=Paper=
{{Paper
|id=Vol-1825/p3
|storemode=property
|title= Экспоненциальная устойчивость по профилю повторения дифференциальных повторяющихся процессов (Pass profile exponential stability of nonlinear differential repetitive processes)
|pdfUrl=https://ceur-ws.org/Vol-1825/p3.pdf
|volume=Vol-1825
|authors=Mikhail A. Emelianov
}}
== Экспоненциальная устойчивость по профилю повторения дифференциальных повторяющихся процессов (Pass profile exponential stability of nonlinear differential repetitive processes)==
https://ceur-ws.org/Vol-1825/p3.pdf
Экспоненциальная устойчивость по профилю
повторения дифференциальных повторяющихся
процессов
М.А. Емельянов
mikhailemelianovarzamas@gmail.com
Арзамасский политехнический институт (филиал) НГТУ им. Р.Е. Алексеева (Арзамас)
Аннотация
В работе рассматриваются класс 2D систем в форме дифференци-
альных повторяющихся процессов. Получены новые условия экспо-
ненциальной устойчивости по профилю повторения на основе раз-
вития метода векторных функций Ляпунова для рассматриваемого
класса систем.
Ключевые слова: 2D-системы; дифференциальные повторяющи-
еся процессы; экспоненциальная устойчивость по профилю повто-
рения; векторная функция Ляпунова.
1 Введение
Многие автоматические системы многократно выполняют одну и ту же операцию одинаковой продол-
жительности. В литературе, посвященной исследованию и проектированию таких систем, эту операцию
обычно называют циклом или повторением [9]. После окончания каждого цикла, перед тем как начать
выполнение нового, система возвращается в начальное состояние. Выходная переменная в таких систе-
мах называется профилем повторения. Характерным примером является конвейер для резки угля, где
профилем повторения (прохода) является верхняя часть угольного пласта выше нулевой линии, и целью
является извлечение максимального количества угля за проход. Режущая машина опирается на предыду-
щий профиль прохода для того, чтобы произвести следующий проход, при этом не исключено, что могут
возникнуть колебания профиля, амплитуда которых будет возрастать от повторения к повторению.
При появлении подобных колебаний, процесс должен быть остановлен для того, чтобы скорректировать
профиль вручную для их гашения с целью восстановления нормального процесса резания и предотвра-
щения возможных механических повреждений режущей машины. Альтернативой является использование
управляющих воздействий, направленных на подавление указанных колебаний, но задача стабилизации в
данном случае не может быть решена стандартными методами теории управления. В самом деле, здесь
протекает два связанных динамических процесса: процесс резки пласта на текущем проходе и процесс сме-
ны проходов. Таким образом, динамика системы зависит от двух переменных: времени на текущем цикле и
номера цикла. Системы, обладающие подобной особенностью, называются двумерными или 2D системами.
Такие системы относятся к классу так называемых повторяющихся процессов. Структура этих процессов
является неоднородной (гибридной), поскольку каждый цикл - это динамический процесс с непрерыв-
ным временем, а процесс смены циклов - дискретный процесс. Повторяющиеся процессы представляют
Copyright c by the paper’s authors. Copying permitted for private and academic purposes.
In: G.A. Timofeeva, A.V. Martynenko (eds.): Proceedings of 3rd Russian Conference "Mathematical Modeling and Information
Technologies" (MMIT 2016), Yekaterinburg, Russia, 16-Nov-2016, published at http://ceur-ws.org
21
существенный интерес как с теоретической, так и с инженерной точки зрения. Они встречаются во мно-
гих промышленных установках, в технологических процессах и устройствах, например многопроходная
сварка, или высокоточное лазерное напыление металла [10], управление турбиной ветрового электроге-
нератора. Алгоритмы управления с итеративным обучением начали также получать распространение в
мультиагентных системах, для решения задачи управления множеством связанных информационной се-
тью динамических систем (агентов) в частности, беспилотных летательных аппаратов [2, 6].
Подавляющее большинство исследований, посвященных изучению повторяющихся процессов ограничи-
вается лишь линейными моделями таких систем с постоянными параметрами [3].Существующие алгоритмы
построения управления для повторяющихся процессов не могут быть применены в нелинейной постанов-
ке и следовательно возникает необходимость в разработке строгой теории устойчивости для нелинейных
повторяющихся процессов. Важные примеры нелинейных повторяющихся процессов представлены в [11],
где проводятся исследования относительно включения смарт-устройств в систему ротора ветрогенерато-
ра в сочетании с управлением с итеративным обучением для повышения качественных характеристик
ветрогенератора, снижения экстремальных нагрузок на рабочие лопасти и сохранения максимальной про-
изводительности. Другой важный пример представлен в уже упомянутой работе [10], где управление с
итеративным обучением применяется к конвейерной системе высокоточного лазерного напыления метал-
ла. Число работ, посвященных исследованию нелинейных систем, относительно невелико [5, 7]. Важно
также отметить, что во многих работах рассматриваются дискретные нелинейные модели, в то же вре-
мя, как уже было отмечено, исходные модели являются непрерывно-дискретными. В нелинейном случае
перейти к однородной дискретной модели достаточно сложно или невозможно. Поэтому необходимо апри-
ори рассматривать гибридные непрерывно-дискретные модели, получившие название дифференциальных
повторяющихся процессов.
Известные условия экспоненциальной устойчивости дифференциальных повторяющихся процессов [4]
накладывают однотипные ограничения на динамику профиля повторения при T → ∞. Эти условия могут
оказаться чрезмерно жесткими для синтеза закона управления. Поэтому нужны такие условия устой-
чивости, которые учитывали бы ограниченность профиля повторения. Схожие трудности возникают и в
рамках линейной теории, где в качестве альтернативы предложено понятие практической устойчивости [8].
В данной работе для рассматриваемого класса систем предлагаются новые достаточные условия экспонен-
циальной устойчивости по профилю повторения, учитывающие в отличие от известных, ограниченность
профиля повторения.
2 Постановка задачи
Рассмотрим дифференциальный повторяющийся процесс с длительностью повторения T < ∞, 0 ≤ t ≤ T
описываемый следующей моделью в пространстве состояний:
ẋk+1 (t) = f1 (xk+1 (t), yk (t)),
yk+1 (t) = f2 (xk+1 (t), yk (t)), (1)
где на k−,м шаге: xk (t) ∈ R — вектор состояния, yk (t) ∈ R — вектор профиля повторения, uk (t) ∈ Rnu
nx ny
— входной вектор; f1 , f2 , g — нелинейные функции, такие, что f1 (0, 0) = 0 , f2 (0, 0) = 0 и, следовательно,
равновесны нулю. Кроме того, f1 удовлетворяет условию Липшица по переменным x и y:
|f1 (x0 , y 0 ) − fi (x00 , y 00 )| ≤ L(|x0 − x00 | + |y 0 − y 00 |), x0 , x00 ∈ Rnx , y 0 , y 00 ∈ Rny . (2)
Схематично динамика системы представлена на Рис. 1.
Граничные условия, т.е. последовательность начальных векторов состояния и начальный профиль по-
вторения имеют вид:
xk+1 (0) = dk+1 , k ≥ 0, |dk+1 |2 ≤ κd λk+1
d , k ≥ 0,
2
y0 (t) = f (t), |f (t)| ≤ Mf , 0 ≤ t ≤ T, (3)
nx ny
где входные значения dk+1 ∈ R — известные постоянные, где входные значения f (t) ∈ R — известные
функции ++t и κd > 0, 0 < λd < 1 и предполагается, что выполнены условия
|f (p)|2 ≤ Mf , |dk+1 |2 ≤ κd λk+1
d , k ≥ 0, (4)
где |q| — Евклидова норма вектора q.
Определения устойчивости для (1) можно ввести следующим образом.
22
Рис. 1: Динамика повторяющегося процесса.
Определение 1 [4] Нелинейный дифференциальный повторяющийся процесс (1), (3) называется экспо-
ненциально устойчивым, если существуют действительные κ > 0, λ > 0 и 0 < ζ < 1 такие, что
|xk (t)|2 + |yk (t)|2 ≤ κ exp(−λt)ζ k . (5)
Определение 2 Нелинейный дифференциальный повторяющийся процесс (1), (3) называется экспонен-
циально устойчивым по профилю повторения если
|yk (t)|2 ≤ κζ k , κ > 0, 0 < ζ < 1. (6)
равномерно по t ∈ [0, T ].
Легко видеть, что если система (1), (3) экспоненциально устойчива, то она будет экспоненциально устой-
чива по профилю повторения, кроме того в определении экспоненциальной устойчивости не учитывается
ограниченность профиля повторения.
Задача состоит в нахождении условий экспоненциальной устойчивости системы (1), (3) по профилю
повторения, т.е. в смысле определения 2.
3 Условия устойчивости
Одна из особенностей системы (1), (3) состоит в том, что найти аналог полной производной функции,
зависящей от переменных состояния и профиля повторения вдоль ее траекторий не представляется
возможным без явного нахождения решения в отличие от обычных систем, разрешенных относительно
первых производных (первых разностей) вектора состояния. В связи с этим не представляется возможным
использовать метод функций Ляпунова в его классической версии. Альтернативой может служить метод
векторных функций Ляпунова, в котором вместо традиционной системы сравнения [1] используется аналог
дивергенции векторной функции в силу системы.
Для получения условий устойчивости системы (1), (3), введем векторную функцию Ляпунова вида:
V1 (xk+1 (t))
V (xk+1 (t), yk (t)) = , (7)
V2 (yk (t))
где V1 (x) ≥ 0, V2 (y) > 0, x, y 6= 0, V1 (0) = 0 и V2 (0) = 0, положительные полу-определённые и положи-
тельно определены функции соответственно. Аналог оператора дивергенции векторной функции (7) вдоль
траекторий системы (1) имеет вид
dV1 (xk+1 (t))
Dc V (xk+1 (t), yk (t)) = + ∆k V2 (yk (t)), (8)
dt
где
∆k V2 (yk (t)) = V2 (yk+1 (t)) − V2 (yk (t)).
Справедливо следующее утверждение.
23
Теорема 1 Предположим, что существует векторная функция (7) и положительные скаляры c1 , c2 , c3
и c4 такие, что
c1 |x|2 ≤ V1 (x) ≤ c2 |x|2 , (9)
c1 |y|2 ≤ V2 (y) ≤ c2 |y|2 , (10)
Dc V (xk+1 (t), yk (t)) ≤ −c3 |yk (t)|2 , t ∈ [0, T ], (11)
∂V1 (x)
≤ c4 |x|. (12)
∂x
Тогда нелинейный дифференциальный повторяющийся процесс (1), (3) экспоненциально устойчив по про-
филю повторения.
Доказательство. Из (10) и (11) следует, что существует c̄3 ≤ c3 такое, что
1 c̄3
λd2 ≤ ζ := 1 − <1 (13)
c2
и
Dc V (xk+1 (t), yk (t)) ≤ −c3 |yk (t)|2 ≤ −c̄3 |yk (t)|2 . (14)
Далее из (11) и (14) следует неравенство
dV1 (xk+1 (t))
+ V2 (yk+1 (t)) − ζV2 (yk (t)) ≤ 0. (15)
dt
Это неравенство, как и все последующие, в силу (11) справедливо при t ∈ [0, T ]. Решая неравенство (15)
относительно V1 (xk+1 (t)) получим
Z t
V1 (xk+1 (t)) ≤ V1 (xk+1 (0)) − [V2 (yk+1 (s)) − ζV2 (yk (s))]ds. (16)
0
Обозначим
Wk+1 (t) := V1 (xk+1 (0)) − V1 (xk+1 (t)),
Z t
Hk (t) := V2 (yk (s))ds
0
и перепишем (16) в виде
Hk+1 (t) ≤ ζHk (t) + Wk+1 (t). (17)
Решая неравенство (17) относительно Hn (t) получим
n
X
n
Hn (t) ≤ ζ H0 (t) + Wk (t)ζ n−k (18)
k=1
или Z t n
X n
X Z t
V2 (yn (s))ds + V1 (xk+1 (t))ζ n−k ≤ V1 (xk (0))ζ n−k + ζ n V2 (y0 (s))ds.
0 k=1 k=1 0
Последнее неравенство эквивалентно следующему:
Z t n
X n
X Z t
ζ −n V2 (yn (s))ds + V1 (xk+1 (t))ζ −k ≤ ζ −n V1 (xk (0))ζ n−k + V2 (y0 (s))ds. (19)
0 k=1 k=1 0
Оценивая правую часть (19) с учетом (3), (9), (10) и (13) получим
n
X Z t n
X Z t
−n
ζ V1 (xk (0))ζ n−k
+ V2 (y0 (s))ds ≤ κκd λkd ζ −k + c2 Mf ds ≤
k=1 0 k=1 0
∞
X κκd
≤ κκd ζ k + c2 Mf T = + c2 Mf T = C(T ). (20)
1−ζ
k=1
24
Из (19) и (20) следует, что
n
X
V1 (xk+1 (t))ζ −k ≤ C(T ) < ∞. (21)
k=1
Оценивая dVdt
1 (x)
с учетом условия Липшица (2) и (12) получим
dV1 (xk+1 (t)) ∂V1 (xk+1 (t)) ∂V1 (xk+1 (t))
= f1 (xk+1 (t), yk (t)) ≥ − |f1 (xk+1 (t), yk (t))| ≥
dt ∂xk+1 (t) ∂xk+1 (t)
2
√
ε+1
≥ −c4 L(|xk+1 (t)| + ε|yk (t)|)(|xk+1 (t)| + |yk (t)|) ≥ −2c4 L √ |xk+1 (t)| + ε|yk (t)| ≥
2 ε
2 !
√
ε+1
≥ −2c4 L 2 √ |xk+1 (t)| + 2( ε|yk (t)|)2 ≥ −αV1 (xk+1 (t)) − βεV2 (yk (t)), (22)
2 ε
2
где α = c4 L(ε+1)
c1 ε , β = 4cc41L , и ε – произвольный положительный скаляр. Из (15), (22) имеем
V2 (yk+1 (t)) − z0 V2 (yk (t)) ≤ αV1 (xk+1 (t)), (23)
где z0 = ζ + βε. Выбирая ε достаточно малым, таким что 0 < z0 < 1, и решая (23) получим
n
X
V2 (yn (t)) ≤ z0n V2 (y0 (t)) + α z0n−k V1 (xk+1 (t)).
k=1
Отсюда, с учетом (21) и (10) приходим к неравенству
n
X n
X
z0n V2 (yn (t)) ≤ V2 (y0 (t)) + α z0−k V1 (xk+1 (t)) ≤ c2 |y0 (t)|2 + α ζ −k V1 (xk+1 (t)) ≤
k=1 k=1
≤ c2 |y0 (t)|2 + αC(T ). (24)
Из (24) с учетом (10) и (3) имеем
c2 Mf + αC(T ) n
|yn (t)|2 ≤ z0 , (25)
c1
c2 Mf +αC(T ) n
откуда следует справедливость (6) при κ = c1 z0 и ζ = z0 равномерно по t ∈ [0, T ]. Теорема
доказана.
Благодарности
Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта №16-38-00304
мол_а.
Автор благодарит проф. П. В. Пакшина за ценное обсуждение статьи.
Список литературы
[1] V. М. Matrosov. The Method of Vector Lyapunov Functions: Analysis of Dynamical Properties of
Dynamical Systems. Moscow: Fizmatlit, 2001. (in Russian) = В. М. Матросов. Метод векторных
функций Ляпунова: Анализ динамических свойств нелинейных систем. М.: Физматлит, 2001.
[2] K. Barton, D. Kingston. Systematic Surveillance for UAVs: A Feedforward Iterative Learning Control
Approach. 2013 American Control Conference, 5917–5922, 2013.
[3] L. Hladowski, K. Galkowski, Z. Cai, E. Rogers, C. Freeman, P. Lewin. Experimentally supported 2D
systems based iterative learning control law design for error convergence and performance. Control
Engineering Practice, 18:339—348, 2010.
[4] K. Galkowski, M. Emelianov, P. Pakshin, E. Rogers. Vector Lyapunov functions for stability and
stabilization of differential repetitive processes. J. Computer Syst. Sci. International, 55:503–514, 2016.
25
[5] J. Kurek. Stability of nonlinear time-varying digital 2-D Fornasini-Marchesini system. Multidimensional
Systems and Signal Processing, 25(1):235–244, 2012.
[6] Y. Liu, Y. Jia. An iterative learning approach to formation control of multi-agent systems. Systems &
Control Letters, 61:148–154, 2012.
[7] P. Pakshin, K. Galkowski, E. Rogers. Stability and Stabilization of Systems Modeled by 2D Nonlinear
Stochastic Roesser Model. Proc. 7th Int. Workshop on Multidimensional (nD) systems, 2011.
[8] W. Paszke, P. Dabkowski, E. Rogers, K. Galkowski. New results on strong practical stability and
stabilization of discrete linear repetitive processes. Systems & Control Letters, 75:22–29, 2015.
[9] E. Rogers, K. Galkowski, D. H. Owens. Control Systems Theory and Applications for Linear Repetitive
Processes. Springer (Lecture Notes in Control and Information Sciences), 2007.
[10] P. M. Sammons, D. A. Bristow, R. G. Landers. Iterative learning control of bead morphology in Laser
Metal Deposition processes. Proceedings of the 2013 American Control Conference, 5942–5947, 2013.
[11] O.Tutti, M. Blackwell, E. Rogers, R. Sandberg. Iterative Learning Control for Improved Aerodynamic
Load Performance of Wind Turbines With Smart Rotors. IEEE Transaction on Control Systems
Technology, 22:967–979, 2013.
26
Pass profile exponential stability of nonlinear differential repetitive
processes
Mikhail A. Emelianov
Arzamas Polytechnic Institute of R.E. Alekseev Nizhny Novgorod State Technical University (Arzamas, Russia)
Abstract. This paper consider a class of 2D systems by the form of repetitive processes. A new results
of pass profile exponential stability for differential nonlinear repetitive processes, based on an extension of the
Lyapunov’s method. Using vector Lyapunov function and its divergence, sufficient conditions for pass profile
exponential stability are obtained.
Keywords: 2D systems,differential repetitive processes, pass profile exponential stability, vector Lyapunov
function.
27