Уральский государственный университет путей сообщения (Екатеринбург) В работе рассматриваются двумерные цилиндрическисимметричные изэнтропические течения политропного газа в условиях действия силы тяжести. В качестве математической модели используется система уравнений газовой динамики. Для постановки задачи о распаде специального разрыва в системе делается вырожденная замена переменных, а именно: зависимые и независимые переменные меняются ролями. В новых переменных для системы ставится начально-краевая задача с данными на звуковой характеристике и дополнительным условием. Это условие описывает мгновенное разрушение непроницаемой стенки, отделяющей в начальный момент времени газ от вакуума. Доказывается теорема существования и единственности поставленной начально-краевой задачи в окрестности звуковой характеристики. Далее решение строится в виде степенных рядов. Для определения коэффициентов рядов выписываются и интегрируются системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Анализ структуры коэффициентов рядов позволил доказать существование построенного решения в области от звуковой характеристики до границы газ-вакуум включительно. Для определения закона движения границы газ-вакуум выписывается квазилинейная система уравнений с частными производными, которая с помощью характеристического параметра сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. После интегрирования последней системы в параметрическом виде получен закон движения границы газ-вакуум и значения параметров газа на ней. Ключевые слова: политропный газ; вакуум; сила тяжести; система уравнений газовой динамики; граница газ-вакуум; задача о распаде специального разрыва; начально-краевая задача; звуковая характеристика.
Постановка задачи Будут рассматриваться двумерные цилиндрически-симметричные изэнтропические течения политропного газа со следующими искомыми газодинамическими параметрами: c = ½ °¡21 - скорость звука газа; u; w цилиндрические координаты вектора скорости газа; t; r; z - независимые переменные. Здесь: ½ - плотность газа; °>1 - показатель политропы газа.
В момент t = 0 непроницаемая цилиндрическая стенка ¡ с уравнением r = R отделяет идеальный политропный покоящийся газ от вакуума. В задаче предполагается, что газ находится внутри цилиндра, а вакуум - снаружи и на газ действует сила тяжести (см. Рис. 1). Будет предполагаться, что в начальный моменты времени t = 0 на стенке ¡ функция cj¡ > 0, то есть имеет место разрыв плотности газа.
Рис. 1: Области покоя и вакуума В момент t = 0 непроницаемая стенка ¡ мгновенно разрушается и начинается вдоль стенки z = 0 истечение газа в вакуум (см. Рис. 2). В рассматриваемой задаче сохраняется область покоящегося газа. В результате распада разрыва возникает течение, граничащее с областью покоящегося газа и называемое далее волной разрежения. Волна разрежения отделена от области покоящегося газа линией ¡12, являющейся звуковой характеристикой этих течений, на ней имеет место слабый разрыв. С другой стороны волна разрежения примыкает к вакууму через свободную границу ¡02.
Рис. 2: Области покоя, вакуума и волны разрежения В данной работе будут строиться законы движения: свободной поверхности ¡02, звуковой характеристики ¡12 волна разрежения.
Система уравнений, описывающая изэнтропические течения идеального политропного газа для цилиндрическо-симметричной системы координат в условиях действием силы тяжести, имеет вид [3]: ct + cru + czw + ° ¡21 c(ur + wz + ur ) = 0; ut + uru + uzw + ° ¡21 ccr = 0; wt + wru + wzw + ° ¡21 ccz = ¡g: (1) где g – ускорение свободного падения. Если в системе (1) положить u = w = 0, то первые два уравнения выполнятся тождественно, а в третьем уравнении получим ° ¡21 ccz = ¡g. Интегрируя полученное уравнение, имеем c = c0(z) = pc200 ¡ (° ¡ 1)gz – распределение скорости звука покоящегося газа. Здесь c00 - скорость звука покоящегося газа при z = 0. Далее волна разрежения строится для значений z из интервала 2 0 · z · (° c¡001)g : 2 c00 Причем на верхней границе при z = (°¡1)g волна разрежения примыкает к вакууму. В данной работе волны разрежения будет построена для внутренних точек интервала (2). Конфигурация течения в окрестности непроницаемой стенки z = 0 и верхней границы газ-вакуум рассматриваться не будут.
Для построения волны, как и ранее [1] при построении решения задачи о распаде разрыва, в системе (1) делается следующая замена переменных: за независимые переменные берутся t; c; z, а за неизвестные функции r; u; w. В результате такой замены вместо системы (1) получается система:
1 f (t; c; z) = X fk(c; z) k=0 tk k!
; f = fr; u; wg; rcwt ¡ ° ¡21 c(uc + rcwz ¡ rzwc + rc ur )wc + rcwzw ¡ ° ¡21 crz = ¡grc: Закон движения характеристики ¡12 определяется из решения дифференциальной задачи [3] rt = c0(z)p1 + rz2;
r(0) = R: uj¡12 = 0; wj¡12 = 0; cj¡12 = c0(z): Задача по теореме Ковалевской имеет единственное аналитическое решение, что позволяет поставить начальные данные на характеристике ¡12:
Течение в области между ¡12 и ¡02 будем строить как решение системы (3) с данными на характеристике ¡12 (5). Поскольку ¡12 - характеристика кратности один, то для получения единственного локальноаналитического решения необходимо задать одно дополнительное условие [4]. Если бы поверхность ¡12 убиралась медленно, то таким условием было бы условие непротекания на стенке. Поскольку стенка r = R убирается мгновенно, этим условием в пространстве переменных t; c; z служит [1] соотношение r(0; c; z) = R 2
Потроение волны разрежения Теорема 1 Существует t0 такое, что при 0 · t · t0 в некоторой окрестности ¡12 существует единственное локально-аналитическое решение задачи (4)-(6) о распаде специального разрыва.
Доказательство теоремы состоит, как и в [1] в сведении, к теореме о существовании единственного аналитического решения у характеристической задачи Коши стандартного вида [4].
Разложим решение задачи (4)-(6) в ряд по степеням t (2) (3) (4) (5) (6) (7) В системе (4) положим t=0 и с учетом (6), получим уравнения для определения нулевых коэффициентов ряда (7) Здесь 2® = °°¡+11 .
Систему (4) продифференцируем по t, положим t = 0 с учетом (6) и найденных коэффициентов ряда, получим Выпишем решение системы в квадратурах Интегрируя систему с учетом (5), имеем При ® 6= 1; ® 6= 2 u1 = c®(u10(z) + R R(°°+¡11)2 (c ¡ c0(z))c¡®dc) w1 = c2®(w10(z) + R (2®g + 4(°c0¡z1()z2) c)c¡2®¡1dc):
°+1 u1 = R4 (°¡3)(3°¡5) c02¡®(z)c® + 4R® c( 3°1¡5 c ¡ ° ¡13 c0(z)) w1 = ³ 2c0((°z)¡c10z)(z) + g´ c0¡2®(z)c2® ¡ 2(c°0¡z(1z)) c ¡ g: При ® = 2 (° = 53 ) При ® = 1 (° = 3) u1 = ¡ 1R2 (c0(z) ln c0(z) + c0(z))c0¡2(z)c2 + 1R2 c(c ln c + c0(z)) w1 = (3c0(z)c0z(z) + g) c0¡4(z)c4 ¡ 3c0z(z)c ¡ g: u1 = ¡ R2 (c0(z) ln c0(z) ¡ 1)c + R2 (c ¡ c0(z)c ln c) w1 = (c0(z)c0z(z) + g) c0¡2(z)c2 ¡ c0z(z)c ¡ g: Систему (4) продифференцируем k раз по t, положим t = 0 с учетом (6) и найденных коэффициентов ряда, получим rk+1 = uk + ° ¡21 cukc + F1k(c; z); cukc ¡ ®ku2 = F2k(c; z); cwkc ¡ 2®kwk = F3k(c; z): Здесь F1k(c; z); F2k(c; z); F1k(c; z) - функции известным образом, зависящие от уже найденных коэффициентов ряда (7).
Интегрируя систему, имеем uk(c; z) = c®k(u0k(z) + R F2k(c; z)c¡®k¡1dc); wk(c; z) = c2®k(w0k(z) + R F3k(c; z)c¡2®k¡1dc):
dd¿t = 1; dd¿r = u; dd¿z = w; ddu¿ = 0; ddw¿ = ¡g: (11) Благодарности Список литературы В заключение автор благодарит С.Л. Дерябина, С.П. Баутина и С.С. Титова за полезное обсуждение данной работы. [1] S.P. Bautin, S.L. Derjabin. Matematicheskoe modelirovanie istechenija ideal’nogo gaza v vakuum [Mathematical Modelling of Ideal Gas Outflow into Vacuum]. Novosibirsk, Nauka, 2005. (in Russian) = С. П. Баутин, С. Л. Дерябин. Математическое моделирование истечения идеального газа в вакуум. Новосибирск, Наука, 2005. [2] S.P. Bautin, S.L. Derjabin, A.V. Mezencev , N.P. Chuev. Nachal’no-kraevye zadachi dlja modelirovanija dvizhenija sploshnoj sredy s osobennostjami na svobodnoj granice [Initial boundary-value problems for modeling the motion of a continuous medium with singularities on a free boundary]. Novosibirsk, Nauka, 2015. (in Russian) = С. П. Баутин, С. Л. Дерябин, А. В.Мезенцев, Н. П. Чуев. Начально-краевые задачи для моделирования движения сплошной среды с особенностями на свободной границе. Новосибирск, Наука, 2015. [3] L.V. Ovsyannikov. Lekcii po osnovam gazovoj dinamiki. [Lectures on the fundamentals of gas dynamics].
Izhevsk, Institut kompyuternykh issledovaniy, 2003. (in Russian) = Л. В. Овсянников. Лекции по основам газовой динамики. Ижевск, Ин-т компьютерных исследований, 2003. [4] S.P. Bautin. Harakteristicheskaja zadacha Koshi i ee prilozhenija v gazovoj dinamike [Characteristic Cauchy Problem and its Applications in Gas Dynamics]. Novosibirsk, Nauka, 2009. (in Russian) = С. П. Баутин Характеристическая задача Коши и ее приложения в газовой динамике. Новосибирск, Наука, 2009. [5] R. Kurant. Partial differential equations. N.Y.
London, 1962.
Cylindrically symmetric problem discontinuity with the force of gravity Anna S. Kiryanova Ural State University of Railway Transport (Yekaterinburg, Russia) the decay special
Abstract. The paper examines two-dimensional cylindrically symmetric isentropic flow of a polytropic gas under the action of gravity. As a mathematical model uses a system of equations of gas dynamics. To put the problem of decay of a special break in the system becomes degenerate change of variables, namely: dependent and independent variables change roles. In the new variables for the system is put initial-boundary value problem with data on the characteristics of the sound and the additional condition. This condition describes the instantaneous destruction of the impermeable wall separating the initial time the gas from the vacuum. We prove the existence and uniqueness of the initial-boundary value problem in the vicinity of the sound characteristics. Next, the solution is constructed in the form of a power series. To determine the coefficients of the series are written and integrated system of ordinary differential equations. Coefficients of the series structure analysis has proved the existence of solutions built on the sound characteristics to the boundary of the gas-vacuum inclusive. To determine the law of motion of gas-vacuum boundary issued quasi-linear system of partial differential equations, which by means of a characteristic parameter is reduced to a system of ordinary differential equations. After integration of the latter system in parametric form obtained law of motion of gas-vacuum boundary values and parameters of the gas on it.
Keywords: polytropic gas, vacuum, force of gravity, the gas dynamics equations, gas-vacuum boundary,initialboundary value problem, Riemann problem.