Уральский федеральный университет (Екатеринбург) В работе исследована устойчивость относительно части переменных в случае двух нулевых корней. Показана возможность модификации методов, используемых в теории устойчивости по всем переменным, для случая устойчивости по части переменных. С помощью предложенных подходов получены частные условия устойчивости и неустойчивости для случая двойного нулевого корня с одной и двумя группами решений. Ключевые слова: устойчивость относительно части переменных; критический случай; функция Ляпунова; прямой метод Ляпунова.
систем с минимальным фазовым рассогласованием по отношению к эталонной модели [1]. Таким образом становится очевидной практическая важность теории устойчивости по части переменных.
Как и в случае устойчивости по всем переменным, в теории устойчивости по части переменных важное значение имеет устойчивость по первому приближению и теория критических случаев. Устойчивость по первому приближению исследовалась в работах А.С. Озиранера, В.П. Прокопьева, некоторые из критических случаев были исследованы в работах В.П. Прокопьева [8], М.Г. Лизуновой [3], В.Н. Щенникова [10, 11].
В данной работе авторы рассматривают возможность исследования задачи об устойчивости относительно части переменных в случае двух нулевых корней (её постановка дается в п.2), используя модификации методов теории устойчивости по всем переменным. Так в п.3 исследуется устойчивость по части переменных в случае двойного нулевого корня с двумя группами решений с использованием модификации метода, предложенного И.Г. Малкиным [7] для случая устойчивости относительно всех переменных с построением двух форм G и P, и формулируется утверждение, которое даёт условия устойчивости и неустойчивости в зависимости от знака P на поверхностях определяемых уравнением G=0. В п.4 для случая двойного корня с одной группой решений, используется метод подбора знакоопределенной формы для получения условия неустойчивости. В п.5 приводятся основные результаты. 2
Постановка задачи Рассмотрим систему дифференциальных уравнений возмущенного движения dxi = Xi(x1, . . . , xn+2), i = 1, n + 2.
dt Будем предполагать, что функции Xi (i = 1, n + 2), раскладываются в ряды по степеням xi (i = 1, n + 2), которые сходятся в области:
|xi| ≤ λ, i = 1, n + 2, где λ – некоторая положительная постоянная.
Тогда уравнения возмущенного движения могут быть переписаны в виде:
dxi = qi1x1 + qi2x2 + . . . + qi,n+2xn+2 + Xi∗(x1, . . . , xn+2), i = 1, n + 2,
dt
где qij (i = 1, n + 2, j = 1, n + 2) – постоянные, Xi∗ (i = 1, n + 2) - функции переменных xi, которые
раскладываются по ним в степенные ряды в области (
Отбросив в уравнениях (
Будем различать два возможных случая: первый – ранг матрицы системы (
Система (
Итак, пусть дана система вида (
X(0, 0, . . . , 0, z1, . . . , zp) = 0, Y (0, 0, . . . , 0, z1, . . . , zp) = 0, Ui(0, 0, . . . , 0, z1, . . . , zp) = 0 (i = 1, l).
Ставим задачу исследовать нулевое решение системы (
Для дальнейшего исследования нам потребуется привести систему (
l fi(x, y, u1, u2, . . . , ul, z1, . . . , zp) = pi1x + pi2y + X siν uν + Ui(x, y, u1, u2, . . . , ul, z1, . . . , zp) = 0, i = 1, l, ν=1 определяющую, переменные ui, как функции переменных x, y, z1, . . . , zp , согласно [7] а значит эта система имеет единственное решение которое удовлетворяет условию ∂(f1, . . . , fl) ∂(u1, . . . , ul) x=y=zμ=uν=0
= |sij|i,j=1,l 6= 0, ui = wi(x, y, z1, . . . , zp), i = 1, l,
wi(0, 0, . . . , 0) = 0, i = 1, l,
т.к. fi(0, 0, . . . , 0, z1, . . . , zp) = 0, то wi(0, 0, z1, . . . , zp) = 0. Сделав в системе (
ν=1 μ=1
Функции X, Y, Ui - аналитические функции переменных x, y, ξi, zj, раскладывающиеся в ряды в области
(
|x| ≤ h, |y| ≤ h, |ξi| ≤ h1 (i = 1, l), |zj| ≤ H < ∞ (j = 1, p), здесь h1 - новая постоянная, определяемая в зависимости от h. Кроме того эти функции удовлетворяют условиям
X(0, 0, . . . , 0, z1, . . . , zp) = 0, Y (0, 0, . . . , 0, z1, . . . , zp) = 0, Ui(0, 0, . . . , 0, z1, . . . , zp) = 0.
(
Критический случай двух нулевых корней с двумя группами решений
В этом случае γ = 0, для простоты также предположим, что в системе (
X(k)(x, y, z1, . . . , zp) =
X Aij(z1, . . . , zp)xiyj, Y (k)(x, y, z1, . . . , zp) =
X Bij(z1, . . . , zp)xiyj. i+j=k i+j=k Формы X(m) и Y (m) первые ненулевые формы, m ≥ 2. Предположим, что X(m)(x, y, z1, . . . , zp) и Y (m)(x, y, z1, . . . , zp) одновременно не обращаются в ноль при любом наборе z1, . . . , zp.
X˜ (x, y, z1, . . . , zp) и Y˜ (x, y, z1, . . . , zp), представляют собой непрерывные функции и имеют порядок выше
N по x и y, определенны в области |x| ≤ h, |y| ≤ h, |zj| ≤ H < ∞ (j = 1, p). При этом:
Т.к. новые переменные обращаются в нуль тогда и только тогда, когда обращаются в нуль старые
переменные, то задача устойчивости по одним переменным эквивалентна задаче устойчивости по другим
переменным. Поэтому для решения задачи будем рассматривать систему (
Далее для исследования устойчивости будем рассматривать систему, полученную усечением системы
(
G = 0, Обобщим метод изложенный Малкиным И. Г. в [6] и [7]. Для выведения условия устойчивости относительно x и y рассмотрим две формы: G(x, y, z) = xY (m)(x, y, z) − yX(m)(x, y, z) P (x, y, z) = xX(m)(x, y, z) + yY (m)(x, y, z) Будем рассматривать случай, когда G может обращаться в ноль при x 6= 0, y 6= 0, т.е. G не знакоопределенная форма по x,y. Тогда уравнение будет определять в пространстве семейство пересекающихся поверхностей. Составим систему уравнений: (14) ddxt = X(m)(x, y, z) ddyt = Y (m)(x, y, z)
dy dx
x dt − y dt
= 0,
Все поверхности определяемые уравнением G = 0, содержат интегральные кривые (14). Всякая
интегральная кривая уравнений (
Запишем уравнение (13), подставив в него (14), получаем тождество: откуда dy y
= .
dx x Получим семейство кривых y = c(z)x, пересекающихся в точке (0, 0, z), где z рассматривается как параметр. Если, обе правые части не обращаются одновременно в ноль ни при каком z, то в фазовом пространстве переменных x,y,z уравнение (13) будет образовывать семейство пересекающихся по прямой x = 0, y = 0 поверхностей, таких, что если провести через них сечение z = const, мы получим прямые пересекающиеся в центре (0, 0, const). На рисунке (рис. 1) показано как выглядят поверхности, определяемые уравнением Рис. 1: Семейство поверхностей G = 0 G = 0 в пространстве.
Форма P в силу (14) имеет вид:
P = x
+ y
dx
dt
dy
dt
=
1 d
2 dt
(x2 + y2),
и, очевидно является производной положительной знакоопределенной по x,y формы V = 21 (x2 + y2),
допускающей бесконечно малый высший предел по x,y. Если P < 0 на поверхностях, задаваемых уравнением
G = 0, то ddVt < 0 везде в области, кроме начала координат, где она обращается в ноль. Значит, ddVt
является знакоопределенной отрицательной по переменным x,y. На основании теоремы [9, п.6.2] невозмущенное
движение системы (14) асимптотически устойчиво. Тогда невозмущенное движение системы (
Теперь вернемся к системе (
Пусть теперь форма P может принимать положительные значения. Без ограничения общности будем полагать, что она принимает положительные значения при некотором наборе z1, . . . , zp на оси x. К этому можно перейти, при фиксированных z1, . . . , zp, соответствующим поворотом осей. Но если уравнение (13) имеет решение y = 0, то Y (m) при y = 0 должна обращаться в ноль на плоскости. Тогда на плоскости при фиксированном наборе z1, . . . , zp: X(m) = Axm + A1yxm−1 + · · · + Am−1ym−1x + Amym Y (m) = Byxm−1 + B2y2xm−2 + · · · + Bm−1ym−1x + Bmym Здесь A, B, Ai, Bi зависят от выбора плоскости и, следовательно, от набора z1, . . . , zp, однако на плоскости они являются константами. Так как форма P имеет вид (12) то: где z1, . . . , zp - фиксированный набор. При m нечетном, A должна быть положительной, а при m четном, А может быть как положительной, так и отрицательной. Но в последнем случае замены x на -x меняет знак A. Поэтому будем ее предполагать положительной.
Для доказательства неустойчивости будем использовать теорему Четаева [7]. А для этого рассмотрим
функцию:
где α2 некоторая положительная постоянная. Производная этой функции, в силу уравнений (
2V = α2x2 − y2, dV dt = α2xX(m) − yY (m) + · · · , (16) (17) опущенные члены имеют порядок, не меньший m + 2.
Функция V принимает положительные значения при y = 0. То же самое имеет место по отношению к ее производной
V |y=0 = α2x2 > 0, 2 dV dt y=0 = α2Axm+2 + · · · > 0, если x достаточно мало и, в случае четного m, x > 0. Это следует из вида X(m) и того, что коэффициент A > 0, следовательно, вблизи начала координат существует область V > 0, ddVt > 0.
1) Допустим теперь, что A>B. Покажем, что α можно выбрать такой малой, чтобы область V > 0 была полностью заключена внутри области ddVt > 0.
V > 0 когда y2 = α2x2 (в силу (17)). Тогда V принимает положительные значения только при −αx < y < αx. Можно заменить это неравенство, взяв y = αβx где β ∈ (−1; 1).
dV dt y=αβx
= α2x(Axm + A1αβxm + · · · + Am−1αm−1βm−1xm + Amαmβmxm)− −αβx(Bαβxm + B2α2β2xm + · · · + Bm−1αm−1β(m − 1)xm + Bmαmβmxm) + ϕxm =
= [(Aα2 + A1α3β + · · · + Am−1αm+1βm−1 + Amαm+2βm)− −(Bα2β2 + B2α3β3 + · · · + Bm−1αmβm + Bmαm+1βm+1) + ϕ]xm+1, где ϕ – некоторая аналитическая функция, обращающаяся в ноль при x = 0.
dV dt y=αβx
= (C + ϕ)xm+1, значит, при достаточном малом x, знак этого выражения совпадает со знаком C (по крайне мере при x > 0), где C – константа при фиксированном наборе z1, . . . , zp, и будет определяться следующим соотношением: C = (A − Bβ2)α2 + (A1β − B2β3)α3 + · · · + (Am−1βm−1 − Bmβm+1)αm+1 + Amβmαm+2. Выберем α столь малым, что знак будет совпадать со знаком A − Bβ2, и так как A > B, то A − Bβ2 > 0 при β ∈ (−1; 1). Таким образом, в достаточно малой окрестности координат существует область V > 0, заключенная внутри области ddVt > 0, а значит, движение будет неустойчиво по теореме Четаева [7].
2) Теперь допустим A < B. При таких значениях, A − Bβ2 будет положительно лишь при некоторых β2 < 1, значит, теперь, область ddVt > 0 заключена внутри области V > 0, и условия теоремы Четаева не выполняются. Однако, покажем, что будет также неустойчивость.
Пусть β есть такая положительная величина, что при |β| ≤ β величина ddVt положительна. Составим функцию:
2V1 = β2α2x2 − y2.
Область V1 > 0 целиком заключена внутри ddVt > 0. Однако же, ddVt1 не всюду положительна в области V1 > 0 и на границе ddVt1 < 0, так как она обладает теми же свойствами что и V.
Пусть AOB есть границы области V > 0, а A1OB1 границы области V1 > 0. Также эти области ограничены 0 ≤ x ≤ h. Рассмотрим область MNPQ (рис. 2), ограниченную отрезком MQ гиперболы V = c и Рис. 2: Область V > 0 отрезком NP гиперболы V = C. При этом C фиксированное число, а c сколь угодно мало. Так что MQ расположено сколь угодно близко к точке O. Внутри MNPQ ddVt > 0 и для нее существует положительный нижний предел. Пусть ddVt > l > 0 и T = Cl , рассмотрим кривую, выходящую в момент t = T из точки F дуги NP. Уравнение этой интегральной кривой: Будем двигаться вдоль этой дуги в сторону уменьшения t до момента t = 0. При этом интегральная кривая будет приближаться к началу координат, по крайней мере, пока не покинет области A1OB1A1, так как в ней ddVt > 0. Но если бы кривая в какой-то момент 0 ≤ τ < T покинула бы область A1OB1A1, что она может сделать только через границы ON и OP, то должны выполняться условия V1 = 0 и ddVt1 > 0. Что, однако, невозможно, так как на границах OA1 и OB1 производная ddVt1 < 0, как указывалось ранее.
Тогда при t ∈ [0; T ] интегральная кривая будет оставаться внутри области NOPN. Допустим она при t = 0 будет проходить через точку E и докажем, что точка тогда будет лежать внутри области OMQO. Для этого нужно показать, что интегральная кривая при убывании t от T до 0 проходит через MQ. Если же от противного предположить, что все время 0 ≤ t ≤ T интегральная кривая находится внутри MNPQ, тогда будем иметь:
V [x(0), y(0)] = V [x(T ), y(T )] −
dt < V [x(T ), y(T )] − lT = C − C = 0, x = x(t) y = y(t) T Z dV
dt отсюда значит
2V = x4 − y2, 0 < x ≤ h, V > 0, x4 − y2 > 0, −x2 < y < x2, (18) запишем ее в соответствии с (16), заменяя при этом y на βx2 dV dt y=βx2
= 2(Axm+3 + A1βxm+4 + · · · + Am−1βm−1x2m+2 + Amβmx2m+3)−
−(Bβ2xm+3 + B2β3xm+4 + · · · + Bm−1βmx2m+1 + Bmβm+1x2m+2) + ϕxm+3 + ρβxm+3 . . . ,
где ϕ - аналитическая функция, обращающаяся в ноль при x = 0, а ρ - коэффициент перед xm+1 в Y (m+1),
его можно предполагать сколь угодно малым, поскольку, если в системе (
Так как B = A > 0 и ρ численно мало, то вблизи начала координат ddVt y=βx2 будет принимать положительные значения (при x > 0, если m - четное) при всех β ∈ (−1; 1). Следовательно, при h, достаточно малом, во всей области (18) ddVt принимает положительные значения, что удовлетворяет условиям теоремы Четаева. Таким образом, движение неустойчиво при каком-то фиксированном наборе z1, . . . , zp, следовательно, оно будет неустойчиво относительно x,y.
Обобщим вышесказанное.
Утверждение: Пусть предложена система уравнений возмущенного движения (
1) Если на поверхностях, определяемых уравнением G = 0, форма P принимает лишь отрицательные значения, то невозмущенное движение x = y = z1 = · · · = zp = 0 асимптотически устойчиво относительно x,y.
2) Если на поверхностях, определяемых уравнением G = 0, форма P может принимать положительные значения, то невозмущенное движение x = y = z1 = · · · = zp = 0 неустойчиво относительно x,y.
Отметим, что предполагалось, чтобы X(m)(x, y, z1, . . . , zp) и Y (m)(x, y, z1, . . . , zp) не обращались в ноль одновременно, ни при каком наборе переменных z1, . . . , zp. Предположим теперь, что существует какой-то набор z1, . . . , zp такой, что: X(m)(x, y, z1, . . . , zp) = Y (m)(x, y, z1, . . . , zp) = 0, соответственно, G(x, y, z1, . . . , zp) ≡ 0. Тогда предлагается заменять в таком случае G(x, y, z1, . . . , zp) формой Gi: Gi(x, y, z1, . . . , zp) = xY (m+i)(x, y, z1, . . . , zp) − yX(m+i)(x, y, z1, . . . , zp), где i это такой наименьший номер, что формы X(m+i)(x, y, z1, . . . , zp) и Y (m+i)(x, y, z1, . . . , zp) не обращаются в ноль одновременно.
Исследуя отдельно знак P на прямых (если z1, . . . , zp – изолированная точка) или поверхностях (если точка z1, . . . , zp не изолированная) Gi = 0 в особенностях zi = zi, можно разрешить задачу и в более широком случае.
При l > 0 исследование устойчивости накладывает существенные ограничения на функции Ui, что
будет показана на примере исследования устойчивости двух нулевых корней с одной группой решений
следующем пункте.
4
Исследование устойчивости в случае двух нулевых корней с одной группой
решений
Запишем систему (
Y (x, 0, 0, . . . , 0, z1, . . . , zp) = 0, Ui(x, 0, 0, . . . , 0, z1, . . . , zp) = 0 (i = 1, l). Функцию Ляпунова возьмем в виде: где V2 – определенно положительная форма переменных ξ1, ξ2, . . . , ξl, такая, что
V = −V2 + xy, Xl ∂V2 (X sijξj) = − X ξi2,
l l i=1 ∂ξi j=1 i=1 это возможно в силу [7]. Вычислим производную от функции V в силу уравнений (19) ddVt = − Xi=l1 ∂∂Vξi2 (Xj=l1 sijξj + Ui) + xY + y2 + yX = Xi=l1 ξi2 + y2 − Xl ∂V2 i=1 ∂ξi
Ui + xY + yX.
Если предположить, что функции Ui (i = 1, l) и X зависят от членов не ниже второго порядка по
совокупности переменных y, ξi (i = 1, l), а функция Y от членов не ниже третьего порядка по совокупности
переменных y, ξi (i = 1, l), то производная ddVt будет знакоопределенная положительная относительно
переменных y, ξi (i = 1, l). При этом в области (
Результаты
Для случая нулевого корня с двумя группами решения, в частном случае l = 0 получены условия
асимптотической устойчивости и неустойчивости возмущенного движения системы (
Полученные результаты являются весьма частными в силу сложности рассматриваемого вопроса, их следует рассматривать не как всеобъемлющее исследование проблемы, а как предлагаемый путь её решения. Список литературы
On the stability study with respect to the part of the variables in the critical case of two zero roots
Ural Federal University (Yekaterinburg, Russia)
Ural Federal University (Yekaterinburg, Russia)
Abstract. In this paper, we study stability with respect to part of variables in the case of two zero roots. Consideration is given to the the possibility of modifying the methods used in the stability theory, to the case of the partial stability. With the proposed approach particular conditions of stability and instability are received for the case of a double zero root with one or two groups of solutions.