Специальные ряды для двумерных несжимаемых
течений в модели Навье-Стокса
С.С. Титов1 К.В. Курмаева2
stitov@usaaa.ru kurmaevakv@yandex.ru
1 – Уральский государственный университет путей сообщения (Екатеринбург)
2 – Филиал УрГУПС в г. Нижнем Тагиле (Нижний Тагил)
Аннотация
В современной гидродинамике решение уравнений Навье-Стокса
является одной из актуальных задач. Научный интерес в иссле-
довании этих уравнений имеет и теоретический, и практический
аспект. Уравнения Навье-Стокса – это система дифференциальных
уравнений в частных производных, описывающие движение вязкой
ньютоновской жидкости. В статье рассматривается модель Навье-
Стокса в форме Гельмгольца для двумерного несжимаемого тече-
ния, для которой предложена методика построения решения в виде
формального ряда. Новизна предложенного материала заключает-
ся в формулировке и доказательстве сходимости построенного ряда
как аналога теоремы Ковалевской.
Ключевые слова: Навье-Стокс; Ковалевская; сходимость; ряды.
1 Построение формального ряда
Запишем систему уравнений Навье-Стокса [1] на плоскости
ux + vy = 0
ut + uux + vuy = − ρ1 px + ν(uxx + uyy ) + f (1)
vt + uvx + vvy = − ρ1 py + ν(vxx + vyy ) + g.
В (1) положим ρ = 1, f = 0, g = 0.
Дальнейшее изложение построим для двумерного уравнения Навье-Стокса (1) для несжимаемой жид-
кости в форме Гельмгольца [3]
∆ψt + ψy ∆ψx − ψx ∆ψy = ν∆∆ψ. (2)
Формализм рассматриваемого подхода к решению уравнения в форме Гельмгольца основан на его интер-
претации как "квадратного уравнения" в некоторой абстрактной алгебре. Так слагаемые ∆ψt и ν∆∆ψ есть
результат применения линейных дифференциальных операторов и искомой функции ψ = ψ(x, y, t). Слага-
емое с квадратичной нелинейностью ψy ∆ψx − ψx ∆ψy можно интерпретировать как результат умножения
c by the paper’s authors. Copying permitted for private and academic purposes.
Copyright °
In: G.A. Timofeeva, A.V. Martynenko (eds.): Proceedings of 3rd Russian Conference "Mathematical Modeling and Information
Technologies" (MMIT 2016), Yekaterinburg, Russia, 16-Nov-2016, published at http://ceur-ws.org
188
ψ ∗ ψ функции ψ на саму себя, то есть ее "квадрат" в некоторой ее алгебре (без требования обязатель-
ной коммутативности и ассоциативности умножения, обозначенного здесь ∗ "звездочкой"). Так, например,
можно определить произведение f ∗ g функции f и g формулой
f ∗ g = fy ∆gx − fx ∆gy .
При этом для любых трех функций u, v, w выполняются законы дистрибутивности
u ∗ (v + w) = (u ∗ v) + (u ∗ w), (u + v) ∗ w = (u ∗ w) + (v ∗ w),
однако, коммутативности нет, в общем случае
f ∗ g 6= g ∗ f.
Так, например, может быть
ψ ∗ ψ = 0, при ψ 6= 0.
Рассмотрим общую ситуацию. Искомую функцию ψ = ψ(x, y, t) представим в виде формального ряда
[2]
∞
X
ψ = ψ(x, y, t) = gklmn (t)ξ k η l σ m δ n , (3)
k,l,m,n=0
где введены базовые функции
ξ = eix = S(x), η = e−ix = T (x), σ = eiy = S(y), δ = e−iy = T (y).
Тогда ее производные ψx , ψy вычисляются (в области его равномерной абсолютной сходимости) как
∞
X
ψx = i(k − l)gklmn (t)ξ k η l σ m δ n ;
k,l,m,n=0
∞
X
ψy = i(m − n)gklmn (t)ξ k η l σ m δ n ,
k,l,m,n=0
поэтому
∞
X
∆ψ = (ψxx + ψyy ) = − [(k − l)2 + (m − n)2 ]gklmn (t)ξ k η l σ m δ n =
k,l,m,n=0
∞
X
= (−s2 )gklmn (t)ξ k η l σ m δ n ,
k,l,m,n=0
где обозначено
s2 = [s(k, l, m, n)]2 = (k − l)2 + (m − n)2 ,
отсюда
∞
X
∆∆ψ = s4 gklmn (t)ξ k η l σ m δ n ,
k,l,m,n=0
а также
∞
X
∆ψx = (−i)(k − l)[(k − l)2 + (m − n)2 ]gklmn (t)ξ k η l σ m δ n ,
k,l,m,n=0
∞
X
∆ψy = (−i)(m − n)[(k − l)2 + (m − n)2 ]gklmn (t)ξ k η l σ m δ n .
k,l,m,n=0
189
Поскольку любые два формальных степенных ряда ψ [1] и ψ [2] , где
∞
X [i]
ψ [i] = gklmn (t)ξ k η l σ m δ n , где i ∈ {1, 2},
k,l,m,n=0
перемножаются по правилу
∞
( )
X X X X X [1] [2]
[1] [2]
ψ ·ψ = gk1 l1 m1 n1 (t) · gk2 l2 m2 n2 (t)ξ k η l σ m δ n ,
k,l,m,n=0 k1 +k2 =k l1 +l2 =l m1 +m2 =m n1 +n2 =n
то ряд для квадратичной нелинейности примет вид
∞
"
X X X X X
k l m n
ψy ∆ψx − ψx ∆ψy = ξ ησ δ
k,l,m,n=0 k1 +k2 =k l1 +l2 =l m1 +m2 =m n1 +n2 =n
© £ ¤
i(m1 − n1 )gk1 l1 m1 n1 (t) · (−i)(k2 − l2 ) (k2 − l2 )2 + (m2 − n2 )2 gk2 l2 m2 n2 (t)−
£ ¤ ª¤
−i(k1 − l1 )gk1 l1 m1 n1 (t) · (−i)(m2 − n2 ) (k2 − l2 )2 + (m2 − n2 )2 gk2 l2 m2 n2 (t) =
∞
"
X X X X X
= {(m1 − n1 )(k2 − l2 ) − (k1 − l1 )(m2 − n2 )} ×
k,l,m,n=0 k1 +k2 =k l1 +l2 =l m1 +m2 =m n1 +n2 =n
£ ¤ ¤
× (k2 − l2 )2 + (m2 − n2 )2 gk1 l1 m1 n1 (t) · gk2 l2 m2 n2 (t) ξ k η l σ m δ n .
Здесь при фиксированных k, l, m, n ≥ 0 имеем в индексах суммирования неравенства 0 ≤ ki ≤ k,
0 ≤ li ≤ l, 0 ≤ mi ≤ m, 0 ≤ ni ≤ n, i ∈ {1, 2}, и поэтому при (ki , li , mi , ni ) = (k, l, m, n) имеем
(k3−i , l3−i , m3−i , n3−i ) = (0, 0, 0, 0), однако в таком случае выражение в фигурных скобках равно нулю. Сле-
довательно, в коэффициент при ξ k η l σ m δ n ряда для нелинейности не входят величины gklmn (t) и g0000 (t).
Подставляя выписанные ряды в решаемое уравнение (2), получим равенство нулю формального степен-
ного ряда
∞
X ©
ξ k η l σ m δ n −[(k − l)2 + (m − n)2 ]gklmn
0
(t)+
k,l,m,n=0
X X X X
+ {(m1 − n1 )(k2 − l2 ) − (k1 − l1 )(m2 − n2 )} ×
k1 +k2 =k l1 +l2 =l m1 +m2 =m n1 +n2 =n
£ ¤ £
× (k2 − l2 )2 + (m2 − n2 )2 gk1 l1 m1 n1 (t) · gk2 l2 m2 n2 (t) + (−ν) (k2 − l2 )2 +
¤2 o
+(m2 − n2 )2 gklmn (t) = 0.
Для формального ряда это равносильно обращению в нуль всех его коэффициентов при каждом наборе
степеней k ≥ 0, l ≥ 0, m ≥ 0, n ≥ 0. Заметим, что если k = l и m = n, то есть s2 = (k − l)2 + (m − n)2 = 0,
то все три слагаемых в фигурных скобках обращаются в нуль, что дает верное равенство. Записывая это
равенство при s2 = (k − l)2 + (m − n)2 > 0, получим линейное неоднородное дифференциальное уравнение
для gklmn (t), поскольку в неоднородность войдут только коэффициенты gki li mi ni (t), i ∈ {1, 2}, с индексами
(ki , li , mi , ni ) ≤ (k, l, m, n), причем, как было замечено выше, 0 6= (ki , li , mi , ni ) 6= (k, l, m, n), то есть уже
найденные в соответствие со стандартной рекуррентной процедурой решения этой цепочки уравнений на
коэффициенты. Следовательно, по формуле Коши, так как
0 1
gklmn (t) = −ν[(k − l)2 + (m − n)2 ]gklmn (t) + ·
[(k − l)2 + (m − n)2 ]
X X X X
· [(m1 − n1 )(k2 − l2 ) − (k1 − l1 )(m2 − n2 )]×
k1 +k2 =k l1 +l2 =l m1 +m2 =m n1 +n2 =n
190
£ ¤
× (k2 − l2 )2 + (m2 − n2 )2 gk1 l1 m1 n1 (t) · gk2 l2 m2 n2 (t),
имеем
© ª 1
gklmn (t) = gklmn (0)exp −ν[(k − l)2 + (m − n)2 ]t + ·
[(k − l)2 + (m − n)2 ]
X X X X
· [(m1 − n1 )(k2 − l2 ) − (k1 − l1 )(m2 − n2 )]× (4)
k1 +k2 =k l1 +l2 =l m1 +m2 =m n1 +n2 =n
Zt
£ ¤ © £ ¤ ª
× (k2 − l2 )2 + (m2 − n2 )2 exp ν (k − l)2 + (m − n)2 (τ − t) gk1 l1 m1 n1 (τ ) · gk2 l2 m2 n2 (τ )dτ.
0
Для записи этого решения в обозримом виде введем следующие обозначения. Пусть − →
vj = (kj − lj , mj −
2 2
nj , 0), j ∈ {1, 2} – трехмерные векторы, sj – квадраты их модулей, тогда s – квадрат модуля их суммы
−
→ →
−
v = − →
v1 + −
→
v2 . Используя формулу векторного произведения векторов − →a = (ax , ay , az ), b = (bx , by , bz ) в
виде
−
→ −
→
c = [−
→
a × b ] = (cx , cy , cz ) = (ay bz − by az , az bx − bz ax , ax by − bx ay ).
Замечаем, что
(m1 − n1 )(k2 − l2 ) − (k1 − l1 )(m2 − n2 ) = [−
→
v2 × −
→
v1 ] z ,
→
− →
−
есть аппликата векторного произведения v2 на v1 . Значит,
1 X X X X
v2 × →
[−
→ −
2
gklmn (t) = gklmn (0)e−νs t + v1 ]z · s22 ·
s2
k1 +k2 =k l1 +l2 =l m1 +m2 =m n1 +n2 =n
Zt
2
· gk1 l1 m1 n1 (τ ) · gk2 l2 m2 n2 (τ )eνs (τ −t) dτ.
0
−
→
Из этой формулы еще раз очевидно, что если s2 = 0, то есть −
→
v1 + →
−
v2 = −
→
v = 0 , то −
→
v2 = −−
→
v1 , и сумма,
записанная во втором слагаемом, равна нулю, так как
−
→
[−
→
v2 × −
→
v1 ] = [−(−
→
v1 ) × −
→
v1 ] = −[−
→
v1 × −
→
v1 ] = 0 .
Формальное решение построено, теперь можно вычислить коэффициенты с маленькими номерами k, l,
m, n (для самоконтроля и базы индукции) и перейти к теоремам сходимости.
Основная проблема в том, что все операции с ψ законны только если область сходимости ряда содержит
некоторый поликруг |ξ| ≤ R, |η| ≤ R, |σ| ≤ R, |δ| ≤ R в четырехмерном комплексном пространстве C4 ,
причем по смыслу экспоненциальных рядов должно быть R > 1, т.к. |e±ix | = |e±iy | = 1 при вещественных
x и y.
2 Сходимость построенного ряда
Поскольку в уравнение в форме Гельмгольца входят производные от ψ, необходимо постулировать сходи-
мость домноженных на некоторые степени (k −l) и (m−n) рядов для начальных данных. Это можно интер-
претировать как введение некоторых нормирований на пространствах решений. Так, старшие производные
в уравнении возникают от члена ν∆∆ψ, и поскольку, оператор ∆ приводит£ к домножению
¤ коэффициента
gklmn (t) на s2 , надо оценивать "величину", сводящуюся к |gklmn (t)| (k − l)2 + (m − n)2 .
Пусть ряд для начальных данных
∞
X
ψ(x, y, 0) = gklmn (0)ξ k η l σ m δ n = f (ξ, η, σ, δ, 0)
k,l,m,n=0
таков, что f (ξ, η, σ, δ, 0) есть аналитическая функция в поликруге |ξ| ≤ R, |η| ≤ R, |σ| ≤ R, |δ| ≤ R, где
R > 1. Тогда, как известно, для всех r < R, r ≥ 0 эта функция будет аналитична в поликруге любого
меньшего радиуса r, как и все ее производные. Следует отметить, что при R = 1 записанная функция
ψ(x, y, 0) есть сходящийся ряд.
191
Рассмотрим функцию
∞
X ∞
X
ϕ(ξ, η, σ, δ) = [(k − l)2 + (m − n)2 ]gklmn (0)ξ k η l σ m δ n = s2 gklmn (0)ξ k η l σ m δ n ,
k,l,m,n=0 k,l,m,n=0
в силу ее аналитичности ее максимум модуля достигается на остове поликруга радиуса r, и пусть он равен
Mr . Находя рекуррентно коэффициенты gklmn (t), обозначим
Gklmn (t) = max |gklmn (θ)|.
0≤θ≤t
Тогда, из формулы Коши (4), получим оценку
1 X X X X
Gklmn (t) ≤ |gklmn (0)| + |[−
→
v2 × −
→
v1 ]| · s22 ·
s2
k1 +k2 =k l1 +l2 =l m1 +m2 =m n1 +n2 =n
¯ θ ¯
¯Z ¯
¯ 2 ¯
¯
· max ¯ gk1 l1 m1 n1 (τ ) · gk2 l2 m2 n2 (τ )e νs (τ −θ)
dτ ¯¯ ≤
0≤θ≤t ¯ ¯
0
1 X X X X
≤ |gklmn (0)| + s2 · s1 · s22 ·
s2
k1 +k2 =k l1 +l2 =l m1 +m2 =m n1 +n2 =n
¯ θ ¯
¯Z ¯
¯ 2 ¯
·Gk1 l1 m1 n1 (t) · Gk2 l2 m2 n2 (t) max ¯¯ eνs (τ −θ) dτ ¯¯ ≤
0≤θ≤t ¯ ¯
0
1 X X X X 1
≤ |gklmn (0)| + s1 · s32 · Gk1 l1 m1 n1 (t) · Gk2 l2 m2 n2 (t) · =
s2 νs2
k1 +k2 =k l1 +l2 =l m1 +m2 =m n1 +n2 =n
1 X X X X
= |gklmn (0)| + s1 · s32 · Gk1 l1 m1 n1 (t) · Gk2 l2 m2 n2 (t), (5)
νs4
k1 +k2 =k l1 +l2 =l m1 +m2 =m n1 +n2 =n
¯ ¯
¯Rθ ¯ Rθ
¯ ¯
(при составлении оценки учитывалось, что |[−
→
v2 × −
→
v1 ]| ≤ |→
−
v2 | · |−
→
v1 |, ¯ f (τ )dτ ¯ ≤ |f (τ )|dτ , Gki li mi ni (τ ) –
¯0 ¯ 0
возрастающая функция).
Для введения оцениваемой величины домножим (5) на s4 и положим
Fki li mi ni (t) = s4i Gki li mi ni (t).
Получим оценку
1 X X X X 1 1
Fklmn (t) ≤ Fklmn (0) + s1 · s23 · · Fk l m n (t)Fk2 l2 m2 n2 (t) ≤
ν s41 s42 1 1 1 1
k1 +k2 =k l1 +l2 =l m1 +m2 =m n1 +n2 =n
1 X X X X
≤ Fklmn (0) + Fk1 l1 m1 n1 (t)Fk2 l2 m2 n2 (t),
ν
k1 +k2 =k l1 +l2 =l m1 +m2 =m n1 +n2 =n
т.к.
s1 s23 1
= 3 ≤1
s41 s42 s1 s2
ввиду того, что si ≥ 1 при si 6= 0.
Определяя мажорантную последовательность Uklmn (t) рекуррентными соотношениями
1 X X X X
Uklmn (t) = Fklmn (0) + Uk1 l1 m1 n1 (t)Uk2 l2 m2 n2 (t).
ν
k1 +k2 =k l1 +l2 =l m1 +m2 =m n1 +n2 =n
192
Видим, что Uklmn (t) ≥ Fklmn (t), и производящая функция
X
U = U (ξ, η, σ, δ, t) = Uklmn (t)ξ k η l σ m δ n
k,l,m,n=0
для любого t есть решение (обычного, алгебраического) квадратного уравнения
1 2
U =ϕ+ U .
ν
Решая его, получаем функцию r
ν ν2
U= − − νϕ
2 4
(знак минус перед корнем берем, чтобы U = 0 при ϕ = 0 и чтобы все коэффициенты Тейлора функции
U были неотрицательны). Поскольку при ϕ < ν/4 функция U будет аналитической в окрестности начала
координат ξ = η = σ = δ = 0 содержащей, в силу предположения поликруг радиуса r, если Mr < ν/4.
Итак, доказана
Теорема. Пусть ψ(x, y, 0) есть периодическая функция, причем сумма модулей членов ряда Фурье для
∆∆ψ(x, y, 0) меньше, чем ν/4. Тогда при всех t ≥ 0 решение ψ(x, y, t) уравнения в форме Гельмгольца есть
периодическая по x, y функция с абсолютно сходящимся рядом Фурье для ∆∆ψ(x, y, t).
3 Аналог теоремы Ковалевской
Поскольку в нелинейность входят производные от ψ по пространственным переменным x, y порядка мак-
симум три, а с линейной частью "всё в порядке", проблем со сходимостью нет, то можно попытаться
оценивать производные третьего порядка.
Пусть формальный ряд для начальных данных
∞
X
ψ(x, y, 0) = gklmn (0)S k (x)T l (x)S m (y)T n (y) = f (ξ, η, σ, δ, 0)
k,l,m,n=0
таков, что представляет собою аналитическую функцию в окрестности начала координат ξ = η = σ = δ = 0,
содержащей поликруг радиуса R > 1.
Лемма.
s≤N
Доказательство.
p
s = (k − l)2 + (m − n)2 ;
k ≥ 0, l ≥ 0, m ≥ 0, n ≥ 0;
k+l+m+n=N ≥1
2
N = k 2 + l2 + m2 + n2 + 2kl + 2km + 2kn + 2lm + 2ln + 2mn;
s2 = k 2 + l2 + m2 + n2 − 2kl − 2mn
N 2 − s2 = 4kl + 2km + 2kn + 2lm + 2ln + 4mn ≥ 0.
Следовательно,
N 2 ≥ s2 ,
т.е. s ≤ N . Неравенство превращается в равенство только когда в точности одно из этих чисел k, l, m, n
строго больше нуля.
Будем оценивать величины
s2 |gklmn (t)| = [(k − l)2 + (m − n)2 ]|gklmn (t)|.
193
Из рекуррентной формулы имеем
s2 |gklmn (t)| ≤ s2 |gklmn (0)|+
X X X X Zt
s1 s32
+ |s21 gk1 l1 m1 n1 (τ )| · |s22 gk2 l2 m2 n2 (τ )|dτ,
m +m =m n +n =n
(s1 s2 )2
k1 +k2 =k l1 +l2 =l 1 2 1 2 0
2 2
так как e−νs t ≤ 1 и eνs (τ −t) ≤ 1 при 0 ≤ τ ≤ t.
s s3
Суммируя эти неравенства, получим для каждого N ≥ 1, учитывая неравенство (s11s22)2 ≤ s2 , оценку
X X
s2 (k, l, m, n)|gklmn (t)| ≤ s2 (k, l, m, n)|gklmn (0)|+
k+l+m+n=N k+l+m+n=N
N
X −1 Zt X X
+ ·|s21 gk1 l1 m1 n1 (τ )| s2 · |s22 gk2 l2 m2 n2 (τ )|dτ.
N1 =1 0 k1 +l1 +m1 +n1 =N1 k2 +l2 +m2 +n2 =N2 =N −N1
Определяя мажорантную последовательность qN (t), N ≥ 1, t ≥ 0, рекуррентными соотношениями
P
qN (0) = s2 (k, l, m, n)|gklmn (0)|;
k+l+m+n=N
NP
−1
qN (t) = qN (0) + qN1 (τ ) · (N − N1 )qN −N1 (τ )dτ ;
N1
Видим (по индукции), что для любого N ≥ 1, t ≥ 0 справедливо неравенство
X
s2 (k, l, m, n)|gklmn (t)| ≤ qN (t),
k+l+m+n=N
то есть qN (t) действительно является мажорантой, при этом производящая функция
∞
X
q(r, t) = qN (t)rN
N =1
удовлетворяет дифференциальному уравнению в частных производных первого порядка (типа Ковалев-
ской)
∂q ∂q
=q·r
∂t ∂r
и начальным данным
∞
X X
q(r, 0) = ϕ(r) = rn s2 (k, l, m, n)|gklmn (0)|,
N =1 k+l+m+n=N
причем q(0, 0) = 0. Это задача Коши типа Ковалевской, следовательно, для малых t, |t| < T , при
некотором T > 0, ряд для f сходится, полирадиус сходимости больше единицы, и вместе с ним сходится
и мажорируемый им ряд для функции тока ψ в некотором поликруге радиуса r > 1 при t ∈ [0, T ). Итак,
доказана
Теорема. Пусть функция ψ(x, y, 0) вещественная аналитическая периодическая функция, тогда су-
ществует такое T > 0, что при всех 0 ≤ t < T решение ψ(x, y, t) уравнения в форме Гельмгольца есть
аналитическая периодическая функция.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 16-01-00401_А).
194
Список литературы
[1] S.P. Bautin. Analiticheskoe postroenie techenij vjazkogo gaza s pomoshh’ju posledovatel’nosti
linearizovannyh sistem Nav’e-Stoksa. // Prikladnaja matematika i mehanika, 2(4):579-589, 1988. (in
Russian) = С.П. Баутин. Аналитическое построение течений вязкого газа с помощью последо-
вательности линеаризованных систем Навье-Стокса. // Прикладная математика и механика,
2(4):579-589, 1988.
[2] A.F. Sidorov, A.F. Shapeev, N.N. Janenko. Metod differencial’nyh svjazej i ego primenenie v gazovoj
dinamike. Novosibirsk, Nauka, 1984. (in Russian) = А.Ф. Сидоров, А.Ф. Шапеев, Н.Н. Яненко.
Метод дифференциальных связей и его применение в газовой динамике. Новосибирск, Наука,
1984.
[3] S.S. Titov. Reshenie uravnenij s osobennost’ju v analiticheskih shkalah banahovyh prostranstv: Preprint.
Ekaterinburg, UralGAHA, 1999. (in Russian) = С.С. Титов. Решение уравнений с особенностью в
аналитических шкалах банаховых пространств: Препринт. Екатеринбург, УралГАХА, 1999.
[4] S.S. Titov. Reshenie nelinejnyh uravnenij v analiticheskih polialgebrah. I. // Izvestija vuzov.
Matematika, 452(1):66-77, 2000. (in Russian) = С.С. Титов. Решение нелинейных уравнений в
аналитических полиалгебрах. I. // Известия вузов. Математика, 452(1):66-77, 2000.
[5] S.S. Titov. Reshenie nelinejnyh uravnenij v analiticheskih polialgebrah. II. // Известия вузов. Ма-
тематика, 457(6):45-52, 2000. (in Russian) = С.С. Титов. Решение нелинейных уравнений в ана-
литических полиалгебрах. II // Известия вузов. Математика, 457(6):45-52, 2000.
[6] С.С. Титов. Non-local Solutions of the Cauchy Problem in Scales of Analytic Poly-algebras. //
Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 9(2):148-172, 2003. = С.С. Титов. Нелокальные
решения задачи Коши в шкалах аналитических полиалгебр. // Труды Института математики
и механики УрО РАН, 9(2):148-172, 2003.
195
Special series for two-dimensional incompressible flows in the model
of Navier-Stokes
Sergei S. Titov
Ural State University of Railway Transport (Yekaterinburg, Russia)
Kristina V. Kurmaeva
Branch of Ural State University of Railway Transport in Nizhny Tagil (Nizhny Tagil)
Abstract. Modern fluid dynamics solution of Navier-Stokes equations is one of the urgent tasks. Scientific
interest in the study of these equations has the theoretical and practical aspect. The Navier-Stokes equations is
a system of differential equations describing the motion of viscous Newtonian fluid. In the article the model of
Navier-Stokes in the form of electromagnetic waves for two-dimensional incompressible flow, for which the method
of construction of solutions in the form of formal series. The novelty of this material lies in the formulation and
the proof of convergence of the constructed series as the analogue of the Kovalevskaya theorem.
Keywords: Navier-Stokes, Kovalevskaya, convergence, series.
196