=Paper=
{{Paper
|id=Vol-1825/p22
|storemode=property
|title= Напряжения в образцах-свидетелях после поверхностного наклепа (The stresses in the reference specimen after the surface hardening)
|pdfUrl=https://ceur-ws.org/Vol-1825/p22.pdf
|volume=Vol-1825
|authors=Valerii V. Struzhanov
}}
== Напряжения в образцах-свидетелях после поверхностного наклепа (The stresses in the reference specimen after the surface hardening)==
https://ceur-ws.org/Vol-1825/p22.pdf
Напряжения в образцах-свидетелях после
поверхностного наклепа
В.В. Стружанов
stru@imaсh.uran.ru
Институт машиностроения УрО РАН (Екатеринбург)
Аннотация
Приводится методика, позволяющая по остаточному прогибу плос-
кого образца свидетеля после дробеструйной обработки одной из
его поверхностей определить распределение остаточных напряже-
ний и тем самым оценить качество обработки плоскостей элементов
конструкций, к которым был прикреплен образец-свидетель.
Ключевые слова: образец-свидетель, остаточный прогиб, оста-
точные напряжения, наклеп.
1 Введение
Основная проблема при диагностике и контроле качества изделий машиностроения заключается в том, что
непосредственному измерению поддается только ограниченный набор физических величин. Неизмеряемые
параметры оказывают лишь опосредованное влияние на измеряемые величины. Таким образом, возникают
задачи определения неизмеряемых величин по результатам их проявлений, которые можно зафиксировать
в эксперименте [1]. Задачи нахождения качественных характеристик явления по результатам их косвен-
ных проявлений представляют, так называемые, обратные задачи, которые часто возникают в технике.
Например, в механике деформируемого твердого тела это задачи идентификации свойств материалов,
решение обратных коэффициентных задач, идентификация предварительного напряженного состояния
[2, 3, 4, 5, 6, 7]. Отметим, что разработаны многие методы общей теории обратных некорректных задач
[8, 9, 10].
Особым классом обратных задач является определение или оценка остаточных напряжений, которые
возникают при различных технологических операциях изготовления изделия машиностроения и суще-
ственно влияют на их эксплуатационные характеристики такие, как прочность и долговечность. Причина
возникновения остаточных напряжений заключается в том, что после технологической обработки в изде-
лии остаются, так называемые, первоначальные деформации. Если мысленно разбить тело на свободные
от связей элементарные кубические объемы, то каждый из них будет некоторым образом деформирован.
Когда эти деформации несовместны, то элементарные объемы при наложении связей не смогут соста-
вить сплошное тело. Чтобы сохранить сплошность, к ним необходимо приложить соответствующие усилия
(остаточные напряжения) [11, 12, 13]. Остаточные напряжения преобразуют несовместные деформации в
совместные и сплошность сохраняется. Поэтому совместные деформации только и доступны для сторонне-
го наблюдения. Однако они являются лишь некоторым отображением действия остаточных напряжений.
Деформации, связанные с остаточными напряжениями законом Гука, не могут быть измерены непосред-
ственно. Таким образом, возникает обратная задача заключающаяся в том, что по измерению геометрии
c by the paper’s authors. Copying permitted for private and academic purposes.
Copyright °
In: G.A. Timofeeva, A.V. Martynenko (eds.): Proceedings of 3rd Russian Conference "Mathematical Modeling and Information
Technologies" (MMIT 2016), Yekaterinburg, Russia, 16-Nov-2016, published at http://ceur-ws.org
173
тела, связанным с совместными деформации, рассчитать остаточные напряжения. Эта задача актуальна
в том смысле, что остаточные напряжения существенно влияют на прочность и долговечность изделий
машиностроения.
Одним из способов наведения остаточных напряжений является дробеструйная обработка поверхностей.
Она заключается в обработке поверхности металла при помощи разгоняемой потоком газа дроби. Каждая
маленькая частица ударяется о металл, а это приводит к образованию на его поверхности отпечатков или
углублений. В результате получается слой холоднодеформированного материала под высоким сжимаю-
щим остаточным напряжением [14, 15, 16]. На многолетнем опыте доказано, что дробеструйная обработка
помогает предотвратить усталостное повреждение в поверхностных слоях, т.е. увеличивает прочность и
долговечность изделия.
В частности дробеструйная обработка широко используется при упрочнении различных изделий в авиа-
ционном машиностроении с целью создания в приповерхностных слоях полезных сжимающих остаточных
напряжений. Чтобы оценить эффективность технологического процесса упрочнения необходимо каким-
либо образом оценить значения величин и распределение остаточных напряжений, которые не поддаются
непосредственному измерению. Применение дробеструйной обработки в авиационной промышленности ба-
зируется, в основном, на экспериментальных исследованиях. Одним из распространенных методов является
использование образцов-свидетелей, скрепляемых с обрабатываемой поверхностью. После технологической
обработки изделия их снимают и замеряют геометрические параметры, изменения которых происходит под
воздействием остаточных напряжений. Затем на основании эмпирических данных судят об эффективности
процесса упрочнения. Однако уровень остаточных напряжений так и остается неизвестным. В данной ра-
боте излагается методика, которая позволяет по остаточному прогибу образца-свидетеля найти наведенные
поверхностным наклепом напряжения.
2 Постановка задачи
Возьмем достаточно тонкую пластину с прямоугольным поперечным сечением. Высота пластины 2h, ши-
рина b, длина l. После наклепа в слоях, прилегающих к обработанной поверхности, образуются остаточные
пластические деформации ep (y), распределение которых постоянно вдоль осей Ox и Oy и Oz. Оси коорди-
нат и предполагаемое распределение деформации ep (y) показаны на рис.1.
Рис. 1: Область остаточных пластических деформаций
1
После наклепа пластина приобретает прогиб f (рис.2). Радиус кривизны пластины равен ρ = 2α (2α –
1
центральный угол, измеряемый в радианах), а прогиб f = 2α (1 − cosα). Разлагая cosα в ряд Тейлора и
4f l2
беря первые два члена, находим, что f = lα
4 . Отсюда α = l и радиус кривизны ρ = 8f . Тогда остаточная
кривизна κ00 = ρ1 = 8f
l2 . Отметим, что в силу малой ширины пластины прогиб в поперечном направлении
незначителен и им пренебрегаем.
Итак задача формулируется следующим образом: необходимо по измеренной остаточной кривизне κ00
рассчитать распределение остаточных напряжений по толщине пластины (образца-свидетеля).
3 Образование остаточных напряжений
Мысленно разделим исходную пластину (образец-свидетель) на множество тончайших пластин, образован-
ных рассечением плоскостями, параллельными координатной плоскости zOx. Очевидно, что в свободном
от связей состоянии длины пластинок, прилегающих к наклепанной поверхности, будут больше, чем у
174
Рис. 2: Прогиб пластины
остальных, из-за наличия в них остаточных пластических деформаций ep (рис.3). Так как деформации
ep (y) не удовлетворяют условиям совместности, то элементы, на которые разделяется исходная пластина,
после объединения не смогут образовать непрерывную среду. Чтобы удовлетворить условиям совместно-
сти к ним необходимо приложить некоторые усилия, а именно, наклепанные слои поджать, а остальные
подрастянуть, т.е. реализовать некоторую деформацию ε00 (y) таким образом, чтобы деформация уже была
совместна. В результате возникают напряжения σ 00 = Eε00 = E(ε0 − ep ), удовлетворяющие уравнениям рав-
новесия при нулевых граничных условиях, т.е. возникают самоуравновешенные остаточные напряжения.
Здесь E – модуль Юнга. Очевидно, что в наклепанных слоях они будут сжимающими.
Рис. 3: Деформация свободных от связей тончайших пластин
4 Расчет остаточных напряжений
Прогиб κ00 и деформацию ε0 возможно получить, если приложить к образцу без наклепа фиктивный изги-
бающий момент M Φ и фиктивное растягивающее усилие RΦ [11], которые определяются псевдонапряже-
ниями σ Φ = Eep , а именно,
Zh Zh
M = bE e (y)y dy = bE ep (y)y dy
Φ p
−h h1
Zh Zh
Φ p
R = bE e (y) dy = bE ep (y) dy
−h h1
Отсюда [17]
MΦ MΦ RΦ
κ00 = , ε0 = y+ (1)
EI EI 2hbE
3
Здесь I = 2bh
3 – момент инерции поперечного сечения пластины относительно оси симметрии. Тогда
MΦ RΦ
σ 00 = E(ε0 − ep ) = y+ − Eep (y). (2)
I 2hb
175
Непосредственно проверяем, что
Zh Zh
00
σ dy = 0, σ 00 y dy = 0.
−h −h
Наконец, используя первое равенство в (1), получаем уравнение
Zh
3
ep (y)y dy = κ00 (3)
2h3
−h
с известной правой частью.
Величина h1 = h − c, где c – глубина наклепа, которая может быть экспериментально определена
различными методами физического контроля[18, 19]. Далее считаем, что распределение ep (y) близко к
линейному и аппроксимируем его функцией
½
p a(y − h1 ), h1 ≤ y ≤ h;
e (y) =
0, y < h1
Подставляя это выражение в уравнение (3), находим значение
4h3 κ00 8f
a= , κ00 = .
2h3 − 3h1 h2 + h31 e2
Теперь, по формуле (2) вычисляем остаточные напряжения
1 1
4h3 (2h3 − 3h1 h2 + h31 )y + 4h (h − h1 )2 − (y − h1 ), h1 ≤ y ≤ h;
00
σ = (4)
1 3 2 3 1 2
4h3 (2h − 3h1 h + h1 )y + 4h (h − h1 ) , y < h1
Рассмотрим модельный пример. Пусть l=100 мм, h=1 мм, h1 =0,8 мм, b=10 мм, f =0,5 мм, E =
2 · 105 МПа. Тогда κ00 = ρ1 = 4 · 10−4 мм−1 , a = 142, 9 · 10−4 мм−1 . Производя теперь расчеты по формулам
(4), получаем распределение остаточных напряжений, изображенное на рис. 4.
Рис. 4: Примерное распределение остаточных напряжений по толщине образца-свидетеля
Отсюда видно, что дробеструйное поверхностное упрочнение должно благоприятно сказываться на ра-
ботоспособность и надежность поверхностных слоев, подвергаемых данной обработке, т.к. в них возникают
сжимающие остаточные напряжения, достаточной величины.
Список литературы
[1] V. Y. Arsenin. Methods of mathematical physics and special functions Moscow, Nauka, 1974. (in
Russian) = В. Я. Арсенин. Методы математической физики и специальные функции. -М.:
Наука, 1974. -432с.
176
[2] A. O. Vatulian. Inverse problems in mechanics of deformable solids. Moscow, Fizmatlit, 2007.(in
Russian) = А. О. Ватульян. Обратные задачи в механике деформируемого твердого тела. -М.:
Физматлит, 2007. -222с.
[3] I. V. Bahacheve, A. O. Vatulyan, O. V. Yavruyan. Identification of the properties of inhomogeneous
elastic medium. J. Appl. Math. Mech., 76(5):860–866, 2012.(in Russian) = И. В. Багачев, А. О.
Ватульян, О. В. Явруян. Идентификация свойств неоднородной упругой среды. ПММ, 76(5):860–
866, 2012.
[4] A. O. Vatulyan. To the theory of inverse problems in linear mechanics of deformable solids. J. Appl.
Math. Mech., 74(6):911–918, 2010.(in Russian) = А. О. Ватульян. К теории обратных коэффици-
ентных задач в линейной механике деформируемого тела. ПММ, 74(6):911–918, 2010.
[5] A. O. Vatulyan, V. V. Dudarev, I. V. Bahachev. About defining pre-stress state in the pipe. Doklady
RAS, 456(3):299–301, 2014.(in Russian) = А. О. Ватульян, В. В. Дударев, И. В.Багачев. Об опре-
делении предварительного напряженного состояния в трубе. Доклады РАН, 456(3):299–301, 2014.
[6] V. V. Struzhanov. The determination of the deformation diagram of a material with a falling branch
on the diagram of torsion cylindrical specimen. Journal of Applied and Industrial Mathematics,
15(1//49):138–144, 2012.(in Russian) = В. В. Стружанов. Определение диаграммы деформирова-
ния материала с падающей ветвью по диаграмме кручения цилиндрического образца. Сибирский
журнал индустриальной математики, 2012. -Т.15 №1(49). -С.138–144.
[7] V. V. Struzhanov. Recovery of the deformation diagram of the material according to the diagram of
the pure bending. Vestnik of Samara State University. Natural Science Series, 6(65):322–329, 2008.(in
Russian) = В. В. Стружанов. Восстановление диаграммы деформирования материала по диа-
грамме чистого изгиба. Вестник СамГУ. Естественно научная серия, 6(65):322–329, 2008.
[8] M. M. Lavrent’ev, V. G. Romanov, S. P. Shishatskii. Ill-posed problems of mathematical physics and
analysis. Moscow, Nauka, 1980.(in Russian) = М. М. Лаврентьев, В. Г. Романов, С. П. Шишатский.
Некорректные задачи математической физики и анализа. -М.: Наука, 1980. -286с.
[9] A. N. Tikhonov, V. Y. Arsenin. Methods of solving ill-posed problems. Moscow, Nauka, 1986.(in Russian)
= А. Н. Тихонов, В. Я. Арсенин. Методы решения некорректных задач. -М.: Наука, 1986. -288с.
[10] V. K. Ivanov, V. Vasin, V. P. Tanana. The theory of linear incorrect problems and its applications.
Moscow, Nauka, 1978.(in Russian) = В. К. Иванов, В. В. Васин, В. П. Танана. Теория линейных
некорректных задач и ее приложения. -М.: Наука, 1978. -206с.
[11] S. P. Timoshenko, J. Goodier. Theory of elasticity. Moscow, Nauka, 1979.(in Russian) = С. П.
Тимошенко, Дж. Гудьер. Теория упругости. -М.: Наука, 1979. -560с.
[12] V. V. Struzhanov, V. I. Mironov. Deformation softening of the material in structural elements.
Ekaterinburg, Izdatel’stvo Ural Branch of RAS, 1995.(in Russian) = В. В. Стружанов, В. И. Ми-
ронов. Деформационное разупрочнение материала в элементах конструкций. -Екатеринбург:
Изд-во УрО РАН, 1995. -190с.
[13] I. A. Birger. Residual stress. Moscow, Mashgiz, 1963.(in Russian) = И. А. Биргер. Остаточные
напряжения. -М.: Машгиз, 1963. -232с.
[14] G. M. Rybakov. The algorithm managing the quality of blasting. Izvestija vysshih uchebnyh zavedenij.
Mashinostroenie, 6:35–40, 2006.(in Russian) = Г. М. Рыбаков. Алгоритм управляющий качеством
дробеструйной обработки. Известия высших учебных заведений. Сер. „Машиностроение“, 6:35–
40, 2006.
[15] I. N. Bojarshinova, V. Yu. Stolbov. Optimization of the process of formation of residual stresses in
surface. Izvestiya RAN, Mekhanika Tverdogo Tela, 3:74–81, 2004.(in Russian) = И. Н. Бояршинова,
В. Ю. Столбов. Оптимизация процесса формирования остаточных напряжений при поверхностной
обработке. Известия РАН. Механика твердого тела, 3:74–81, 2004.
177
[16] G. M. Rybakov. The formation of compressive residual stresses in shot peening. Tehnologija
mashinostroenija, 1:51–54, 2007.(in Russian) = Г. М. Рыбаков. Формирование сжимающих оста-
точных напряжений при дробеструйной обработке. Технология машиностроения, 1:51–54, 2007.
[17] S. V. Zhizherin, V. V. Struzhanov. Iterative methods of calculation of stresses in pure bending of beams
of sticky material. Vychislitel’nye tehnologii, 6(5):24–33, 2001.(in Russian) = С.В. Жижерин, В. В.
Стружанов. Итерационные методы расчета напряжений при чистом изгибе балок из повреждаю-
щегося материала. Вычислительные технологии, 6(5):24–33, 2001.
[18] I.-G. Shin, R. Kh.Maksudov. The method of calculating the depth of hardening fraction of the surface
layer. Vestnik mashinostroenija, 4:44–47, 2011.(in Russian) = И. Г. Шин, Р. Х. Максудов. Метод
расчета глубины упрочнения дробью поверхностного слоя деталей. Вестник машиностроения,
4:44–47, 2011.
[19] E. S. Gorkunov, S. Yu. A. Mitropolsky, A. L. Osintseva, D. I. Vichuzhanin. The study of deformation
and evaluation of stresses in materials with hardened surface layers by magnetic methods. Fizicheskaja
mezomehanika, 12(2):95–104, 2009.(in Russian) = Э. С. Горкунов, С. Ю. Митропольская, А. Л.
Осинцева, Д. И. Вычужанин. Исследование деформации и оценка напряжений в материалах с
упрочненным поверхностным слоем магнитными методами. Физическая мезомеханика, 12(2):95–
104, 2009.
178
MSC: 74C10
The stresses in the reference specimen after the surface hardening
Valerii V. Struzhanov
Institute of Engineering Science, The Ural Branch of Russian Academy of Sciences (Yekaterinburg, Russia)
Abstract. The technique , which allows for a flat reference specimen residual deflection after blasting one
of its surfaces to determine the distribution of residual stresses and to assess the quality of the working plane
structural elements, to which the reference specimen was attached.
Keywords: reference specimen,residual deflection, residual stresses, cold hardening.
179