Арзамасский политехнический институт (филиал) НГТУ им. Р.Е. Алексеева (Арзамас) В работе рассматриваются класс 2D систем в форме дифференциальных повторяющихся процессов. Получены новые условия экспоненциальной устойчивости по профилю повторения на основе развития метода векторных функций Ляпунова для рассматриваемого класса систем. Ключевые слова: 2D-системы; дифференциальные повторяющиеся процессы; экспоненциальная устойчивость по профилю повторения; векторная функция Ляпунова.
существенный интерес как с теоретической, так и с инженерной точки зрения. Они встречаются во
многих промышленных установках, в технологических процессах и устройствах, например многопроходная
сварка, или высокоточное лазерное напыление металла [
Подавляющее большинство исследований, посвященных изучению повторяющихся процессов
ограничивается лишь линейными моделями таких систем с постоянными параметрами [3].Существующие алгоритмы
построения управления для повторяющихся процессов не могут быть применены в нелинейной
постановке и следовательно возникает необходимость в разработке строгой теории устойчивости для нелинейных
повторяющихся процессов. Важные примеры нелинейных повторяющихся процессов представлены в [11],
где проводятся исследования относительно включения смарт-устройств в систему ротора
ветрогенератора в сочетании с управлением с итеративным обучением для повышения качественных характеристик
ветрогенератора, снижения экстремальных нагрузок на рабочие лопасти и сохранения максимальной
производительности. Другой важный пример представлен в уже упомянутой работе [
Известные условия экспоненциальной устойчивости дифференциальных повторяющихся процессов [4]
накладывают однотипные ограничения на динамику профиля повторения при T → ∞. Эти условия могут
оказаться чрезмерно жесткими для синтеза закона управления. Поэтому нужны такие условия
устойчивости, которые учитывали бы ограниченность профиля повторения. Схожие трудности возникают и в
рамках линейной теории, где в качестве альтернативы предложено понятие практической устойчивости [
Постановка задачи Рассмотрим дифференциальный повторяющийся процесс с длительностью повторения T < ∞, 0 ≤ t ≤ T описываемый следующей моделью в пространстве состояний: x˙ k+1(t) = f1(xk+1(t), yk(t)), yk+1(t) = f2(xk+1(t), yk(t)), где на k−,м шаге: xk(t) ∈ Rnx вектор состояния, yk(t) ∈ Rny вектор профиля повторения, uk(t) ∈ Rnu входной вектор; f1, f2, g нелинейные функции, такие, что f1(0, 0) = 0 , f2(0, 0) = 0 и, следовательно, равновесны нулю. Кроме того, f1 удовлетворяет условию Липшица по переменным x и y: |f1(x0, y0) − fi(x00, y00)| ≤ L(|x0 − x00| + |y0 − y00|), x0, x00 ∈ Rnx, y0, y00 ∈ Rny . Схематично динамика системы представлена на Рис. 1.
Граничные условия, т.е. последовательность начальных векторов состояния и начальный профиль повторения имеют вид: xk+1(0) = dk+1, k ≥ 0, |dk+1|2 ≤ κdλdk+1, k ≥ 0,
y0(t) = f (t), |f (t)|2 ≤ Mf , 0 ≤ t ≤ T, где входные значения dk+1 ∈ Rnx известные постоянные, где входные значения f (t) ∈ Rny функции ++t и κd > 0, 0 < λd < 1 и предполагается, что выполнены условия
|f (p)|2 ≤ Mf , |dk+1|2 ≤ κdλdk+1, k ≥ 0, где |q| Евклидова норма вектора q.
Определения устойчивости для (1) можно ввести следующим образом. известные (3) (4) Рис. 1: Динамика повторяющегося процесса. Определение 1 [4] Нелинейный дифференциальный повторяющийся процесс (1), (3) называется экспоненциально устойчивым, если существуют действительные κ > 0, λ > 0 и 0 < ζ < 1 такие, что Определение 2 Нелинейный дифференциальный повторяющийся процесс (1), (3) называется экспоненциально устойчивым по профилю повторения если |xk(t)|2 + |yk(t)|2 ≤ κ exp(−λt)ζk.
|yk(t)|2 ≤ κζk, κ > 0, 0 < ζ < 1. равномерно по t ∈ [0, T ]. Легко видеть, что если система (1), (3) экспоненциально устойчива, то она будет экспоненциально устойчива по профилю повторения, кроме того в определении экспоненциальной устойчивости не учитывается ограниченность профиля повторения.
Задача состоит в нахождении условий экспоненциальной устойчивости системы (1), (3) по профилю повторения, т.е. в смысле определения 2. 3
Условия устойчивости Одна из особенностей системы (1), (3) состоит в том, что найти аналог полной производной функции, зависящей от переменных состояния и профиля повторения вдоль ее траекторий не представляется возможным без явного нахождения решения в отличие от обычных систем, разрешенных относительно первых производных (первых разностей) вектора состояния. В связи с этим не представляется возможным использовать метод функций Ляпунова в его классической версии. Альтернативой может служить метод векторных функций Ляпунова, в котором вместо традиционной системы сравнения [1] используется аналог дивергенции векторной функции в силу системы.
Для получения условий устойчивости системы (1), (3), введем векторную функцию Ляпунова вида: V (xk+1(t), yk(t)) =
V1(xk+1(t))
V2(yk(t)) где V1(x) ≥ 0, V2(y) > 0, x, y 6= 0, V1(0) = 0 и V2(0) = 0, положительные полу-определённые и положительно определены функции соответственно. Аналог оператора дивергенции векторной функции (7) вдоль траекторий системы (1) имеет вид
DcV (xk+1(t), yk(t)) = Теорема 1 Предположим, что существует векторная функция (7) и положительные скаляры c1, c2, c3 и c4 такие, что
1 c¯3 < 1 λd2 ≤ ζ := 1 − c2 и Далее из (11) и (14) следует неравенство
DcV (xk+1(t), yk(t)) ≤ −c3|yk(t)|2 ≤ −c¯3|yk(t)|2. Это неравенство, как и все последующие, в силу (11) справедливо при t ∈ [0, T ]. Решая неравенство (15) относительно V1(xk+1(t)) получим
Z t
0 V1(xk+1(t)) ≤ V1(xk+1(0)) − [V2(yk+1(s)) − ζV2(yk(s))]ds. Обозначим Из (19) и (20) следует, что (21) (23) (25) ≤ c2|y0(t)|2 + αC(T ). (24) [5] J. Kurek. Stability of nonlinear time-varying digital 2-D Fornasini-Marchesini system. Multidimensional
Systems and Signal Processing, 25(1):235–244, 2012. [6] Y. Liu, Y. Jia. An iterative learning approach to formation control of multi-agent systems. Systems &
Control Letters, 61:148–154, 2012. [11] O.Tutti, M. Blackwell, E. Rogers, R. Sandberg. Iterative Learning Control for Improved Aerodynamic Load Performance of Wind Turbines With Smart Rotors. IEEE Transaction on Control Systems Technology, 22:967–979, 2013.
Pass profile exponential stability of nonlinear differential repetitive processes
Mikhail A. Emelianov Arzamas Polytechnic Institute of R.E. Alekseev Nizhny Novgorod State Technical University (Arzamas, Russia)
Abstract. This paper consider a class of 2D systems by the form of repetitive processes. A new results of pass profile exponential stability for differential nonlinear repetitive processes, based on an extension of the Lyapunov’s method. Using vector Lyapunov function and its divergence, sufficient conditions for pass profile exponential stability are obtained.