Уральский федеральный университет (Екатеринбург) В классе импульсных управлений решается задача линейноквадратичной стабилизации верхнего неустойчивого положения равновесия математического маятника. При этом исходная непрерывная задача стабилизации сводится к эквивалентной дискретной задаче стабилизации, для решения которой используется дискретное матричное уравнение Риккати. Исследуется сходимость решения дискретной задачи стабилизации к решению непрерывной задачи стабилизации при шаге дискретизации задачи, стремящемся к нулю. Ключевые слова: линейно-квадратичный регулятор, матричное уравнение Риккати, импульсные управления, оптимальная стабилизация ml2ϕ¨ = mglϕ + M (t), t ∈ R+.
g k = , u(t) = l
M (t) ml2
+ , t ∈ R , ϕ¨ = kϕ + u(t), t ∈ R+.
J (u) =
ϕ2(t) + u2(t) dt.
Постановка задачи
ml2ϕ¨ = mgl sin ϕ + M (t), t ∈ R+ = (0, +∞), (1) (2) (3) (4) u(t) ≡ up, t ∈ [hp, (h + 1)p), p ≥ 0, xp(ϑ) = x(ph + ϑ), p ≥ 1.
dxp = Axp + Bup−1 dϑ xp = Abxbp−1 + Bbup−1, p ≥ 1, b Ab = eAh, Bb =
e−Aτ dτ B.
Z 0
−h Jb(u) = X∞ hxbpTQbxbp + 2xbpTNbup + upTRbupi .
p=0 где h
заданный постоянный шаг дискретизации. 2
Переход к дискретной задаче стабилизации Вводим функции Cистеме (5) поставим в соответствие счетную систему дифференциальных уравнений xp(ϑ) = eA(ϑ+h)xp(−h) +
eA(ϑ−τ)dτ Bup−1, ϑ ∈ [−h, 0], p ≥ 1. Введем обозначения xp = xp(0). Полагая в формулах (9) ϑ = 0, получим систему разностных уравнений b для определения неизвестных значений xp, p ≥ 1. При этом значение xb0 считаем заданным. В системе (10) b матрицы Ab и Bb определяются формулами (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) Здесь матрицы Qˆ, Rˆ, Nˆ , зависящие только от h, равны
Qb = R 0 eAT(ϑ+h)QeA(ϑ+h)dϑ,
−h Rb = BT R 0 hR ϑ eAT(ϑ−τ)dτ Q R ϑ eA(ϑ−τ)dτ i dϑB + Rh,
−h −h −h Nb = R−0h heAT(ϑ+h)Q R ϑ eA(ϑ−τ)dτ i dϑB.
−h
Предполагаем, что выполнены достаточные условия существования решения дискретной задачи
оптимальной стабилизации (10), (12) (cм. [
Решение дискретной задачи стабилизации
Применяется известная методика решения дискретной задачи оптимальной стабилизации,
использующая дискретное уравнение Риккати (cм. [
X = AbTXAb − (AbTXBb + Nb)(Rb + BbTXBb)−1(BbTXAb + NbT) + Qb.
Оптимальное стабилизирующее управление u0p дискретной задачи (10), (12) определяется формулой (cм.
[
BbTPbAb + NbT xp,
b −1 в которой матрица Pb является положительно определенным решением уравнения (14).
Для нахождения решения нелинейного матричного уравнения (14) используется метод перехода к
спектральной задаче для симплектической матрицы (cм. [
Mc =
Ae + F Ae−TQe −Ae−TQe −F Ae−T !
Ae−T
.
Ae = Ab − BbRb−1NbT, Qe = Qb − NbRb−1NbT,
F = BbRb−1BbT.
V =
V1 V2
, det(V1) 6= 0.
Pb = V2V1−1 Q = (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) Здесь
Предполагаем, что матрица Mc не имеет собственных значений, лежащих на единичной окружности, что соответствует достаточным условиям существования решения дискретной задачи оптимальной стабилизации. Тогда матрица Mc имеет устойчивое инвариантное подпространство, т. е. подпространство, базисные векторы которого соответствуют собственным значениям матрицы Mc, по модулю меньшим единицы. Тогда базисная матрица устойчивого инвариантного подпространства допускает представление Знание матрицы V позволяет найти требуемое решение дискретного уравнения Риккати и, следовательно, оптимальное стабилизирующее управление дискретной задачи.
Для исходной задачи оптимальной стабилизации маятника n = 2, m = 1. Матрицы Q и R равны Параметры дискретной задачи стабилизации (10), (12) определяются формулами
Ab =
ch(√kh) √k sh(√kh) √1k sh(√kh) ! ch(√kh)
, Bb = k1 ch(√kh) − 1 √1k sh(√kh) !
, sh(2√√kh) + h2
4 k Qb = ch(2√kh) 1 4k − 4k ch(2√kh)
4k sh(2√kh) 4k√k
1 − 4k
h , − 2k Rb =
2k32 + 1 h + sh4(k22√√kkh) − 2skh2(√√kkh) , 1 sh(2√√kh)
k 4 k Nb = 1 ch(2√kh) k2 4 − sh(√√kkh) + h2 − ch(√kh) + 34 . 4 Поведение решения дискретной задачи стабилизации маятника при h, стремящемся к нулю При шаге дискретизации задачи h, близком к нулю, возникает особенность, связанная с тем, что Rb −→ 0 при h −→ 0. Для ее устранения применялся аналитический метод степенных рядов по h. Матрицы Ab, Bb, Qb, Rb, Nb можно представить в виде:
Ab = Pi∞=0 Abihi = При этом матрица Ae−T равна
∞ A−T = X Aei−Thi = e i=0 0 k − 6 1−k2 6 0 h3 + O(h4).
(23)
Подставляя (22) и (23) в (16), получим выражение для матрицы Mc вида
−−k1 h + 00
00 h2+
По условию теоремы Кронекера-Капелли система линейных алгебраических уравнений (30) разрешима
относительно e1 тогда и только тогда, когда (см. [
√−i e10 = i√kk−−ii ,
1 i
√ e20 = −i k + i .
√k + i
1
Mc1 − I4λ1 e1 = I4λ2 − Mc2 e0. Решение спектральной задачи (Mc − I4λ)e = 0 будем искать в виде: В этом случае получим уравнение Но Mc0 = I4 и, следовательно, λ0 = 1. Тогда вместо (26) получаем +∞ " j X X Таким образом, учитывая (29) и (32), получаем, что матрица (18) равна Тогда устойчивое решение (19) уравнения Риккати (14) примет вид: При этом матрица Kb в (15) определяется формулой
∞ Pb = X Pbihi = i=0 q 2(k2 + 1)(k + √k2 + 1) k + √k2 + 1
k + √k2 + 1 q2(k + √k2 + 1) + O(h2).
∞ Kb = X Kbihi = i=0 k + √k2 + 1 q2(k + √k2 + 1) + O(h).
Непосредственной проверкой можно убедиться, что матрица Pb0 в (34) удовлетворяет непрерывному
уравнению Риккати (см. [
XBR−1BTX − ATX − XA − Q = 0.
Тогда решение непрерывной задачи стабилизации определяется формулой (см. [
u0 = −Kx = −R−1BTPb0x.
K =
k + √k2 + 1 q2(k + √k2 + 1) .
Из (35) и (38) следует, что Kb −→ K при h −→ 0. Таким образом, при шаге дискретизации, стремящемся к нулю, решение дискретной задачи оптимальной стабилизации сходится к решению непрерывной задачи оптимальной стабилизации. 5
Численное моделирование процедуры стабилизации маятника Для оценки эффективности описанной процедуры стабилизации маятника было проведено численное моделирование при k = 1 в уравнении (3). На рисунках 1 4 приведены зависимости углового отклонения ϕ, угловой скорости ϕ˙ и управления u от времени в случае, когда движение маятника описывается линейным дифференциальным уравнением (2). Рисунок 5 отвечает случаю, когда движение маятника описывается нелинейным дифференциальным уравнением (1). На приведенных графиках по оси абсцисс откладывается время, по левой оси ординат откладываются значения ϕ и ϕ˙, а по правой оси ординат откладываются значения u. (32) (33) (34) (35) (36) (37) (38) Рис. 1: Стабилизация линейного маятника импульсным управлением с h = 10. Рис. 2: Стабилизация линейного маятника импульсным управлением с h = 1. Рис. 3: Стабилизация линейного маятника импульсным управлением с h = 0, 1.
Рис. 4: Стабилизация линейного маятника непрерывным управлением. Рис. 5: Стабилизация нелинейного маятника импульсным управлением с h = 1.
246 Список литературы [4] M. Jungers, C. Oara, H. Abou-Kandil, R. Stefan. General matrix pencil techniques for solving discretetime nonsymmetric algebraic Riccati equations. SIAM J. Matrix Anal. Appl., 31(3):1257–1278, 2009. Stabilization of the inverted pendulum with stationary pivot point Roman I. Shevchenko Ural Federal University (Yekaterinburg, Russia)
Abstract. Piecewise constant controls are used to stabilize the unstable vertical stationary point of a pendulum. The initial continuous-time problem is changed by the discrete-time problem. Then the discretetime algebraic Riccati equation is solved in order to obtain the desired control. Under special consideration is the convergence of the continuous-time problem solution to the discrete-time problem solution as the discretization step comes to zero.
Keywords: linear-quadratic regulator, algebraic matrix Riccati equation, piecewise constant control, optimal stabilization.