1 - Институт машиностроения УрО РАН (Екатеринбург) 2 - Уральский федеральный университет (Екатеринбург) Исследована устойчивость процесса растяжения некоторых стержневых систем, представляющих собой элементы одной части фермы. Часть стержней выполнена из разупрочняющегося материала. Показана идеология применения методов математической теории катастроф к задачам устойчивости механических систем с разупрочняющимися элементами. Установлено, что начиная с некоторого момента у стержневой системы появляется несколько положений равновесия как устойчивых, так и неустойчивых. Определен момент потери устойчивости (катастрофы), когда система скачком переходит в новое устойчивое состояние. Ключевые слова: стержневая система; устойчивость; равновесие; катастрофа сборки; лагранжиан; матрица Гессе.
Осуществимость реологически неустойчивых состояний существенно связана с неоднородностью тел и не имеет одномерных аналогов. Возражения, которые возникают в связи с отказом от требований реологической устойчивости, являются результатом перенесения на неодномерные тела выводов, полученных для одномерных моделей сплошных сред.
Из приведенных рассуждений следует, что при определенных условиях запредельные деформации могут сохранять устойчивость и подрастать равновесно. Поэтому учет в расчетах на прочность и живучесть возможности работы материала на заключительной стадии деформации (стадии разупрочнения) должен обеспечивать более тонкое определение несущей способности, позволить оценить кинетику повреждения и разрушения конструктивных элементов. Внедрение методик расчетов, учитывающих стадию разупрочнения материала, в практику проектирования приведет к более полному использованию ресурса материала, повышению надежности, к снижению материалоемкости изделий, что позволит выйти на новый уровень нормирования прочности и ресурса.
Закритическое состояние (разупрочнения) неоднократно фиксировалось как в экспериментах [1–5] так и при исследовании различных моделей [6–9]. Классические методы расчета на прочность не учитывают возможность работы элементов конструкций на закритической стадии. Поэтому не возникает проблем, связанных с устойчивостью системы (за исключением случаев потери устойчивости при сжатии). Но при введении в рассмотрение разупрочняющихся элементов, входящих в механическую систему, устойчивость процесса деформирования приобретает особое значение, т.к. разрушение конструкций различных сооружений в общем случае представляет собой глобальное явление того же характера, как явление невозможности равновесия [10].
Исследование влияния разупрочнения на устойчивость процесса деформирования механических систем естественно начать с изучения простейших случаев. Тем самым простые механические системы становятся модельными примерами для общей теории, которые помогают установить связь между теорией и практикой и отточить физическую интуицию.
В данной работе проведено исследование устойчивости процесса растяжения некоторых фермерных элементов конструкций, отдельные части которых представляют стержни из разупрочняющегося материала. Показано влияние учета падающих ветвей диаграмм деформирования стержней, которые характеризуют их разупрочнение, на устойчивость процесса. Установлено, что начиная с некоторого момента, система имеет несколько возможных положений равновесия. Определен момент потери устойчивости, когда система скачком переходит из одного положения равновесия в другое. Изучение устойчивости основано на существенном использовании аппарата теории катастроф (или теории особенностей дифференцируемых отображений) – области математики на стыке классического анализа и дифференциальной геометрии [11–17]. 1
Элемент статически неопределимой плоской фермы Рассмотрим элемент ферменной конструкции в виде стержневой системы, изображенной на рис.1. Сначала полагаем, что стержни AB, AD, AK сохраняют упругие свойства во все время нагружения и изготовлены из одного материала. Не нарушая общности рассуждений считаем их длины равными l, а площадь поперечного сечения единичной. Тогда податливость стержней равна l/E [18], где E – модуль Юнга материала.
Свойства же стержня AC при растяжении определяет полная диаграмма q ∼ v (рис.2). Здесь q – растягивающее усилие, v – удлинение стержня, равная перемещению узла A. Таким образом, стержень AK при растяжении проходит все стадии деформирования, включаю и разупрочнение.
Будем различать два типа нагружения, а именно, жесткое, когда узлу K задается перемещение U, и мягкое, когда к узлу K приложена растягивающая сила p (рис.1). В первом случае U – параметр управления, а v – параметр состояния (обобщенная координата системы). Во втором случае p – параметр управления, а величины U и v – параметры состояния (обобщенные координаты).
Исследуем устойчивость системы при жестком нагружении. В этом случае лагранжиан (функция Лагранжа), описывающий поведение данной консервативной системы при квазистатическом нагружении и постоянной температуре, есть потенциальная энергия системы Здесь первое слагаемое – энергия деформаций стержня AC, второе слагаемое – энергия стержней AB и W U =
v Z 0 q(v) dv + (v cos α)2 +
E 2l Рис. 2: Полная диаграмма растяжения стержня AC AD (v cos α – их удлинение), третье слагаемое – энергия деформаций стержня AK. Из уравнения Лагранжа второго рода [19] уравнение равновесия системы имеет вид
W,vU = q(v) + 2E E l v cos2 α − l (U − v) = 0. Здесь запятой обозначена частная производная функции по соответствующему аргументу. Решения уравнения (1) – это критические точки (точки экстремума) функции W U .
Для определения типа равновесия в критических точках необходимо найти W,vUv. Если в критической точке W,vUv 6= 0, то из теоремы о неявной функции [15, 20] следует, что данная точка является изолированной (невырожденной) и в любой ее окрестности уравнение (1) определяет параметр состояния v как однозначную функцию параметра U. При W,vUv > 0 функция W U выпукла вниз и положение равновесия устойчиво. Когда W,vUv < 0 - равновесие неустойчиво (функция W U выпукла вверх).
Пусть в какой-нибудь критической точке (1) (2) W,vUv = q,v +
cos2 α + 2E l
W,vp = q(v) + 2lE v cos2 α − El (U − v) = 0,
W,pU = El (U − v) − p = 0.
Точки перехода в неустойчивое состояние (вырожденные критические точки) сейчас определяются
совместными решениями уравнений (
W,vpv W,pUv
W,vpU W,pUU = q,v + 2lE cos2 α + El q,v + 2lE cEos2 α − l
E
E
− l l
= 0.
Отметим, что когда матрица H(W p) положительно определена, то функция W p в данной критической
точке имеет локальный минимум (функция выпукла вниз) и система устойчива. Если матрица H(W p)
отрицательно определена, функция W p выпукла вверх [21] – система абсолютно неустойчива. Когда матрица
H(W p) знаконеопределена, то критическая точка является седловой точкой функции W p. Исключительно
в первом случае положение равновесия устойчиво. Критические точки функции W p (решения уравнений
(
2E E q,v > − l cos2 α − l .
W p = W U −
p dU
U
Z
0
q,v > − 2lE cos2 α.
Отметим, что на падающей ветви диаграммы q(v) производная q,v < 0 и конечна. Поэтому условиям (
Плоская ферма с тремя разупрочняющимися стержнями Пусть наряду со стержнем AC и стержни AB, AD выполнены из одного и того же разупрочняющегося материала. Их диаграммы растяжения t(e) одинаковы и обладают падающей ветвью, аналогичной изображенной на рис.2. Здесь e = v cos α – удлинение стержней. Тогда уравнение равновесия есть равенство
v Z 0
e Z 0 V U = q(v) dv + 2 t(e) de +
E 2l q(v) + 2t(e) cos α − El (U − v) = 0,
El (U − v) − p = 0.
(
The stability of the deformation of one of the farm with the softening of the material elements
Institute of Engineering Science, The Ural Branch of Russian Academy of Sciences (Yekaterinburg, Russia)
Ural Federal University (Yekaterinburg, Russia)
Abstract. The stability of the stretching process some rod systems, which are the elements of one of the farm. Some rods made of a material softening. It is shown that the ideology of the application of methods of mathematical catastrophe theory to problems of stability of mechanical systems with softening elements. It was found that after a certain time in the core of the system appears several equilibrium positions both stable and unstable. Determine the moment of loss of stability (crash) when the system abruptly goes into a new stable state.