=Paper=
{{Paper
|id=Vol-1825/p17
|storemode=property
|title= Построение стационарных восходящих закрученных вихрей в окрестности конического контактного разрыва (Construction of stationary rising swirling flows in the neighborhood of the conical contact discontinuity)
|pdfUrl=https://ceur-ws.org/Vol-1825/p17.pdf
|volume=Vol-1825
|authors=Sergey P. Bautin,Sergei L. Deryabin,Aleksei V. Mezentsev
}}
== Построение стационарных восходящих закрученных вихрей в окрестности конического контактного разрыва (Construction of stationary rising swirling flows in the neighborhood of the conical contact discontinuity)==
https://ceur-ws.org/Vol-1825/p17.pdf
Построение стационарных восходящих закрученных
вихрей в окрестности конического контактного разрыва
С.П. Баутин С.Л. Дерябин А.В. Мезенцев
SBautin@usurt.ru SDeryabin@usurt.ru AMezentsev@usurt.ru
Уральский государственный университет путей сообщения (Екатеринбург)
Аннотация
Рассматриваются стационарные трехмерные течения идеального
политропного газа, примыкающие через коническую контактную
поверхность к области покоя в условиях действия сил тяготения и
Кориолиса. Показано, что такие течения описываются решениями
соответствующей начально-краевой задачи для системы уравнений
газовой динамики, которые в работе строятся в виде сходящихся
рядов. Коэффициенты этих рядов определяются в параметриче-
ской форме при решении систем обыкновенных дифференциаль-
ных уравнений. Параметры газа на контактной поверхности и в ее
окрестности восстанавливаются численно.
Ключевые слова: математическое моделирование; восходящие
закрученные потоки; торнадо; стационарные трехмерные течения;
идеальный политропный газ; коническая контактная поверхность;
сила тяготения, сила Кориолиса; система уравнений газовой дина-
мики; сходящиеся ряды.
Задачи о математическом моделировании течений в восходящих закрученных потоках типа торнадо и
тропический циклон при учете действия сил тяжести и Кориолиса рассматривались ранее, см. например,
[1–7]. В работах [1–3] предложена и обоснована схема зарождения и функционирования восходящего закру-
ченного потока газа. В частности доказано, что в таких потоках закрутка в северном полушарии происхо-
дит против хода часовой стрелки, а в южном - по ходу часовой стрелки. В работах [4, 5] рассматривались
течения политропного газа в восходящем закрученном потоке в некоторой окрестности вертикально рас-
положенной контактной характеристики кратности пять, разделяющей газ и вакуум. Показано, что и в
случае примыкания газа к вакууму закрутка газа происходит в соответствующую сторону, а также уста-
новлено, что сам вихрь движется на запад, немного смещаясь к северу. В работах [6, 7] строились течения
газа также в окрестности контактной характеристики, но кратности два и являющейся непроницаемой
плоскостью z = 0.
В данной работе рассматривается течение газа в некоторой окрестности конической контактной харак-
теристики кратности два, разделяющей восходящий закрученный поток и покоящийся газ. В работах [1–3]
описана схема течения в восходящем закрученном потоке, соответствующая структуре течения у тропиче-
ских циклонов и сформировавшихся разрушительных торнадо. В частности предполагается существование
c by the paper’s authors. Copying permitted for private and academic purposes.
Copyright °
In: G.A. Timofeeva, A.V. Martynenko (eds.): Proceedings of 3rd Russian Conference "Mathematical Modeling and Information
Technologies" (MMIT 2016), Yekaterinburg, Russia, 16-Nov-2016, published at http://ceur-ws.org
129
области покоящегося газа вдоль вертикальной оси потока, которая в случае тропического циклона обычно
называется «глаз тайфуна».
Значения переменной z будет отсчитываться от поверхности Земли. Построение и исследование течения
будет проводиться в окрестности точки M0 (r00 + kz00 , ϕ00 , z00 ), r00 , ϕ00 , z00 = const > 0, k ≥ 0.
Постановка задачи
Будут рассматриваться стационарные изэнтропические течения политропного газа со следующими иско-
мыми газодинамическими параметрами: c = ρ(γ−1)/2 – скорость звука газа; u – радиальная составляющая
вектора скорости газа; v – окружная составляющая вектора скорости газа; w – вертикальная составляю-
щая вектора скорости газа. Здесь ρ – плотность газа, γ – показатель политропы газа и для воздуха обычно
полагается γ = 1.4. Газодинамические параметры зависят от независимых переменных: r – полярного
радиуса в плоскости xOy; ϕ – полярного угла; z – третьей пространственной координаты.
Рис. 1: коническая контактная поверхность r = r0 (z) = r00 + kz
В этом случае стационарная система уравнений газовой динамики имеет следующий вид [8]:
³ ´
uc + v c + wc + (γ − 1) c u + u + vϕ + w = 0,
r r ϕ z 2 r r r z
v v2 2
uur + r uϕ − r + wuz + (γ − 1) ccr = av − bw cos ϕ,
(1)
uvr + uv v 2 1
r + r vϕ + wvz + (γ − 1) r ccϕ = −au + bw sin ϕ,
uwr + v wϕ + wwz + 2 cc = bu cos ϕ − bv sin ϕ − g.
r (γ − 1) z
в которой a = 2Ω sin ψ, b = 2Ω cos ψ, Ω – модуль угловой скорости вращения Земли, ψ – широта точки
(r = 0, z = 0) на поверхности Земли, g = const > 0 – ускорение свободного падения.
Будем искать конические характеристики этой системы в виде
r = r0 (z) = r00 + kz, r00 > 0, z00 > 0.
0
В системе (1) введем новую независимую переменную η = r − r0 (z), не меняя переменных z, ϕ : z =
0
z, ϕ = ϕ [3]. Производные по r, ϕ, z пересчитываются по формулам
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= , = , = 0 −k .
∂r ∂η ∂ϕ ∂ϕ0 ∂z ∂z ∂η
Штрихи у независимых переменных в дальнейшем опускаются.
При этой замене переменных система (1) переходит в следующую систему:
130
v (γ − 1) u + vϕ
(u − kw)cη + η + r0 (z) cϕ + wcz +
2 c(uη − kwη + η + r0 (z) +
+wz ) = 0,
v v2 2 cc =
(u − kw)uη + uϕ − + wuz +
η + r (z) η + r0 (z) (γ − 1) η
0
= av − bw cos ϕ,
(2)
(u − kw)vη + uv + v v + wvz + 2 1 cc =
η + r0 (z) η + r0 (z) ϕ (γ − 1) η + r0 (z) ϕ
= −au + bw sin ϕ,
v 2 2k
(u − kw)wη + η + r0 (z) wϕ + wwz + (γ − 1) ccz − (γ − 1) ccη =
= bu cos ϕ − bv sin ϕ − g.
∂
Приравнивая к нулю определитель при выводящих производных ∂η , получаем следующее уравнение [9]
¯ ¯
¯ (γ − 1) (γ − 1)k ¯
¯ u − kw c ¯
¯ 2 c 0 − 2 ¯
¯ 2 ¯
¯ (γ − 1) c u − kw 0 0 ¯
¯ ¯=0
¯ 0 0 u − kw 0 ¯
¯ ¯
¯ − 2k c 0 0 u − kw ¯
¯ (γ − 1) ¯
Вычисляя определитель, имеем
(u − kw)2 [(u − kw)2 − c2 (1 + k 2 )] = 0.
Приравнивая нулю сомножители из правой части уравнения, определяем соотношения между парамет-
рами газа на характеристике η = 0:
1. При соотношении между параметрами газа
u = kw (3)
получаем, что поверхность η = 0 есть характеристика кратности√ 2;
2. При соотношениях между параметрами газа u = kw ± c 1 + k 2 поверхность η = 0 есть C ± характе-
ристика, каждая кратности 1.
Далее поставим начально-краевую задачуp на характеристике η = 0 кратности 2.
Считая известной функцию c0 = c0 (z) = c200 − g(γ − 1)z поставим следующие начальные условия на
η = 0: p
c|η=0 = c0 (z) = c200 − g(γ − 1)z;
u|η=0 = kw0 (ϕ, z);
(4)
v|η=0 = v 0 (ϕ, z);
w|η=0 = w0 (ϕ, z).
Здесь c00 есть константа, с помощью которой при z = 0 задается значение скорости звука газа, покояще-
гося при 0 ≤ r ≤ r0 (z). Сама функция c0 (z) передает скорость звука газа, покоящегося в поле тяжести.
Значение u|η=0 будем искать по формуле u0 = kw0 . Значение нормальной составляющей скорости газа uN
к поверхности η = 0 найдем по формуле
−
→ →
uN = ( U , −
n0 ).
131
→
− →0 = { √ 1
Здесь U = {u, w}, −
n , − √ k 2 }, – единичный нормальный вектор к линии r = r0 (z).
1 + k2 1+k
Вычисляя un , получаем
1 k u0 − kw0
uN = u0 √ − w0 √ = √ = 0.
1+k 2 1+k 2 1 + k2
Следовательно второе условие из соотношения (4) гарантирует, что нормальная составляющая скорости
газа un = 0, то есть характеристика r = r0 (z) является контактной поверхностью. Функции v0 и w0 ,
входящие в данные (4), пока не определены.
Пусть для задачи (2), (4), заданы два дополнительных условия
v(η, ϕ, z)|z=z00 = v 0 (η, ϕ);
(5)
w(η, ϕ, z)|z=z00 = w0 (η, ϕ);
с аналитическими в окрестности точки (η = 0, ϕ = ϕ00 , z = z00 ) функциями v 0 (η, ϕ), w0 (η, ϕ), которые
удовлетворяют условиями согласования
0
v (η, ϕ)|η=0 = v0 (ϕ, z)|z=z00 = v00 (ϕ);
(6)
0
w (η, ϕ)|η=0 = w0 (ϕ, z)|z=z00 = w00 (ϕ).
Далее будет предполагаться, что v00 (ϕ) 6= 0, w00 (ϕ) 6= 0.
Для задачи (2), (4), (5) справедлива следующая теорема
Теорема. Задача (2), (4), (5) имеет в некоторой окрестности точки (η = 0, ϕ = ϕ00 , z = z00 ) един-
ственное аналитическое решение.
Доказательство теоремы проводится сведением задачи (2), (4), (5) к характеристической задаче Коши
стандартного вида, для которой справедлив аналог теоремы Ковалевской [9]. Непосредственные выкладки
проводятся по методике из книги [9] и здесь не приводятся.
Построение аналитического решения задачи (2), (4), (5)
Решение задачи (2), (4), (5) будем строить в виде ряда по степеням η.
∞
X ηn
f (η, ϕ, z) = fn (ϕ, z) , f = {c, u, v, w}. (7)
n=0
n!
В системе (5) положим η = 0 и при обозначениях
cr |η=0 = c1 ; ur |η=0 = u1 ; wr |η=0 = w1 ,
получим следующие четыре соотношения:
³ ´
(γ − 1) 1 (v + kw ) + w
w0 c0z +
2 c0 u 1 − kw 1 + r 0ϕ 0 0z = 0,
0
2 c c = − kv0 w0ϕ − kw w + av − b cos ϕw + 1 v 2 ,
r0
(γ − 1) 0 1 0 0z 0 0
r0 (z) 0
(8)
1 v v + w v = (−ak + b sin ϕ)w − kv0 w0 ,
r 0 (z) 0 0ϕ 0 0z 0
r0 (z)
2
1 v0 (w0ϕ + ku0ϕ ) + w0 (w0z + ku0z ) = k v0 + (ak − b sin ϕ)v0 .
r0 (z) r0 (z)
Причем в четвертом из них учтен конкретный вид функции c0 (z) из условий (4).
Из первых двух равенств, входящих в систему (8), однозначно в некоторой окрестности точки z =
z00 , ϕ = ϕ0 (z00 > 0, 0 ≤ ϕ0 ≤ 2π) определяются c1 при условии выполнения неравенства
132
c00 > g(γ − 1)z00
и алгебраическое соотношение между u1 , w1 , поскольку r0 (z00 ) > 0, c0 (z00 ) > 0.
Последние два равенства, входящие в систему (8), являются необходимыми условиями разрешимости
характеристической задачи Коши [9] и из них следует, что функции v0 и w0 , нельзя брать произвольными.
Они должны удовлетворять двум последним соотношениям из системы (8). Из равенства u0 = kw0 найдем
производные
u0ϕ = kw0ϕ , u0z = kw0z
Подставляя полученные производные в третье и четвертое уравнение системы (8), получим
r0 (z)w0 r0 (z)w0
v0ϕ +
v0 v0z = (−ak + b sin ϕ) v0 − kw0 ,
(9)
w0ϕ + r0 (z)w0 w0z = 1 (ak − b sin ϕ) r (z) + k v .
v0 1 + k2 0
1 + k2 0
С начальными условиями, полученными из условий (6)
v0 (ϕ, z)|z=z00 = v00 (ϕ);
(10)
w0 (ϕ, z)|z=z00 = w00 (ϕ).
С помощью введения параметра τ [10], система (9) из двух уравнений с частными производными сво-
дится к следующей системе обыкновенных дифференциальных уравнений.
dϕ
= 1; dz = r0 (z)w0 ;
dτ dτ v0
dv0 = (−ak + b sin ϕ) r0 (z)w0 − kw ; (11)
dτ v0 0
dw0 = r0 (z) (ak − b sin ϕ) + k v0 .
dτ 1 + k2 1 + k2
Для системы (11) получаются следующие начальные условия
ϕ|τ =0 = ϕ00 , z|τ =0 = z00 , v0 |τ =0 = v00 (ϕ00 ), w0 |τ =0 = w00 (ϕ00 ). (12)
Интегрируя первое уравнение системы (11) получаем ϕ = τ + ϕ00 . Следовательно систему (11) можно
переписать в виде
dz = r0 (z)w0 ;
dτ v0
dv0 = (−ak + b sin(τ + ϕ )) r0 (z)w0 − kw ; (13)
dτ 00 v0 0
dw0 = k (ak − b sin(τ + ϕ )) + k v .
00
dτ 1 + k2 1 + k2 0
Задача (11), (12) имеет единственное аналитическое решение. Предположение v00 (ϕ00 ) > 0, w00 (ϕ00 ) > 0
гарантирует, что исследуемое течение является восходящим закрученным потоком.
Следовательно, из необходимых условий разрешимости характеристической задачи Коши (2), (4), то
есть из задачи (11), (12). Функции v0 , w0 , входящие в условия (4), определяются однозначно и являются
аналитическими функциями двух параметров τ, ϕ00 в некоторой окрестности точки (τ = 0, ϕ = ϕ00 ).
133
Об одном свойстве решений задачи (2), (4), (5)
Умножая второе уравнение системы (13) на 1 v , а третье уравнение на w и складывая их, получим
1 + k2 0 0
следующее дифференциальное уравнение
1
v0 v0τ + w0 w0τ = 0.
1 + k2
Уравнение (14) имеет общее решение, удовлетворяющее следующему равенству:
v02 + (1 + k 2 )w02 = C 2 = v00
2
(ϕ00 ) + (1 + k 2 )w00
2
(ϕ00 ). (14)
Следовательно на контактной поверхности r = r0 (z) вдоль бихарактеристики системы (2) имеет место
Закон сохранения. Если уменьшается (увеличивается) модуль вертикальной составляющей векто-
ра скорости газа, то увеличивается (уменьшается) модуль окружной составляющей вектора скорости
газа в соответствии с формулой (14).
Интегрируя первое уравнение системы (13), имеем
µ Z τ ¶
z00 w0 (τ, ϕ00 )
z = z0 (τ, ϕ00 ) = −r00 + exp k dτ .
k 0 v0 (τ, ϕ00 )
Далее будем считать известными функции z = z0 (τ, ϕ00 ), v0 = v0 (τ, ϕ00 ), w0 = w0 (τ, ϕ00 ) и следовательно
u0 = kw0 (τ, ϕ00 ).
Нулевые коэффициенты ряда (7) определились как функции двух параметров τ и ϕ00 . Чтобы получить
эти коэффициенты как функции переменных z и ϕ, то есть из бихаратеристик построить интегральные
поверхности [10], необходимо параметры τ и ϕ00 выразить через переменные z и ϕ.
Якобиан преобразования вычисляется по следующим формулам
¯ ¯
¯ ϕτ ϕϕ00 ¯
J =¯¯ ¯ = z0ϕ00 − z0τ .
z0τ z0ϕ00 ¯
Вычислим z0ϕ00 µ Z τ ¶Z τ
w0 (τ, ϕ00 ) w0 0
z0ϕ00 = z00 exp k ( )ϕ00 dτ. (15)
0 v0 (τ, ϕ 00 ) 0 v0
Поскольку z0τ = r0 (z) wv00(τ,ϕ
(τ,ϕ00 )
00 )
, окончательно имеем
µ Z τ ¶Z τ
w0 (τ, ϕ00 ) w0 (τ, ϕ00 ) w0 0
J = −r0 (z) + z00 exp k ( )ϕ00 dτ. (16)
v0 (τ, ϕ00 ) 0 v 0 (τ, ϕ 00 ) 0 v0
Подставляя в соотношение (16) τ = 0, будем иметь
w00 (ϕ00 )
J|τ =0 = −r0 (z) 6= 0.
v00 (ϕ00 )
Поскольку J|τ =0 6= 0, то в окрестности точки (z = z00 , ϕ = ϕ00 ) единственным образом определяются
функции
τ = ϕ − f (ϕ, z), ϕ00 = f (ϕ, z).
Функция c1 определяется из второго соотношения (8). Для определения u1 − kw1 необходимо получить
w0z , v0ϕ как функции двух параметров τ и ϕ00 .
Производные по ϕ и z вычисляются по формулам
v0ϕ = v0τ + (v0ϕ00 − v0τ )fϕ , w0ϕ = w0τ + (w0ϕ00 − w0τ )fϕ ,
(17)
v0z = (v0ϕ00 − v0τ )fz , w0z = (w0ϕ00 − w0τ )fz ,
где
z0τ 1
fϕ = − , fz = , J = z0ϕ00 − z0τ .
J J
134
Формулы (17) позволяют получить u1 − r0z w1 как функцию двух параметров τ и ϕ00 .
Продифференцируем систему (2) по η, положим η = 0, будем иметь:
v + kw1 2
u2 = kw2 − w1z − 1ϕ − w c + F11 (ϕ, z);
r0 (z) (γ − 1)c0 1 0z
2c0 c = − kv0 w1ϕ − kw w + (a − kw0ϕ − 2v0 )v −
(γ − 1) 2 r0 (z) 0 1z
r0 (z) 1
−(b cos ϕ − k( 1 (v0ϕ + kw0 ) + 2 w c ))w1 + F21 (ϕ, z);
r0 (z) (γ − 1)c0 0 0z
v0 v + w v − (w + 2 w c )v +
r0 (z) 1ϕ 0 1z 0z
(γ − 1)c0 0 0z 1 (18)
+(v0z + ak − b sin ϕ + kv0 )w1 = F31 (ϕ, z);
r0 (z)
v0 w0ϕ 2kv0
2
(1 + k )( r0 (z) w1ϕ + w0 w1z ) + ( r0 (z) − ak + b sin ϕ − r0 (z) )v1 −
−(1 + k 2 )( v0ϕ + kw0 +
2 w c )w = F41 (ϕ, z).
r0 (z) (γ − 1)c0 0 0z 1
После введения характеристического параметра τ система (18) сводится к системе обыкновенных ли-
нейных дифференциальных уравнений
dv1 − r0 (w + 2c0z w )v +
dτ v0 0z (γ − 1)c0 0 1
r0 r0z v0
+ v0 (v0z + ar0z − b sin(τ + ϕ00 ) + r0 )w1 =
r
= v00 F31 (τ + ϕ00 , z0 (τ + ϕ00 ));
µ ¶ (19)
dw1 + w0ϕ − 2r0z + 1 (b sin(τ + ϕ ) − ar ) r0 v −
dτ v0 (1 + r0z 2
) (1 + r0z 2
) 00 0z v0 1
v +r w
−( 0ϕ v0 0z 0 + 2c0z r0vw 0 )w =
1
(γ − 1)c0 0
1 r0 F (τ + ϕ , z (τ + ϕ )).
=
(1 + r2 ) v0 41
0z
00 0 00
Соотношения на бихарактеристике сохраняются в виде
dz r0 (z)w0
ϕ = τ + ϕ00 , = .
dτ v0
Начальные условия для систем (19) получаются из условий (5), если функции v 0 (η, ϕ), w0 (η, ϕ) продиф-
ференцировать по η и положить η = 0.
В параметрической форме начальные данные имеют вид
ϕ(0) = ϕ00 , z(0) = z00 ,
(20)
v1 (0) = vη0 (0, ϕ00 ), w1 (0) = wη0 (0, ϕ00 ).
Задача (19), (20) имеет единственное решение. Таким образом найдены функции v1 , w1 и следовательно
из соотношения (3) u1 . Из первых двух соотношений (18) однозначно находятся c1 и u2 − kw2 .
135
Продифференцируем систему (2) n раз по η, положим η = 0, после преобразований будем иметь
v + kwn 2
un+1 = kwn+1 − wnz − nϕ − w c + F1n (ϕ, z);
r0 (z) (γ − 1)c0 n 0z
2c0 kv w kw0ϕ − 2v0
c = − 0 nϕ − kw0 wnz + (a − )vn −
(γ − 1) n+1 r0 (z) r0 (z)
−(b cos ϕ − nk( 1 (v0ϕ + kw0 ) + 2 w c ))wn + F2n (ϕ, z);
r0 (z) (γ − 1)c0 0 0z
r (z)w r (z) 2
vnϕ + 0 v0 0 vnz = n 0v0 (w0z + w c )v − (21)
(γ − 1)c0 0 0z n
r (z)
− 0v0 (v0z + ak − b sin ϕ + kv0 )wn + F3n (ϕ, z);
r0 (z)
r0 (z)w0 w0ϕ 1 r0 (z) 2k
wnϕ +
v0 wnz = (− v0 + 1 + k 2 (ak − b sin ϕ) v0 + 1 + k 2 )vn +
+ r0v(z) [(n − 1)w0z + n (v0ϕ + kw0 ) +
2n w c ]w + F4n (ϕ, z).
0 r0 (z) (γ − 1)c0 0 0z n
Здесь Fin , (i = 1, 2, 3, 4) – функции, известным образом зависящие от ранее найденных коэффициентов
ряда (7).
Вводя в третьем и четвертом уравнении системы (21) характеристический параметр τ , получим
dvn r0 (z) 2 r0 (z)
dτ − n v0 (w0z + (γ − 1)c0 w0 c0z )vn + v0 (v0z + ak−
−b sin(τ + ϕ00 ) + kv0 )wn = F31 (τ + ϕ00 , z0 (τ + ϕ00 ));
r0 (z)
dwn + ( w0ϕ − 1 (ak − b sin(τ + ϕ )) r0 (z) − 2k )v − (22)
dτ v0 1 + k2 00 v0 1 + k2 n
r0 (z) n 2n
− v0 [(n − 1)w0z + r0 (z) (v0ϕ + kw0 ) + (γ − 1)c0 w0 c0z ]wn =
= F4n (τ + ϕ00 , z0 (τ + ϕ00 )).
Соотношения на бихарактеристике сохраняются в виде
dz r0 (z)w0
ϕ = τ + ϕ00 , = .
dτ v0
Начальные условия для систем (22) получаются из условий (5), если функции v 0 (r, ϕ), w0 (r, ϕ) разло-
жить в ряд по степеням r − r00 .
∞
X ηn
f 0 (r, ϕ) = f 0 n (ϕ) , f 0 = {v 0 , w0 }. (23)
n=0
n!
В параметрической форме начальные данные имеют вид
ϕ(0) = ϕ00 , z(0) = z00 ,
(24)
0(n) 0(n)
vn (0) = vη (0, ϕ00 ), wn (0) = wη (0, ϕ00 ).
Таким образом в виде рядов (7) построено единственное локально аналитическое решение задачи (2),
(4), (5).
136
Численное моделирование течения газа на вертикальной контактной
поверхности и в ее окрестности
Для построения конкретных течений газа положим k = 0, тогда контактная поверхность будет иметь
уравнение r = r00 – цилиндр. В этом случае удалось проинтегрировать третье и четвертое уравнения
системы (11). Получены следующие формулы:
w0 (ϕ) = br00 cos(ϕ) + w00 − br00 cos(ϕ00 ),
p
v0 (ϕ) = C 2 − (br00 cos(ϕ) + w00 − br00 cos(ϕ00 ))2 ,
p
где C = v002 + w2 .
00
Далее расчеты проводились по этим формулам и уравнениям для бихарактеристик
dz r00 w0
ϕ = τ + ϕ00 , dτ = u0 .
Для расчетов были выбраны следующие безразмерные величины:
γ = 1.4, b = 0.001379, r00 = 1, z00 = 0.00027,
c00 = 1, v00 = 0.159, w00 = 0.0024.
При введении безразмерных переменных в качестве масштабов скорости и расстояния взяты соответ-
ственно 13 103 м/с и 3650 м, тогда использованные входные данные соответствуют тропическому циклону
средней интенсивности, находящемуся на широте ψ = π6 [3]. В восходящем закрученном потоке с приведен-
ными значениями входных констант частица газа, сделав полный оборот по поверхности цилиндрической
контактной поверхности с размерным значением ее радиуса r00 = 3650 м, поднялась на высоту в 3462 м.
На рис. 2 приведены бихарактеристики z = z0 (τ, ϕ00 ), при численном построении которых с шагом
∆τ = 0.001 выбирались точки (ϕk , zk ): фиксировалось ϕ00 , вычислялось ϕk = τk + ϕ00 и zk = z0 (τk , ϕ00 ).
Рис. 2: бихарактеристики z = z0 (τ, ϕ00 )
Таким образом была построена неравномерная сетка для переменных ϕ, z. В узлах этой сетки и вычис-
лялись значения функций v0 (ϕ, z), w0 (ϕ, z). В результате были численно построены интегральные поверх-
ности для параметров газа на контактном разрыве. На рис. 3, 4 приведены интегральные поверхности для
функций v0 (ϕ, z), w0 (ϕ, z).
На рис. 5, 6 приведены интегральные поверхности для выводящих с контактной поверхности производ-
ных c1 (ϕ, z), u1 (ϕ, z), также численно построенные в узлах упомянутой сетки.
Рассчитанные значения c1 (ϕ, z) и u1 (ϕ, z) в рассматриваемой области имеют положительные значения.
Следовательно, при отходе от контактной поверхности r = r00 в область искомого течения при r > r00
значения скорости звука возрастают, а значения радиальной скорости становятся положительными и тоже
возрастают. Это качественно согласуется со свойствами течений, построенных с помощью разложений
решений системы уравнений газовой динамики по степеням малых параметров Ω и g [1–3].
137
Рис. 3: интегральная поверхность для функции v0 (ϕ, z)
Рис. 4: интегральная поверхность для функции w0 (ϕ, z)
Список литературы
[1] S. P. Bautin. Tornado and Coriolis force. Novosibirsk, Nauka, 2008. (in Russian) = С. П. Баутин
Торнадо и сила Кориолиса. Новосибирск, Наука, 2008.
[2] S. P. Bautin, A. G. Obuhov. Mathematical modeling of destructive atmospheric vortices. Novosibirsk,
Nauka, 2012. (in Russian) = С. П. Баутин, А. Г. Обухов Математическое моделирование разру-
шительных атмосферных вихрей. Новосибирск, Наука, 2012.
[3] S. P. Bautin, I. Y. Krutova, A. G. Obuhov, K. B. Bautin. Destructive atmospheric vortices: theorems,
calculations, experiments. Yekaterinburg, USURT, 2013. (in Russian) = С. П. Баутин, И. Ю. Крутова,
А. Г. Обухов, К. В. Баутин. Разрушительные атмосферные вихри: теоремы, расчеты, экспери-
менты. Екатеринбург, Изд-во УрГУПС, 2013.
[4] S. L. Deryabin, A. V. Mezentsev. Evolution of gas flows adjacent to the vacuum under the action of
gravitational forces and Coriolis. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, Yekaterinburg,
UrO RAN, 2010. (in Russian) = С. Л. Дерябин, А. В. Мезенцев. Эволюция газовых течений,
примыкающих к вакууму, в условиях действия сил тяготения и Кориолиса. Труды института
математики и механики УрО РАН, Екатеринбург, УрО РАН, 2010.
[5] S. L. Deryabin, A. V. Mezentsev. Numerical-analytical modeling of gas flows adjacent to vacuum under
conditions of gravity and Coriolis forces. Computational Technologies, 15(5):51-71, 2010. (in Russian)
138
Рис. 5: интегральная поверхность для функции c1 (ϕ, z)
Рис. 6: интегральная поверхность для функции u1 (ϕ, z)
= С. Л. Дерябин, А. В. Мезенцев. Численно-аналитическое моделирование газовых течений,
примыкающих к вакууму в условиях действия сил тяготения и Кориолиса. Вычислительные
технологии, 15(5):51-71, 2010.
[6] I. Y. Krutova. The problem of the motion of a gas under the action of gravity and Coriolis in the
vicinity of an impenetrable horizontal plane. Herald of the Ural State University of Railway Transport
Scientific-technical journal, 10(1):14–21, 2012. (in Russian) = И. Ю. Крутова Задача о движении
газа в условиях действия сил тяжести и Кориолиса в окрестности непроницаемой горизонтальной
плоскости. Вестник УрГУПС, 10(1):14–21, 2012.
[7] I. Y. Krutova. A three-dimensional stationary gas flow, under the action of gravitational forces and
Coriolis in the vicinity of an impenetrable horizontal plane. Herald of the Ural State University of
Railway Transport Scientific-technical journal, 15(3):16–24, 2012. (in Russian) = И. Ю. Крутова. Трех-
мерный стационарный поток газа в условиях действия сил тяжести и Кориолиса в окрестности
непроницаемой горизонтальной плоскости. Вестник УрГУПС, 15(3):16–24, 2012.
[8] N. E. Kochin, I. A. Kibel, N. V. Rose. Theoretical hydromechanics. P. 2. Мoscow, Fizmatgiz, 1963.
(in Russian) = Н. Е. Кочин, И. А. Кибель, Н .В. Розе. Теоретическая гидромеханика. Ч. 2. М.:
Физматгиз, 1963.
139
[9] S. P. Bautin. The Cauchy characteristic problem and its applications in gas dynamics. Novosibirsk,
Nauka, 2009. (in Russian) = С. П. Баутин. Характеристическая задача Коши и ее приложения в
газовой динамике. Новосибирск, Наука, 2009.
[10] R. Courant. Partial differential equations. New York. London. 1962.
140
Construction of stationary rising swirling flows in the neighborhood
of the conical contact discontinuity
Sergey P. Bautin
Ural State University of Railway Transport (Yekaterinburg, Russia)
Sergey L. Deryabin
Ural State University of Railway Transport (Yekaterinburg, Russia)
Aleksey V. Mezentsev
Ural State University of Railway Transport (Yekaterinburg, Russia)
Abstract. Stationary three-dimensional flows of an ideal polytropic gas adjacent through the conical contact
surface to rest area under the action of gravity and coriolis forces are under consideration. It is shown that
such flows are described by solutions of the corresponding initial boundary value problem for the system of
equations gas dynamics, which are constructed in the form of convergent series. The coefficients of these series
are determined in parametric form by the solution of systems of ordinary differential equations. Gas parameters
on the contact surface and in its neighborhood restored numerically.
Keywords: mathematical modeling; rising swirling flows; tornado; stationary three-dimensional flow; ideal
polytropic gas; conical contact surface; the force of gravity and Coriolis; the equations of gas dynamics; convergent
series.
141