами: c = ½(°¡1)=2 – скорость звука газа; u – радиальная составляющая вектора скорости газа; v – окружная составляющая вектора скорости газа; w – вертикальная составляющая вектора скорости газа. Здесь ½ – плотность газа, ° – показатель политропы газа и для воздуха обычно полагается ° = 1:4. Газодинамические параметры зависят от независимых переменных: r – полярного радиуса в плоскости xOy; ' – полярного угла; z – третьей пространственной координаты.
Рис. 1: коническая контактная поверхность r = r0(z) = r00 + kz
В этом случае стационарная система уравнений газовой динамики имеет следующий вид [8]:
8>>> ucr + vr c' + wcz + (° ¡2 1) c ³ur + ur + vr' + wz´ = 0;
>
>
>>>>>>> uur + vr u' ¡ vr2 + wuz + (° ¡2 1) ccr = av ¡ bw cos ';
<
>>>> uvr + urv + vr v' + wvz + (° ¡2 1) 1r cc' = ¡au + bw sin ';
>
>
>
>
>>:>> uwr + vr w' + wwz + (° ¡2 1) ccz = bu cos ' ¡ bv sin ' ¡ g:
(
Будем искать конические характеристики этой системы в виде
r = r0(z) = r00 + kz;
r00 > 0; z00 > 0:
В системе (
При этой замене переменных система (
u = kw получаем, что поверхность ´ = 0 есть характеристика кратности 2;
2. При соотношениях между параметрами газа u = kw § cp1 + k2 поверхность ´ = 0 есть C§ характеристика, каждая кратности 1.
Далее поставим начально-краевую задачу на характеристике ´ = 0 кратности 2.
Считая известной функцию c0 = c0(z) = pc200 ¡ g(° ¡ 1)z поставим следующие начальные условия на ´ = 0: 8> cj´=0 = c0(z) = pc200 ¡ g(° ¡ 1)z; > > > > <>>> uj´=0 = kw0('; z); >>> vj´=0 = v0('; z); > > > > :> wj´=0 = w0('; z): uN = (¡!U; n¡!0): Здесь c00 есть константа, с помощью которой при z = 0 задается значение скорости звука газа, покоящегося при 0 · r · r0(z). Сама функция c0(z) передает скорость звука газа, покоящегося в поле тяжести. Значение uj´=0 будем искать по формуле u0 = kw0. Значение нормальной составляющей скорости газа uN к поверхности ´ = 0 найдем по формуле
Вычисляя un, получаем
Здесь !¡U = fu; wg; n¡!0 = f p1 1+ k2 ; ¡ p1 k+ k2 g; – единичный нормальный вектор к линии r = r0(z).
(7)
(8)
8 v(´; '; z)jz=z00 = v0(´; ');
<
: w(´; '; z)jz=z00 = w0(´; ');
8 v0(´; ')j´=0 = v0('; z)jz=z00 = v00(');
<
: w0(´; ')j´=0 = w0('; z)jz=z00 = w00('):
Причем в четвертом из них учтен конкретный вид функции c0(z) из условий (
Из первых двух равенств, входящих в систему (8), однозначно в некоторой окрестности точки z = z00; ' = '0 (z00 > 0; 0 · '0 · 2¼) определяются c1 при условии выполнения неравенства Далее будет предполагаться, что v00(') 6= 0, w00(') 6= 0.
Для задачи (
Доказательство теоремы проводится сведением задачи (
В системе (
1 ´n f (´; '; z) = X fn('; z) ; n=0 n!
f = fc; u; v; wg: crj´=0 = c1; urj´=0 = u1; wrj´=0 = w1; получим следующие четыре соотношения: >>>8 w0c0z + (° ¡2 1) c0 ³u1 ¡ kw1 + r10 (v0' + kw0) + w0z´ = 0; > > > >>>>>>> (° ¡2 1) c0c1 = ¡ kv0rw00' <
¡ kw0w0z + av0 ¡ b cos 'w0 + r01(z) v02; > r0(z) v0v0' + w0v0z = (¡ak + b sin ')w0 ¡ krv00(wz)0 ; >> 1 > > > > > >>>:>> r01(z) v0(w0' + ku0') + w0(w0z + ku0z) = k r0v(02z) + (ak ¡ b sin ')v0: и алгебраическое соотношение между u1; w1, поскольку r0(z00) > 0, c0(z00) > 0.
Последние два равенства, входящие в систему (8), являются необходимыми условиями разрешимости характеристической задачи Коши [9] и из них следует, что функции v0 и w0, нельзя брать произвольными. Они должны удовлетворять двум последним соотношениям из системы (8). Из равенства u0 = kw0 найдем производные u0' = kw0'; 8 <>> v0' + r0(vz0)w0 v0z = (¡ak + b sin ') r0(vz0)w0 ¡ kw0; >>: w0' + r0(vz0)w0 w0z = 1 +1 k2 (ak ¡ b sin ') r0(z) + 1 +k k2 v0: С начальными условиями, полученными из условий (6) v0('; z)jz=z00 = v00('); w0('; z)jz=z00 = w00('): >>>8 dd'¿ = 1; dd¿z = r0(vz0)w0 ; > > > > < ddv¿0 = (¡ak + b sin ') r0(vz0)w0 ¡ kw0; > > > >>>:> ddw¿0 = 1r0+(zk)2 (ak ¡ b sin ') + 1 +k k2 v0: dd¿z = r0(z)w0 ;
v0 ddv¿0 = (¡ak + b sin(¿ + '00)) r0(vz0)w0 ¡ kw0; ddw¿0 = 1 +k k2 (ak ¡ b sin(¿ + '00)) + 1 +k k2 v0: С помощью введения параметра ¿ [10], система (9) из двух уравнений с частными производными сводится к следующей системе обыкновенных дифференциальных уравнений. (9) (10) (11) (12) (13) Для системы (11) получаются следующие начальные условия
'j¿=0 = '00; zj¿=0 = z00; v0j¿=0 = v00('00); w0j¿=0 = w00('00): Интегрируя первое уравнение системы (11) получаем ' = ¿ + '00. Следовательно систему (11) можно переписать в виде
Задача (11), (12) имеет единственное аналитическое решение. Предположение v00('00) > 0; w00('00) > 0 гарантирует, что исследуемое течение является восходящим закрученным потоком.
Следовательно, из необходимых условий разрешимости характеристической задачи Коши (
µ Z ¿ w0(¿; '00) ¶ Z ¿ ( w0 0 J = ¡r0(z) wv00((¿¿;;''0000)) + z00 exp k 0 v0(¿; '00) 0 v0 )'00 d¿:
J j¿=0 = ¡r0(z) w00('00)
v00('00) 6= 0: Поскольку J j¿=0 6= 0, то в окрестности точки (z = z00; ' = '00) единственным образом определяются функции ¿ = ' ¡ f ('; z); '00 = f ('; z): Функция c1 определяется из второго соотношения (8). Для определения u1 ¡ kw1 необходимо получить w0z, v0' как функции двух параметров ¿ и '00.
Производные по ' и z вычисляются по формулам где v0' = v0¿ + (v0'00 ¡ v0¿ )f';
w0' = w0¿ + (w0'00 ¡ w0¿ )f'; v0z = (v0'00 ¡ v0¿ )fz;
w0z = (w0'00 ¡ w0¿ )fz; z0¿ ; f' = ¡ J fz =
J = z0'00 ¡ z0¿ :
r0v(0z) v1' + w0v1z ¡ (w0z + (° ¡21)c0 w0c0z)v1+
>
>
>
>
>
>>> +(v0z + ak ¡ b sin ' + rk0(vz0) )w1 = F31('; z);
>
>
>
>
>
>
>>>>>> (1 + k2)( r0v(0z) w1' + w0w1z) + ( rw0(0z') ¡ ak + b sin ' ¡ r20k(vz0) )v1¡
>
>
>
>
>
>>>:> ¡(1 + k2)( v0'r0+(zk)w0 + (° ¡21)c0 w0c0z)w1 = F41('; z):
После введения характеристического параметра ¿ система (18) сводится к системе обыкновенных
линейных дифференциальных уравнений
(18)
(19)
(20)
>>>8 ddv¿1 ¡ vr00 (w0z + (° 2¡c01z)c0 w0)v1+
>
>
>
>
> + vr00 (v0z + ar0z ¡ b sin(¿ + '00) + r0zv0 )w1 =
>
>>>> r0
>
>
>
>>> = vr00 F31(¿ + '00; z0(¿ + '00));
>
>
>
<
>>>> ddw¿1 + µ wv00' ¡ (1 2+r0rz02z) + (1 +1r02z)
>
>
>
>
>>>>>>> ¡( v0' +v0r0zw0 + (° 2¡c01z)c0 r0vw00 )w1 =
>
>
>
:>>>> = (1 +1r02z) vr00 F41(¿ + '00; z0(¿ + '00)):
(b sin(¿ + '00) ¡ ar0z) vr00 ¶ v1¡
Соотношения на бихарактеристике сохраняются в виде
' = ¿ + '00;
dz
d¿
= r0(z)w0
v0
:
Начальные условия для систем (19) получаются из условий (
В параметрической форме начальные данные имеют вид '(0) = '00;
z(0) = z00; v1(0) = v´0(0; '00);
w1(0) = w´0(0; '00):
Задача (19), (20) имеет единственное решение. Таким образом найдены функции v1, w1 и следовательно
из соотношения (
nz ¡ 2c
0 ¡ 1) c n+1 = ¡ (21) (22) (23) (24) Соотношения на бихарактеристике сохраняются в виде Численное моделирование течения газа на вертикальной контактной поверхности и в ее окрестности При введении безразмерных переменных в качестве масштабов скорости и расстояния взяты соответственно 13 103 м/с и 3650 м, тогда использованные входные данные соответствуют тропическому циклону средней интенсивности, находящемуся на широте Ã = ¼6 [3]. В восходящем закрученном потоке с приведенными значениями входных констант частица газа, сделав полный оборот по поверхности цилиндрической контактной поверхности с размерным значением ее радиуса r00 = 3650 м, поднялась на высоту в 3462 м.
На рис. 2 приведены бихарактеристики z = z0(¿; '00), при численном построении которых с шагом ¢¿ = 0:001 выбирались точки ('k; zk): фиксировалось '00, вычислялось 'k = ¿k + '00 и zk = z0(¿k; '00).
Рис. 2: бихарактеристики z = z0(¿; '00) Таким образом была построена неравномерная сетка для переменных ', z. В узлах этой сетки и вычислялись значения функций v0('; z), w0('; z). В результате были численно построены интегральные поверхности для параметров газа на контактном разрыве. На рис. 3, 4 приведены интегральные поверхности для функций v0('; z), w0('; z).
На рис. 5, 6 приведены интегральные поверхности для выводящих с контактной поверхности производных c1('; z), u1('; z), также численно построенные в узлах упомянутой сетки.
Рассчитанные значения c1('; z) и u1('; z) в рассматриваемой области имеют положительные значения.
Следовательно, при отходе от контактной поверхности r = r00 в область искомого течения при r > r00
значения скорости звука возрастают, а значения радиальной скорости становятся положительными и тоже
возрастают. Это качественно согласуется со свойствами течений, построенных с помощью разложений
решений системы уравнений газовой динамики по степеням малых параметров и g [1–3].
Рис. 4: интегральная поверхность для функции w0('; z)
Список литературы
Рис. 6: интегральная поверхность для функции u1('; z)
= С. Л. Дерябин, А. В. Мезенцев. Численно-аналитическое моделирование газовых течений,
примыкающих к вакууму в условиях действия сил тяготения и Кориолиса. Вычислительные
технологии, 15(
Construction of stationary rising swirling flows in the neighborhood of the conical contact discontinuity
Ural State University of Railway Transport (Yekaterinburg, Russia)
Ural State University of Railway Transport (Yekaterinburg, Russia)
Ural State University of Railway Transport (Yekaterinburg, Russia)
Abstract. Stationary three-dimensional flows of an ideal polytropic gas adjacent through the conical contact surface to rest area under the action of gravity and coriolis forces are under consideration. It is shown that such flows are described by solutions of the corresponding initial boundary value problem for the system of equations gas dynamics, which are constructed in the form of convergent series. The coefficients of these series are determined in parametric form by the solution of systems of ordinary differential equations. Gas parameters on the contact surface and in its neighborhood restored numerically.