В работе рассмотрена проблема изучения явления гистерезиса в различных моделях аэродинамики. Дан обзор публикаций, на основе которого сформулирована задача поиска гистерезиса в модели нестационарных трансзвуковых течений газа, описываемых уравнением Линя-Рейсснера-Тзяня. Предложено аналитическое решение этого уравнения, гистерезис в котором проявляется в том, что линия перехода через скорость звука не возвращается в исходное положение при возвращении условий обтекания к исходным. Ключевые слова: гистерезис; газовая динамика; звуковая линия; ряды.
экспериментальных исследований множественного гистерезиса продольных аэродинамических характеристик модели самолет с прямым крылом большого удлинения при числе Рейнольдса Re = 0:33¢106, выяснено, при каких начальных значениях угла атаки и дальнейшем его увеличении или уменьшении наблюдается устойчивость внутренних ветвей гистерезиса. Использование математической модели, разработанной для описания гистерезисных функций [7] аэродинамических сил и моментов, зависящих как от угла атаки, так и от скорости его изменения, установлено, что появление гистерезиса при летных испытаниях спускаемого аппарата "Союз" на гиперзвуковом участке спуска обусловлено демпфированием. Наличию гистерезиса в плоском сопле посвящена работа Е.В. Мышенкова, Е.В. Мышенковой [8]. Здесь на режиме перерасширения обнаружено существование гистерезисных явлений течения в плоском симметричном и повернутом соплах, вызванные эффектом Коанда, а также взаимодействия пограничного слоя с внутрисопловым скачком на сверхзвуковых створках сопла. Обнаруженные гистерезисные явления дают при одних и тех же параметрах задачи расхождение до 4 процентов в коэффициенте тяги. Результаты численного моделирования сопоставляются с экспериментальными данными и результатами расчетов по модели Секундова.
Эти результаты приводят к постановке задачи исследования газодинамичесих моделей нестационарных течений, достаточно простых, но допускающих явление гистерезиса. В настоящей статье гистерезис будем рассматривать в контексте перевода внешних условий в начальное положение, при котором система в начальное состояние возвращается не полностью. В чём смысл проблемы для трансзвуковых течений газа? Может ли такое быть, что если самолёт летит с околозвуковой скоростью, потом ускоряется, а потом замедляется (или, наоборот - замедляется, а потом ускоряется) и снова летит с прежней скоростью, то режим обтекания его воздухом может не вернуться к исходному. В частности, это может быть заметно по тому, что положение линии (поверхности) перехода через скорость звука может измениться. Это важный момент в области управляемости и предсказуемости режима обтекания.
Возникает вопрос - можно ли обнаружить аналитически этот феномен? Для ответа на сформулированный вопрос рассмотрим упрощенную модель Линя-Рейсснера-Тзяня для потенциала u(x; y; t) в плоском случае (не сопло и не фюзеляж, а крыло или просто канал, плоскопараллельное сопло), описывающую нестационарное течение газа [9] – уравнение является нелинейным дифференциальным уравнением в частных производных второго порядка относительно малой добавки потенциала u скорости к потенциалу однородного плоского околозвукового потока. Это означает, что если скорость набегающего однородного потока имеет вид uyy = uxuxx + 2uxt
U = 1 + v(t);
v(t) = ux(x; y; t):
(
C помощью логарифмических рядов построено решение (
Построим формальное аналитическое решение уравнения (
Проверим выполнение условия (
2b(x; t) = ax(x; t)axx(x; t) + 2axt(x; t): При y2 имеем При y4 имеем
12c(x; t) = bx(x; t)axx(x; t) + bxx(x; t)ax(x; t) + 2bxt(x; t):
30d(x; t) = bx(x; t)bxx(x; t) + axx(x; t)cx(x; t) + ax(x; t)cxx(x; t) + 2cxt(x; t):
Выполнение условия (
uyy(x; y; t) = 2b(x; t) + 12c(x; t)y2 + 30d(x; t)y4 + :::
Учитывая (
bx(x; t) ! 0; cx(x; t) ! 0; ::: ax(x; t) = v(t) + A(t)ex;
1 v(t) = v0 + t2 + 1 ; A(t) = arctan t + ¼:
¼ lim A(t) = A1 = : t!¡1 2 3¼ 2 lim A(t) = A2 = t!+1
:
v(t) + A(t)ex0(t) = 0;
т.е. все слагаемые ряда (
Положим в качестве где
Замечаем, что при противоположных значениях временной координаты t значения функции A(t) различно, т.е. т.е. уравнение звуковой линии имеет разные решения на противоположных концах интервала изменения временной координаты t ! §1.
Кроме этого, задание функции ax(x; t) в виде (17) обеспечивает выполнение условия (14). Проверим выполнение ограничений (15), (16). Для этого продифференцируем по x функцию b(x; t) (11) 2bx(x; t) = axx(x; t)axx(x; t) + ax(x; t)axxx(x; t) + 2axtx(x; t) =
= a2xx(x; t) + ax(x; t)axxx(x; t) + 2axtx(x; t): В (24) подставим соответствующие производные функции ax(x; t) и получим, что при x ! ¡1 условие (15) выполнено.
В правой части уравнения (
Задав первый коэффицент ряда (
lim ex0(t) = lim f (t) = ¡ Av02 ; t!+1 t!+1 axx(x; t) = A(t)ex; axxx(x; t) = A(t)ex; axtx(x; t) = At(t)ex; axx(x; t) = A(t)ex: axt(x; t) = vt(t) + At(t)ex: (22) (23) (24) (25) (26) (27) где x0(t) – абсцисса звуковой линии.
Из последнего равенства имеем
Далее, можно определить второй коэффициент ряда (
2b(x; t) = [v(t) + A(t)ex] A(t)ex + 2 [vt(t) + At(t)ex] ; где функции v(t) и A(t) определяются выражениями (18) и (19).
Таким образом, в модели Линя-Рейсснера-Тзяня (
Analytical solution with hysteresis of the position of the sound lines in the model of the Lin-Reissner-Tsein Kristina V. Kurmaeva Branch of Ural State University of Railway Transport in Nizhny Tagil (Nizhny Tagil)
Abstract. The paper considers the problem of studying the phenomenon of hysteresis in various models of aerodynamics. An overview of publications, which formulated the task of finding the hysteresis in the model of nonstationary transonic gas flows described by the equation of the Lin-Reissner-Tsana. The analytical solution of this equation, hysteresis which manifests itself in the fact that the line of transition through the velocity of sound is not returned to its original position when returning flow conditions to the original.