Уральский государственный университет путей сообщения (Екатеринбург) Институт машиноведения УрО РАН (Екатеринбург) Найдено точное решение, описывающее стационарное течение завихренной вязкой несжимаемой жидкости. Приведенное решение системы Навье-Стокса имеет характерную особенность при описании движущейся жидкости справедливо при учете не только вязких сил, но и сил инерции. Учет сил инерции приводит к появлению застойных точек в слое жидкости, противотечений и существованию толщин слоя, при которых касательные напряжения на нижней границе обращаются в нуль. Показана роль давления в формировании числа застойных точек в слое жидкости. Ключевые слова: точное решение; противотечение; течение Пуазёйля; слоистое течение; застойная точка.
сти при отсутствии вращения и постоянном давлении. В то время, как решение Экмана [
В статьях [
Постановка задачи Уравнения Навье-Стокса, описывающие слоистые течения вязкой несжимаемой жидкости, в прямоугольной декартовой системе координат Oxyz записываются следующим образом [2]:
= 0; p Здесь (Vx; Vy; 0) вектор скорости слоистого течения жидкости, P = ½ давление p; деленное на постоянную плотность жидкости ½; º коэффициент кинематической (молекулярной) вязкости.
Система нелинейных уравнений в частных производных (1) является переопределенной, поскольку для определения трех неизвестных функций Vx; Vy; P в ней содержится четыре уравнения. Первые три уравнения в (1) определяют баланс сил инерции, градиента приведенного давления P; имеющего размерность энергии, и внутреннего трения в жидкости. Отметим, что для уравнения импульсов, спроецированного на ось Oz; выполняется условие гидростатического равновесия.
Для системы (1) при постоянном давлении (P = const) в статье [
Vx = U (z; t) + u1 (z; t) x + u2 (z; t) y; Vy = V (z; t) + v1 (z; t) x + v2 (z; t) y: (1) (2) Поле скоростей (2) линейно по координатам x и y; которые далее будем называть горизонтальными (продольными). Соответственно координату z будем называть вертикальной (поперечной).
Ограничимся далее исследованием стационарного точного решения специального вида (2) системы (1). Рассмотрим следующую структуру поля скоростей:
Vx = U (z) + u2 (z) y; Очевидно, что при описании стационарных движений вязкой несжимаемой жидкости неизвестные функции U; V; u2 определяются только вертикальной координатой. В дальнейшем аргумент z; от которого зависят скорости U; V и градиент u2 скорости Vx указываться не будет.
Решение (3) будем использовать при описании движения вязкой несжимаемой в бесконечно протяженном слое в горизонтальном направлении, определяемом декартовым произведением множеств (x; y; z) = (¡1; +1) £ (¡1; +1) £ [0; h] : Уравнения z = 0 и z = h определяют границы слоя в поперечном направлении, следовательно, h толщина слоя жидкости.
Подставим выражения (3) в уравнения (1), получим систему уравнений вида = º В выражении (5) S; P1 и P2 постоянные величины; g ускорение свободного падения; h толщина слоя.
Подставляя в систему (4) выражение, описывающее давление (5), получим, приравненивая коэффициенты при одинаковой степени координаты y; уравнения для определения гидродинамических полей:
Vx = Vy = 0;
U = V = 0; u = 0: Vx = W cos ' + y; Vy = W sin '; (3) (5) (6) (7) (8) dd2zu22 = 0; º dz2 = P2;
d2V d2U º dz2 = V u2 + P1: 3
Вычисление точного решения Последовательное интегрирование уравнений (6) позволяет получить общее решение этой системы z2 u2 = c1z + c2; V = P2 2º + c3z + c4; U = Для вычисления постоянных интегрирования ci; где i = 1; 6; определяющих структуру решений (7), сформулируем граничные условия. На нижней границе, описываемой уравнением плоскости z = 0, выполняются условия прилипания: которые из-за структуры класса (3) записываются следующим образом:
На верхней границе z = h заданы скорости
U = W cos '; V = W sin '; u = : (9) Z2: Иными словами, поскольку решения являются непрерывно дифференцируемыми функциями, в жидкости не существуют застойные (критические) точки, которые характеризуют наличие противотечений, а усиление скоростей может иметь место.
Аналогично можно получить комбинацию классических течений Куэтта, полагая P1 = P2 = 0; = 0 в
формулах (10). Если в (11) потребовать равенства нулю Ga; a; или в решениях (10) положить P1 = P2 = 0;
то имеем неоднородное течение Куэтта, изученное подробно в статьях [
Исследуем далее количество нулей скоростей VX и VY : Скорость VY может быть записана в виде: VY = Z · ±2Ga
µ ±2Ga ¶¸ 2Re Z + sin ' ¡ 2Re : В данных ситуациях уравнение f = 0 имеет только единственное решение, поскольку f1 и f2 являются монотонными функциями, которые могут пересекаться только в одной точке или не пересекаться вовсе (прямые 1; 2; 5; 6; 7 на рис. 1). Отметим, что при C = 0; уравнение f = 0 может иметь решения внутри отрезка [0; 1] (прямая 3 на рис. 1). Прямые 3 и 6 (рис. 1) при фиксированном значении углового коэффициента C являются предельными прямыми. Если при параллельном переносе прямая принадлежит полосе, ограниченной прямыми 3 и 6 на рис. 1, то многочлен f имеет ровно один корень на отрезке [0; 1] : Отметим, что прямая 6 (рис. 1) характеризует существование кратных корней Z = 0 и Z = 1: Установим далее ограничения на коэффициенты A; B; C и D; при которых возможно два нуля у функции B B f (рис 2). Функция f1 имеет единственный корень Z = при A 2 (0; 1) ; что эквивалентно разбиению A функции на два участка монотонности (кривая 4 на рис. 2). На одном участке функция f1 монотонно убывает, а на другом B возрастает. Это означает, что для любой комбинации A 2 (0; 1) существуют такие числа C и D; что уравнение f = 0 имеет 2 корня (прямые 3 и 5 на рис. 2). При A > 0 параметр C должен быть положительным, а при A < 0 отрицательным. Следовательно, если числа A и C имеют разные знаки, то уравнение f = 0 имеет не более одного корня (прямая 1 на рис. 2). При C = 0 в этом случае у уравнения f = 0 всегда будет не больше одного корня (кривая 4 на рис. 2). Единственный корень будет существовать при касании прямой 6 кривой 4 (рис. 2).
Таким образом, многочлен f не может иметь на отрезке [0; 1] три корня. Иными словами, задание неоднородного распределения скоростей и постоянных градиентов давления по толщине слоя жидкости, образует трехслойную структуру течения (рис. 3). В средней области II на рис. 3 скорость будет направлена в противоположную сторону относительно скоростей в областях I и III, примыкающих к границам слоя (рис. 3). Следовательно, учет градиентного течения позволяет использовать трехслойные модели океана (кусочно-непрерывно стратифицированы) при проведении теоретических исследований.
Исследование числа нулей у полиномиального поля скоростей можно проводить другими методами. Можно использовать теоремы о локализации нулей многочленов. Например, теорему Рауса-Гурвица и их аналоги, в том числе и частотные критерии. Для многочленов невысокой степени исследование проблемы Рауса-Гурвица можно заменить изучением спектральных свойств. Для существования одного корня функция должна принимать экстремальное значение хотя бы в одной точке, но это значение должно быть противоположного знака с граничной скоростью. Аналогичные рассуждения справедливы при существовании двух застойных точек. Для этого функция должна иметь хотя бы два экстремума со значениями противоположного знака.
Решения (11) определяют касательные напряжения: ¿Y Z = ¿ZY = ±2Ga
µ ±2Ga ¶
Re Z + sin ' ¡ 2Re ; ¿XZ = ¿ZX = ±4GaRo Z4 + µ Ta±2 sin ' 16 6 ¡ ±4GaRo ¶ 12 показать, используя алгоритм приведенный выше. Отсюда вытекает очень важное свойство обобщенного неоднородного течения Пуазёйля, заключающееся в том, что существует такое значение Z 2 [0; 1] ; при котором обе компоненты тензора касательных напряжений равны нулю: ¿Y Z = ¿XZ = 0: Иными словами, в жидкости существует такой слой, в котором сила трения тождественно равна нулю. В частности, трение может отсутствовать при Z = 0:
При исследовании структуры течения вязкой несжимаемой жидкости (11), получим, что движение во всем пространстве является вихревых. Вычисляя компоненты завихренности, получим Ранее было показано, что z = ¡ 2RZo : Следовательно, завихренность не может принять нулевое значение. Таким образом, рассматриваемое движение жидкости не может локально и глобально вырождаться в потенциальное. Кроме того, решения (11) формируют спиральную структуру течения, для количественного описания которой используется спиральность поля скорости. Вклад в генерацию спиральности осуществляется вертикальной и горизонтальной компонентами движения. Ввиду этого, полученные решения будут полезны в качестве тестовых при исследовании свойств спиральной турбулентности и проведении численного моделирования течений диссипативной жидкости.
Метки ссылок должны начинаться с фамилии первого автора [?]. Список литературы [1] S. N. Aristov , A. D. Polyanin. New classes of exact solutions of Euler equations. Doklady Physics, 53(3): 166-171, 2008. [2] S. N. Aristov , E. Y. Prosviryakov. A New Class of Exact Solutions for Three-Dimensional Thermal Diffusion Equations. Theoretical Foundations of Chemical Engineering, 50(3): 286-293, 2016. Рис. 3: Профиль скорости Vx при наличии двух застойных точек при фиксированном значении y [3] P. G. Drazin and N. Riley. The Navier–Stokes Equations: A Classification of Flows and Exact Solutions.
Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2006. [4] V. V. Kuznetsov, V. V. Pukhnachev A New Family of Exact Solutions of Navier-Stokes Equations.
Doklady Physics, 54(3): 126-130, 2009. [5] C. C. Lin. Note on a class of exact solutions in magneto-hydrodynamics. Arch. Rational Mech. Anal., 1: 391-395, 1958. [6] S. V. Meleshko. A particular class of partially invariant solutions of the Navier–Stokes equations.
Nonlinear Dynamic, 36(1): 47-68, 2004.
Layered gradient incompressible fluid stationary vertically swirling viscous Eugenii Yu. Prosviryakov Institute of Engineering Science, The Ural Branch of Russian Academy of Sciences (Yekaterinburg, Russia) Ural State University of Railway Transport (Yekaterinburg, Russia)
Abstract. An exact solution describing the flow of a vortical viscous incompressible fluid is derived. The solution of the Navier-Stokes equation possesses a characteristic feature in describing a fluid in motion, namely, it holds true when not only viscous but also inertia forces are taken into account. Taking the inertia forces into account leads to the appearance of stagnation points in a fluid layer and counterflows, as well as the existence of layer thicknesses at which the tangent stresses vanish on the lower boundary. Pressure role in the formation of stagnant fluid layer at the points is discussed.
Keywords: exact solution, countercurrent, Hagen-Poiseuille flow, laminar flow, stagnation point.