1 - Уральский государственный университет путей сообщения (Екатеринбург) 2 - Филиал УрГУПС в г. Нижнем Тагиле (Нижний Тагил) В современной гидродинамике решение уравнений Навье-Стокса является одной из актуальных задач. Научный интерес в исследовании этих уравнений имеет и теоретический, и практический аспект. Уравнения Навье-Стокса - это система дифференциальных уравнений в частных производных, описывающие движение вязкой ньютоновской жидкости. В статье рассматривается модель НавьеСтокса в форме Гельмгольца для двумерного несжимаемого течения, для которой предложена методика построения решения в виде формального ряда. Новизна предложенного материала заключается в формулировке и доказательстве сходимости построенного ряда как аналога теоремы Ковалевской. Ключевые слова: Навье-Стокс; Ковалевская; сходимость; ряды.
Запишем систему уравнений Навье-Стокса [1] на плоскости 8 ux + vy = 0 > > > > < ut + uux + vuy = ¡ ½1 px + º(uxx + uyy) + f > > >>: vt + uvx + vvy = ¡ ½1 py + º(vxx + vyy) + g:
¢Ãt + Ãy¢Ãx ¡ Ãx¢Ãy = º¢¢Ã: (1) (2) При этом для любых трех функций u, v, w выполняются законы дистрибутивности
u ¤ (v + w) = (u ¤ v) + (u ¤ w); (u + v) ¤ w = (u ¤ w) + (v ¤ w); однако, коммутативности нет, в общем случае
Так, например, может быть [2] где введены базовые функции f ¤ g = fy¢gx ¡ fx¢gy:
f ¤ g 6= g ¤ f: à ¤ à = 0; при à 6= 0: i(k ¡ l)gklmn(t)»k´l¾m±n; i(m ¡ n)gklmn(t)»k´l¾m±n; s2 = [s(k; l; m; n)]2 = (k ¡ l)2 + (m ¡ n)2; ¢¢Ã = Ã[i] = 1
X »k´l¾m±n ©¡[(k ¡ l)2 + (m ¡ n)2]gk0lmn(t)+
f(m1 ¡ n1)(k2 ¡ l2) ¡ (k1 ¡ l1)(m2 ¡ n2)g £ £ £(k2 ¡ l2)2 + (m2 ¡ n2)2¤ gk1l1m1n1(t) ¢ gk2l2m2n2(t) + (¡º) £(k2 ¡ l2)2+
+(m2 ¡ n2)2¤2 gklmn(t)o = 0: Для формального ряда это равносильно обращению в нуль всех его коэффициентов при каждом наборе степеней k ¸ 0, l ¸ 0, m ¸ 0, n ¸ 0. Заметим, что если k = l и m = n, то есть s2 = (k ¡ l)2 + (m ¡ n)2 = 0, то все три слагаемых в фигурных скобках обращаются в нуль, что дает верное равенство. Записывая это равенство при s2 = (k ¡ l)2 + (m ¡ n)2 > 0, получим линейное неоднородное дифференциальное уравнение для gklmn(t), поскольку в неоднородность войдут только коэффициенты gkilimini(t), i 2 f1; 2g, с индексами (ki; li; mi; ni) · (k; l; m; n), причем, как было замечено выше, 0 6= (ki; li; mi; ni) 6= (k; l; m; n), то есть уже найденные в соответствие со стандартной рекуррентной процедурой решения этой цепочки уравнений на коэффициенты. Следовательно, по формуле Коши, так как gk0lmn(t) = ¡º[(k ¡ l)2 + (m ¡ n)2]gklmn(t) + 1 [(k ¡ l)2 + (m ¡ n)2] ¢ ¢
X
X
X имеем gklmn(t) = gklmn(0)exp ©¡º[(k ¡ l)2 + (m ¡ n)2]tª + 1 [(k ¡ l)2 + (m ¡ n)2] ¢ ¢
X
X
X Для записи этого решения в обозримом виде введем следующие обозначения. Пусть ¡!vj = (kj ¡ lj; mj ¡ nj; 0), j 2 f1; 2g – трехмерные векторы, sj2 – квадраты их модулей, тогда s2 – квадрат модуля их суммы ¡!v = ¡!v1 + ¡!v2. Используя формулу векторного произведения векторов ¡!a = (ax; ay; az), !¡b = (bx; by; bz) в виде
¡!c = [¡!a £ ¡!b] = (cx; cy; cz) = (aybz ¡ byaz; azbx ¡ bzax; axby ¡ bxay): Замечаем, что есть аппликата векторного произведения !¡v2 на !¡v1. Значит, (m1 ¡ n1)(k2 ¡ l2) ¡ (k1 ¡ l1)(m2 ¡ n2) = [¡!v2 £ ¡!v1]z;
1 gklmn(t) = gklmn(0)e¡ºs2t + s2 k1+Xk2=k l1+Xl2=l m1+Xm2=m n1+Xn2=n[¡!v2 £ !¡v1]z ¢ s22¢
t Z ¢ gk1l1m1n1(¿ ) ¢ gk2l2m2n2(¿ )eºs2(¿¡t)d¿: Из этой формулы еще раз очевидно, что если s2 = 0, то есть ¡!v1 + !¡v2 = ¡!v = ¡!0, то ¡!v2 = ¡¡!v1, и сумма, записанная во втором слагаемом, равна нулю, так как
[¡!v2 £ ¡!v1] = [¡(¡!v1) £ ¡!v1] = ¡[¡!v1 £ ¡!v1] = ¡!0: Формальное решение построено, теперь можно вычислить коэффициенты с маленькими номерами k, l, m, n (для самоконтроля и базы индукции) и перейти к теоремам сходимости.
Основная проблема в том, что все операции с à законны только если область сходимости ряда содержит некоторый поликруг j»j · R, j´j · R, j¾j · R, j±j · R в четырехмерном комплексном пространстве C4, причем по смыслу экспоненциальных рядов должно быть R > 1, т.к. je§ixj = je§iyj = 1 при вещественных x и y. 2 Сходимость построенного ряда Поскольку в уравнение в форме Гельмгольца входят производные от Ã, необходимо постулировать сходимость домноженных на некоторые степени (k¡l) и (m¡n) рядов для начальных данных. Это можно интерпретировать как введение некоторых нормирований на пространствах решений. Так, старшие производные в уравнении возникают от члена º¢¢Ã, и поскольку, оператор ¢ приводит к домножению коэффициента gklmn(t) на s2, надо оценивать "величину", сводящуюся к jgklmn(t)j £(k ¡ l)2 + (m ¡ n)2¤ : Пусть ряд для начальных данных Рассмотрим функцию '(»; ´; ¾; ±) = 1
X [(k ¡ l)2 + (m ¡ n)2]gklmn(0)»k´l¾m±n = · jgklmn(0)j + s2 k1+k2=k l1+l2=l m1+m2=m n1+n2=n
X
X
X
1 s1 ¢ s23 ¢ Gk1l1m1n1(t) ¢ Gk2l2m2n2(t) ¢ ºs2 = = jgklmn(0)j + 1
X
X
X
X
ºs4 k1+k2=k l1+l2=l m1+m2=m n1+n2=n
s1 ¢ s23 ¢ Gk1l1m1n1(t) ¢ Gk2l2m2n2(t);
(
Для введения оцениваемой величины домножим (
Fkilimini(t) = si4Gkilimini(t): Получим оценку т.к.
Fklmn(t) · Fklmn(0) + º1 X
X
X
X для любого t есть решение (обычного, алгебраического) квадратного уравнения Решая его, получаем функцию
U = U (»; ´; ¾; ±; t) =
Uklmn(t)»k´l¾m±n
X 8 N 2 = k2 + l2 + m2 + n2 + 2kl + 2km + 2kn + 2lm + 2ln + 2mn; < :
s2 = k2 + l2 + m2 + n2 ¡ 2kl ¡ 2mn
N 2 ¡ s2 = 4kl + 2km + 2kn + 2lm + 2ln + 4mn ¸ 0: т.е. s · N . Неравенство превращается в равенство только когда в точности одно из этих чисел k, l, m, n строго больше нуля.
Будем оценивать величины s2jgklmn(t)j = [(k ¡ l)2 + (m ¡ n)2]jgklmn(t)j:
N 2 ¸ s2;
s2jgklmn(t)j · s2jgklmn(0)j+ + X
X
X
X так как e¡ºs2t · 1 и eºs2(¿¡t) · 1 при 0 · ¿ · t. s1s23 Суммируя эти неравенства, получим для каждого N ¸ 1, учитывая неравенство (s1s2)2 · s2, оценку
X k+l+m+n=N s2(k; l; m; n)jgklmn(t)j ·
s2(k; l; m; n)jgklmn(0)j+
X k+l+m+n=N + NX¡1 Zt Видим (по индукции), что для любого N ¸ 1, t ¸ 0 справедливо неравенство то есть qN (t) действительно является мажорантой, при этом производящая функция и начальным данным
1 q(r; 0) = '(r) = X rn
X N=1 k+l+m+n=N s2(k; l; m; n)jgklmn(0)j; причем q(0; 0) = 0. Это задача Коши типа Ковалевской, следовательно, для малых t, jtj < T , при некотором T > 0, ряд для f сходится, полирадиус сходимости больше единицы, и вместе с ним сходится и мажорируемый им ряд для функции тока Ã в некотором поликруге радиуса r > 1 при t 2 [0; T ). Итак, доказана
Теорема. Пусть функция Ã(x; y; 0) вещественная аналитическая периодическая функция, тогда существует такое T > 0, что при всех 0 · t < T решение Ã(x; y; t) уравнения в форме Гельмгольца есть аналитическая периодическая функция.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 16-01-00401_А).
Список литературы
[1] S.P. Bautin. Analiticheskoe postroenie techenij vjazkogo gaza s pomoshh’ju posledovatel’nosti
linearizovannyh sistem Nav’e-Stoksa. // Prikladnaja matematika i mehanika, 2(
Special series for two-dimensional incompressible flows in the model of Navier-Stokes
Ural State University of Railway Transport (Yekaterinburg, Russia)
Branch of Ural State University of Railway Transport in Nizhny Tagil (Nizhny Tagil)
Abstract. Modern fluid dynamics solution of Navier-Stokes equations is one of the urgent tasks. Scientific interest in the study of these equations has the theoretical and practical aspect. The Navier-Stokes equations is a system of differential equations describing the motion of viscous Newtonian fluid. In the article the model of Navier-Stokes in the form of electromagnetic waves for two-dimensional incompressible flow, for which the method of construction of solutions in the form of formal series. The novelty of this material lies in the formulation and the proof of convergence of the constructed series as the analogue of the Kovalevskaya theorem.